ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 1
1. ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRẦN HƯNG ĐẠO
2015
BÀI 1 (2 điểm). Giải phương trình:
x 8 2 x 9 x 20− + − = −
ĐS: x = 25
GIẢI
•
x 8 2 x 9 x 20− + − = −
⇔
x 9 1 x 20− + = −
⇔
x 9 x 21− = −
⇔
( )
2
x 21
x 9 x 21
≥



− = −


⇔
2
x 21
x 43x 450 0
≥


GIẢI
• Gọi x là tổng số trứng bán được (x ∈ N*) thì :
• Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là:
x 8
8
8
−
+
• Số trứng bán được trong ngày thứ hai là:
x 8
x 16 8
8
16
8
−
 
− + +
 ÷
 
+
• Theo đề toán ta có phương trình:
x 8
x 16 8
x 8
8
8 16
8 8
−
 
− + +

1 1 1 1
4
2x 2
x 3x 5x
8x
= = =
+
, tổng của ba số
hạng đúng bằng 3/4 .
• Mỗi số hạng của vế trái có dạng
1
ab
nên ta liên tưởng
đến bất đẳng thức
1 2
a b
ab
≥
+
(nghòch đảo của trung
bình nhân ≥ nghòch đảo của trung bình cộng suy ra từ
bất đẳng thức Cô-si:
a b
ab
2
+
≤
). Dấu = xảy ra khi a
= b .
• Trong phân thức thứ nhất của vế trái, khi dấu = xảy ra

• Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3)
ta được:
1 1 1
VT 4 2
8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y
 
≥ + +
 ÷
+ + + + + +
 
(*)
• Biểu thức trong dấu ngoặc có dạng
1 1 1
a b c
+ +
ta liên
tưởng đến bất đẳng thức
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
chứng
minh như sau:
• Theo bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho ba số không âm
ta có:
3
3
a b c 3 abc
1 1 1 1
3

( )
9 9 3
VT 4 2. 4 2.
16 x y z 4
16.3 2
≥ = =
+ +
• Dấu = xảy ra ⇔
8x 3y 5z
8y 3z 5x
8z 3x 5y
8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y
= +


= +


= +


+ + = + + = + +

⇔
x y z 3 2
x y z 2
3 3
+ +
= = = = =
ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 2

⇒
»
( )
0 0
1
60 180 DE
2
= −
⇒
»
0
DE 60=
⇒
·
0
DOE 60=
mà OD = OE = R ⇒ ∆ ODE
đều cạnh R ⇒ đường cao
R 3
OH
2
=
⇒ DE tiếp xúc
đường tròn
R 3
(O, )
2
cố đònh.
b)
·

0
dựng trên đoạn AB.
BÀI 5 (2đ). Trên bảng viết các số
1 2 2014 2015
, , , ,
2015 2015 2015 2015
. Mỗi lần biến đổi, xóa đi hai số
a, b bất kỳ và thay bằng số a + b – 5ab. Hỏi sau 2014 lần
thực hiện phép biến đổi trên bảng còn lại số nào? ĐS: 1/5
GIẢI
• Mỗi lần biến đổi ta xóa đi hai số và thêm lại một số
nên tổng kết mỗi lần biến đổi giảm đi một số. Sau
2014 lần biến đổi giảm đi 2014 số và còn lại 01 số.
• Giả sử các số trên bảng đang là a
1
, a
2
, …, a
k
tại một thời
điểm bất kỳ.
• Cho tương ứng bảng số trên với tích
( ) ( ) ( )
1 2 k
5a 1 5a 1 5a 1− − −
.
• Sau mỗi lần biến đổi xóa đi hai số a, b bất kỳ và thay
bằng số a + b - 5ab thì tích trên mất đi hai thừa số
5a 1−
,