ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2007 – 2008
Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4
không có ước số chung khác ±1
Giải: Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d. Thế thì:
ab
M
d và ab + 4
M
d ⇒ ab + 4 – ab
M
d
Do đó: d \ 4 nên d = ±1; ±2; ±4. Nhưng theo giả thiết a là số lẻ nên: d = ±1
Vậy: a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1
Bài 2 (4 điểm). Cho hệ phương trình
ax by 15
ay bx 15
+ =


+ =

(a, b là số nguyên dương và a ≠ b). Tìm tất cả
các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm số nguyên dương
Giải: Trừ hai phương trình của hệ vế với vế ta được: (a – b)(x – y) = 0
Do a ≠ b nên: x – y = 0 ⇔ x = y. Thế vào hệ ta được: (a + b)x = 15 ⇔
15
x
a b
=
+

=
, khi đó tính giá trị của c theo a và b
b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2
Giải: a) Theo ĐL Pitago: a
2
+ b
2
= c
2
Mặt khác: a
2
+ b
2
≥ 2ab
Cộng vào 2 vế a
2
+ b
2
: 2(a
2
+ b
2
) ≥ a
2
+ b
2

+ 2ab ≤ a
2
+ b
2
+ 2 ≤ 2 + 2 = 4 (vì a
2
+ b
2
≤ 2)
Do đó: (a + b)
2
≤ 4 ⇔ |a + b| ≤ 2 Nên: a + b ≤ |a + b| ≤ 2
Vậy: a + b ≤ 2
Bài 5 (4 điểm). Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần
lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng
Giải: Gọi N là giao điểm của AM và DE
Do DN // BM nên:
DN AN
BM AM
=
Do EN // CM nên:
EN AN
CM AM
=
Suy ra:
DN EN
BM CM
=
. Do BM = CM (gt) ⇒ DN = EN
Ta có: S

thành hai phần có diện tích bằng nhau. Suy ra: N, O, M thẳng hàng ⇒ A, O, M thẳng hàng
N
O
E
D
M
B
C
A