SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (1,5 điểm).
Giải phương trình:
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4
x x
x
x
π
+
 
= +
 ÷
+
 
.
Câu 2 (3,0 điểm).
1. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính
xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
2. Chứng minh đẳng thức sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )
n
u
xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
2a
, các cạnh bên
bằng nhau và bằng
3a
(
0a
>
). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình
chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo
a
.
2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với
đường thẳng SC, biết rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
SH SA SB SC
= + +
.
3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện
, ,AB CD BC AD AC BD= = =
và một điểm X thay
đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng
XA XB XC XD

2cos (tan tan ) sin cosx x x x x+ = +
0,25
2
2sin 2sin .cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(2sin 1) 0
x x x x x x x x x x
x x x
⇔ + = + ⇔ + = +
⇔ + − =
0,5
+ Với
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k
π
π
+ = ⇔ = − ⇔ = − +
0,25
+ Với
1 5
2sin 1 0 sin 2 ; 2
2 6 6
x x x k x k
π π
π π
− = ⇔ = ⇔ = + = +
0,25
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:
5
; 2 ; 2 ( )

7 2 1000 7 2 9999abcd t t= + ⇒ ≤ + ≤
{ }
998 9997
143, 144, , 1428
7 7
t t⇔ ≤ ≤ ⇔ ∈
suy ra số cách chọn ra t sao cho số
1abcd

chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286.
Vậy xác suất cần tìm là:
1286
0,015
90000
≈
0,5
2 1,5 điểm
Xét đẳng thức
( ) ( )
( )
2012
2012 2012
2
1 . 1 1x x x− + = −
0,5
+) Ta có
( ) ( )
2012
2012
2 2

  
− + = −
 ÷ ÷
  
∑ ∑

suy ra hệ số của số hạng chứa
2012
x
là
2012 1 2011 2 2010 3 2009 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012

o
C C C C C C C C C C− + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 2011 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
C C C C C C= − + − + − +
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
0,5
3 1 1,5 điểm
Đặt
( )
3
8 6 1f x x x= − −
; tập xác định
D = ¡
suy ra hàm số liên tục trên

Đặt
[ ]
cos , 0;x t t
π
= ∈
thay vào pt ta được:
( )
3
2
2 4cos 3cos 1 cos3 cos
3 9 3
t t t t k
π π π
− = ⇔ = ⇔ = ± +
, kết hợp với
[ ]
0;t
π
∈
ta
được
5 7
; ;
9 9 9
t
π π π
 
∈
 
 

Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được:
2 2 2
sin1 sin 2 sin

1 2
n
n
u
n
= + + +
0,5
Ta có
2 2 2
1 1 1
2
1 2
n
u
n
≤ + + + <
với mọi n (theo nhận xét trên) (1) 0,25
Mặt khác
2 2 2
1 1 1
2
1 2
n
u
n
 

2
2 2 2 2
. 3 .3 9 9 2
. .
8
2 2 9
SM SC a a a a
SM SC SO SI SO
SI
SA IA a a
= ⇒ = = = =
− −
.
Vậy
9 2
8
a
SO =
.
0,5
2 1,0 điểm
D
K
H
C
B
S
A
Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao
điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC. Ta có BC vuông góc với SH và SA nên

M
A
D
C
G
B
Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,
BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên
AN BN=
suy ra
MN AB⊥
,
tương tự ta chứng minh được
MN CD
⊥
và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai
đường thẳng BC, AD. Từ đó suy
GA GB GC GD= = =
.
0,25
Ta có
. . . .XAGA XB GB XC GC XD GD
XA XB XC XD
GA
+ + +
+ + + =
. . . .XAGA XB GB XC GC XD GD
GA
+ + +
≥