SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm).
1. Cho
( )
3
2
1 3 3
x
f x
x x
=
− +
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1 2 2010 2011

2012 2012 2012 2012
A f f f f
       
= + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2. Cho biểu thức
2
2 1 1 2 2
1

( ) ( )
1 2
, O O
và
( )
O
(kí hiệu
( )
X
chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử
( ) ( )
1 2
, O O
tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và
( ) ( )
1 2
, O O
lần lượt tiếp xúc trong với
( )
O
tại
1 2
,M M
. Tiếp tuyến của đường tròn
( )
1
O
tại điểm I cắt đường tròn
( )
O

thẳng
1 2
N N
.
2. Kẻ đường kính
PQ
của đường tròn
( )
O
sao cho
PQ
vuông góc với
AI
(điểm
P
nằm trên
cung
¼
1
AM
không chứa điểm
2
M
). Chứng minh rằng nếu
1 2
, PM QM
không song song thì các
đường thẳng
1
, AI PM

Thật vậy, ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
3
3 3
3 3
1
1
1 1
x
x
f x f y f x
x x x x
−
= ⇒ = − =
+ − + −

0,5
suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3
3
3 3

f f f f
   
       
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
       
   
 
       
+ + = + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
       
 
0,5
2 1,5 điểm
Điều kiện:
0, 1x x> ≠
. Khi đó ta có
Rút gọn biểu thức ta được
2
1
x
P
x x
+
=
+ +
0,5

bằng 0 hoặc 1
+) Nếu
( )
2
1 0 1 1P P x− = ⇔ = ⇔ =
thỏa mãn
+) Nếu
( )
2
2
1 1 2 2 0 0
0
P
P P x x x
P
=

− = ⇔ ⇒ = ⇔ + = ⇔ =

=

.
Kết hợp điều kiện suy ra không tồn tại giá trị x cần tìm.
0,5
2 1,5 điểm
Nếu
6 ( 6) 1x y x y x y≥ + ⇒ + > − + ≥ ⇒
phương trình vô nghiệm. Do đó
6x y< +
2 6 3x y y x x⇒ ≤ + < + − ⇒ <

.
0,5
3 1,5 điểm
Ta có:
( )
2
2012 abc bcd cda dab a b c d= + + + − − − −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 1ab c d cd a b= − + + − +
0,5
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1ab a b cd c d
   
≤ − + + − + +
   
0,5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1a b a b c d c d a b c d= + + + + + + = + + + +
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 2012a b c d+ + + + ≥
0,5
4
S
N

·
·
·
·
0
1 2 2 1 1 1 2 2 1
180AN N AM M M N N AM M= ⇒ + =
hay tứ giác
1 1 2 2
M N N M

nội tiếp.
0,5
+) Ta có
·
·
1 2 2 1
AN N AM M=
·
1
1
2
AOM=
và tam giác
1
AOM
cân tại
O
nên
·

, , O O M
thẳng hàng và
2
O I
song song với
OP
·
·
2 2 2
IO M POM⇒ =

(1). Mặt khác tam giác
2 2
O IM
cân tại
2
O
, tam giác
2
OPM
cân tại
O
và kết
hợp với (1) ta được
·
·
2 2 2
O IM OPM=
suy ra
2

0,5
5 1,0 điểm
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo
thành một tam giác cân.
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả
năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có
màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân.
0,5
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng
màu và tạo thành một tam giác cân.
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh
được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu.
0,5