Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9
Thanh hoá môn thi : toán
Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:
( )
2006
23
283 ++= xxA
với
( )
56145
38517
3
+

=x
( )
25 +

Bài 2 : Cho
ox >
,hãy tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức :

3
3
3
6
6
6
11
2



+
=
Bài 3 :Chứng minh rằng phơng trình :

02005.22
20062
=+ mxx
không có nghiệm nguyên với mọi
Zm
Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện
tích bằng số đo chu vi.
Bài 5: Giải phơng trình :
xxxx =+ 2.22
22

Bài 6 : Cho Parabol (P):
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (D) qua hai điểm A,B trên
(P) có hoành độ lần lợt là : -2 và 4.
Bài 7 : Trên một đờng tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung
bình cộng của 2 số đứng liền trớc và sau nó. Chứnh minh rằng tất cả các số
đó bầng nhau .
Bài 8 : Các đờng cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . Biết rằng HC=AB ,
tìm góc ở đỉnh C.
Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến

A
+ + = + + =
=
(0,5đ)
Bài 2:
2
6 3
3
3
3
3
3
3
3
1 1
( )
1 1
1 1
x x
x x
P x x
x x
x x
x x

+ +
ữ


= = + +

= k
2
, (k là số nguyên)

(m-k )(m+k) = 2.2005
2006
là số chẵn (0,5đ)
nên (m-k) và (m +k) đều là số chẵn
Suy ra ( m k)( m + k) chia hết cho 4, mà 2.2005
2006
không chia hết cho 4 (0,5đ)
Mâu thuẫn này chứng tỏ (1) không có nghiệm nguyên. (0,5đ)
Bài 4: Gọi x,y,z là các cạnh của tam giác vuông
1 x y z <
, ta có :
2 2 2
(1)
2( )(2)
x y z
xy x y z

+ =

= + +

(0,5đ)
Từ (1) suy ra :

( )
( ) ( )

2 2 . 2x x x x+ =
Điều kiện :x
2
, Đặt
2
2 ,( 0) 2y x y x y= =
(0,5đ)
Phơng trình
2 2
(1 )( 1)(2 4) 0y y y y y + =
(1đ)
Phơng trình có 3 nghiệm không âm :
1 2 3
5 1 33 1
1, ,
2 8
y y y
+
= = =
1 2 3
5 1 33 1
1, ,
2 8
x x x
+ +
= = =
(0,5đ)
Bài 6 :
Y
4 B

= 0
Có
'
0 1m = =
, Nên toạ độ
1
1;
4
M

ữ

(0,5đ)
Chứng minh (P) ở phía trên (d) :
1 1
2 4
y x=
, giải thích đợc trực quan ở trên đúng :
( )
2
2
1 1 1
1 0
4 2 4
x x x
Dấu = xảy ra
0
1
M
x x= =

,
2 2
a a a a
a a
+ +
= =
(0,5đ)
Giả sử tất cả các số không bằng nhau và không mất tính tổng quát giả sử :
a
1
> a
2
(*) vì
1 3
2 2 3
2
a a
a a a
+
= >
2 4
3 3 4
2
a a
a a a
+
= >
(0,5đ)
Tiếp tục quá trình lập luận đó ta nhận đợc kết quả : a
1

AA B A HC A H A B A HB= = V V V
là vuông cân
Ta có :
' 0 0
45 135BHA ACB = =
(1đ)
Bài 9 a/ Ta có :
(1), :
(2),
EH CH
Talet AH PB
PB CB
AH CH
ACH POB
PB OB

=




=


P
V : V
2AH EH
=
(1đ)
b/

C H'
A
C
'
B'
B

'
A
H
A B A
'
C
B

'
C
H×nh 1 P A H×nh2
E
B O H C H×nh 3