SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi : 18/3/2014
Bài 1.
1. Giải phương trình x
3
+

(1 − x
2
)
3
= x
√
2 − 2x
2
.
2. Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
1
x
3
(y + z)
+
1
y
3
(z + x)
+

.
2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi :





u
1
= −1
u
n
=
u
n−1
+
√
3
1 −
√
3.u
n−1
, n = 2, 3,
a) Lập công thức tổng quát của dãy số (u
n
).
b) Tính S
2014

= x
√
2 − 2x
2
⇔

x +
√
1 − x
2

1 − x
√
1 − x
2

=
√
2x
√
1 − x
2
.
Đặt t = x +
√
1 − x
2
, suy ra x
√
1 − x

√
1 − x
2
, ta thu được hệ

x
3
+ y
3
=
√
2xy
x
2
+ y
2
= 1
⇔

(x + y)
3
− 3xy (x + y) =
√
2xy
(x + y)
2
− 2xy = 1.
Đặt S = x + y, P = xy

S

t +


cos
3
t


=
√
2 sin t |cos t|.
Cách này hơi cồng kềnh.
2. Ta có
M =
1
x
2
x (y + z)
+
1
y
2
y (z + x)
+
1
z
2
z (x + y)
≥


=
3
2
.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy min M =
3
2
.
Cách 2. Đổi biến Đặt a =
1
x
, b =
1
y
, c =
1
z
. Sau đó làm tương tự như cách 1.
Cách 3. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Dùng phương pháp chọn điểm rơi
trong BĐT Cauchy.
Nếu x = y = z = 1 thì
1
x
3
(y + z)
=
1
2
=
2

=
1
x
.
Suy ra
1
x
3
(y + z)
≥
1
x
−
1
4

1
y
+
1
z

.
Tương tự cho các
1
y
3
(z + x)
,
1

3
C
3
2n
+ + 5
n
C
2n
2n

1 −
√
5

2n
= C
0
2n
−
√
5C
1
2n
+ 5C
2
2n
−

√
5

Ta có
T
2
n
=
1
2


1 +
√
5

2
2

n
+


1 −
√
5

2
2

n

=

√
5

2k

(với n = 2k, k ∈ Z)
= 3
2k
C
0
2k
+ 3
2k−2
.5C
2
2k
+ 3
2k−4
.5
2
C
4
2k
+ + 5
k
C
2k
2k
∈ Z.
2. Ta có u

1 + tan
π
3
. tan

−
π
4

= tan

π
3
−
π
4

= tan
π
12
= tan

2 − 1
3
−
1
4

π


3
−
1
4

π

= u
n+1
.
Vậy
S
2014
= u
1
+ 671 (u
2
+ u
3
+ u
4
) = −1 + 671

tan
π
12
+ tan
5π
12
+ tan

+ (c + d)
2
− 2 (ac + bd + cd)
= 1 + 4
2
− 2P.
Suy ra
P =
17 − MN
2
2
.
Để P lớn nhất khi MN nhỏ nhất. Bài toán trở thành tìm điểm M thuộc đường tròn x
2
+ y
2
= 1
và điểm N thuộc đường thẳng x + y − 4 = 0 sao cho M N nhỏ nhất. Đến đây bạn đọc tự làm và
tìm được Đáp số max P = 4 + 2
√
2 đạt tại a = b =
1
√
2
, c = d = 2.
Bài 4. Ta có

AF ⊥OB
AF ⊥MO
, suy ra AF ⊥MB.

3
12

x +
a
2
2x

≥
a
3
√
6
12
.
Đẳng thức xảy ra khi x =
a
2
2x
⇔ x =
a
√
2
2
.
3
Huỳnh Đức Khánh - 0975.120.189
4