KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 20)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)!

Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2. Xác định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Câu II (1 điểm)
Giải phương trình:
2 2
sin sin 3
tan 2 (sin sin 3 )
cos cos3
x x
x x x
x x
  

Câu III (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường :


   

( )
SAC
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối
chóp
.
S ABCD
. Gọi
H
là trung điểm cạnh
AB
tính góc giữa hai đường thẳng
CH
và
.
SD

Câu V (1 điểm) ) Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,
a b c
ta có:
1.
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b

CD
. Viết phương trình
đường chéo
BD
biết đỉnh
B
có hoành độ nhỏ hơn 3.

Câu VII (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm


2 ; 4 ; 1
A ,


1 ; 4 ; 0
B 


0 ; 0 ; 3
C

.Xác định tâm và bán kính đường tròn (ABC) .

Câu VIII (1 điểm) Tìm n nguyên dương thỏa mãn:
1 2 3 n n 2 n n
n n n n
C +3 C +7 C + +(2 - 1) C =3 - 2 - 6480

Câu IX (1 điểm) Giải bất phương trình:



      




Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 0) và (2; +), nghịch biến trên khoảng (0;
2)
- Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y
CT
= y(2) =  2;
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= y(0) = 2.
- Giới hạn: lim , lim
x x
y y
 
   

Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
+ Giao Ox ……

6 6
;0 , 0;
2( 3) 3
m m
A B
m
 
 
 
 
 

 
 

Tam giác OAB cân

OA OB

6 6 9 3
6; ;
2( 3) 3 2 2
m m
m m m
m
 
       


Với m = 6 thì
0

y’(x)
y(x)
 +
2
0
0 +
+

2

2

+


x

y

1

2

1 3
-


 
   
 
 
 

III
Câu III .

 


 



   

 


' 0 4
' 2 4
' 3 2
y
y x x
y

+ Phương trình tiếp tuyến 
1

y x

Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:

 
 
 
 
   
            
   
 
3
3
2
2 2
3
0
2
4 3 4 3 2 6 4 3
S x x x dx x x x dx3
3
2
2 3 2
0 3
2
1
IV
Do
( ) ( )
SAB ABCD

và
SAB


cân
đỉnh S .
Gọi H là trung điểm của AB
( )
SH ABCD
 
.
Kẻ
HK AC
 
góc

SKH
là góc
giữa 2mp
( ) và ( )
SAC ABCD
,
nên

SH HK
HK
      
.
Gọi V là thể tích khối chóp
3
ABCD
1 1
2
3 3 3
2
a a
V SH S a a        
.
Gọi M là điểm đối xứng với H qua A . Ta có
( , ) ( , )
CH SD SD DM

.
Từ giả thiết ta có ( )
DA SBA SAD
  
vuông tại A.
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
11
2
4 2 4
a a a
SD AD AS AD SH HA a          ,

 
 
   

 

Vậy
7 11
cos( , )
33
CH SD 
( , ) 45 17 22
o
CH SD
 
  V
Xét
2 2 2
( )( ) ( ) 2 ( ) 0
a b a c ab ac a bc a bc a bc
         

2
( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
  
        
.
Dấu “=” xảy ra
a b c
  
.

VI.

Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là
5
' 3;
3
N

. Đặt
0
IB x
 
, ta có phương trình

2
2 2
1 1 5
2 2
4 8
x x
x x
     


8 2
3 2
3 2 0
5
x
x
y y
x y
y
x y
x y
y




 

  
   
 
  
   

 
  





Ta có:






3 ; 0 ; 1 , 2 ; 4 ; 4 , 1 ; 4 ; 3
AB AC BC
         
  2 2 2
10 ; 6 ; 26
AB AC BC AB BC AC
      
Suy ra: Tam giác ABC vuông tại B .
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (ABC), ta có:
 I là trung điểm cạnh AC nên


1 ; 2 ; 1
I .

1
3
2
R AB
 


   



Hệ trên chính là phương trình đường tròn (ABC) .
c
V
II
I

Xét
 
0 1 2 2 3 3
1 . . . .
      
n
n n
n n n n n
x C C x C x C x C x

+ Với x = 2 ta có:
0 1 2 3
3 2 4 8 2     
n n n
n n n n n
C C C C C
(1)
+ Với x = 1 ta có:
0 1 2 3

  
.Đặt 2 2 3
t x x
   
với


2,3
x  
Ta có:
1 1 3 2 2
'
2 2 3 2 2 3
x x
t
x x x x
  
  
   
;
' 0 3 2 2 1
y x x x
       

Bảng biến thiên:

Từ BBT suy ra:
5,5
t
 

5,5
t
 

 
, ta có:
   
2
2
14
' 0, 5,5
t
f t t f t
t

 
    
 
đồng biến trên
5,5
 
 Phương trình có nghiệm thực

 
 
9 5 11
5 5