HTTP://BUIPHAN.NET

1

345 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x).
Lưu ý:  Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C.
 Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là
()f x dx

; Vậy
( ) ( )f x dx F x C


2. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:
11
1 ( )
1. ; . ; ; ( ) .
11
x ax b
dx x c a dx ax c x dx C ax b dx C
a





            

22
22
1 1 1
tan ; .tan( ) ;
cos cos ( )
1 1 1
cot ; .cot( ) ;
sin sin ( )
dx x C dx ax b C
x ax b a
dx x C dx ax b C
x ax b a
      

        




3. Phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Phương pháp đổi biến:
[ ( )]. '( ) [ ( )]f t x t x dx F t x C


b) Phương pháp từng phần:
.udv u v vdu


4. Công thức tích phân: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
[a;b] thì

a
tx
dx
tx


Đặt t=t(x) Mẫu
()
( ). '( )
b
tx
a
f e t x dx


Đặt t=t(x) Mũ
( ( )). '( )
b
a
f t x t x dx


Đặt t=t(x) Ngoặc
( ( )). '( )
b
n
a
f t x t x dx



a
f x xdx


Đặt t=cosx
Sinxdx đi kèm biểu thức
theo cosx
2
1
(tan ).
cos
b
a
f x dx
x


Đặt t=tanx
2
1
cos
dx
x
đi kèm biểu thức
theo tanx
2
1
(cot ).
sin
b

6. Phương pháp tích phân từng phần:
()
bb
b
a
aa
udv uv vdu


Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:

( ).sin( )
b
a
P x ax b dx

ta đặt
()
sin( )
u P x
dv ax b dx





ta có
'( ).
1

1
sin( )
du P x dx
v ax b
a









()
( ).
b
ax b
a
P x e dx


ta đặt
()
ax b
u P x
dv e dx









ta có
.
()
a
du dx
ax b
v F x









7. Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b],
(H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (C
1
):y=f(x), (C
2
):y=g(x), x=a, x=b. Khi
đó diện tích của hình phẳng (H) là:
| ( ) ( ) |
b

1/ I =
1
x
xx
0
e dx
ee



.
2/ I =
1
1 ln
e
x
dx
x

3/ I =
2

6/I =
2
0
1 cosx
dx
1 cosx





7/ I =

2
0

sin
2
x.cos
2
xdx
8/I =

3
0

(2cos
2
x-3sin
2

4
0
cos xdx


12 / I =
2
3
0
sin xdx



13*/ I =
3
3
2
3
sin x sin x
cotgxdx
sin x





14/I =

17/I =
2
2
sin x
4
e sin2xdx




18/ I =


4
0
2
2
cos

x
e
tgx
. 34/I =
1

19/ I =

2
4
4
sin
1


x
dx
20/ I =

4
0
6
cos
1

x
dx
21/I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0





x 1 x dx


26/I =
1
0
x
dx
2x 1


27/I =
1
x
0
1
dx
e4


28/I =
2
x
1
1
dx
1e




x(ln x 1)


32/I =
7
3
3
0
x1
dx
3x 1




37/I =
2
22
1
x 4 x dx




38/I =
2
23
0
x (x 4) dx


e 1dx


42/I =
1
0
1
dx
3 2x


43/I =
2
5
0
sin xdx



44*/I =
3
0
1
dx
cosx



45/I =
2x


48/I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x
dx
x



.

64/I =
2
0
sin x.sin2x.sin3xdx


5

33/I =
2
3
2
0

3
1
1
dx
x 1 x


53/I =
3
22
6
tg x cotg x 2dx





54/I =
1
23
0
(1 x ) dx


55*/I =
1
2x
0
1
dx




59*/I =
23
2
5
1
dx
x x 4


60/I =
4
0
x
dx
1 cos2x




61/I =
2x
ln5
x
ln2
e
dx
e1

68*/I =
2
0
4cosx 3sin x 1
dx
4sin x 3cosx 5





69/I =
9
3
1
x. 1 xdx


70/I =
2
3
0
x1
dx
3x 2




71*/I =





75/I =
2
0
sin x
dx
sin x cosx




76/I =
e
1
cos(ln x)dx



77*/I =
2
2
0
4 x dx


78/I =
2

79/I =
e
1
1 3ln x ln x
dx
x



80/I =
3
2
2
ln(x x)dx
81/I =
e
2
1
(ln x) dx


82/I =
2
e


86/I =
1
2
0
1
dx
4x


87/I =
2
4
0
sin xdx



88/I =
3
2
6
ln(sin x)
dx
cos x




89/I =



95*/I =
2
e
2
e
11
( )dx
ln x
ln x



96/I =
3
2
4
x 4 dx




97/I =
2
32
1
x 2x x 2 dx

  

sin2x dx




102/I =
0
1 sinxdx




103/I =
1
3
2
1
ln(x x 1) dx







104*/I =
2
0
xsin x
dx

4
0
xsin xdx


7

92/I =
3
8
1
x1
dx
x



93/I =
3
3
2
1
x
dx
x 16



1
x ln(1 )dx
x

113/I =
e
2
1
e
lnx
dx
(x 1)


114/I =
1
2
0
1x
x.ln dx
1x




115/I =
2

1
dx
cosx



119*/I =
4
3
0
1
dx
cos x



120/I =
2
1
3x
0
x e dx


108/I =
2
4
0
xcos xdx




126/I =
1
0
2x 9
dx
x3




127/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)
128*/I =
0
2
2
sin2x
dx
(2 sin x)




132/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)




133/I =
3
3
6
4sin x
dx
1 cosx





134/I =
3
2
6




137/I =
3
4
2 2 5
0
sin x
dx
(tg x 1) .cos x




138/I =
3
22
3
1
dx
sin x 9cos x






139/I =
2



142/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)


143/I =
1
3
3
1
dx
x 4 (x 4)

  


144/I =
3
3
0
sin x
dx
cosx


3
0
sin x.tgxdx



136/I =
3
4
1
dx
sin 2x


.
152/I =
1
4x 2x
2
2x
0
3e e
dx
1e





156/I =
1
0
3
dx
x 9 x


157/I =
0
xsin xdx



158/I =
22
0
x cos xdx



159/I =
1
0
cos x dx


160/I =
1