Toán 12 (Tích phân)
NGUYÊN HÀM
I) Đònh nghóa nguyên hàm :
Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác đònh trên tập D.
F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x), ∀x∈D
II) Đònh nghóa tích phân không xác đònh :
Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số.
Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác đònh của hàm f(x).
Ký hiệu :
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
III) Bảng các nguyên hàm :
dx x C= +
∫
( )
1
x
x dx C 1
1
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫
dx
ln x C
x
= +
∫
x x

1
ax b
1
ax b dx C 1,a 0
a 1
α+
α
+
+ = + α ≠ − ≠
α +
∫
( )
dx 1
ln ax b C a 0
ax b a
= + + ≠
+
∫
ax b ax b
1
e dx e C
a
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
cos ax b dx sin ax b C
a
+ = + +

Ký hiệu :
( )
b
a
f x dx
∫
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = − 
 
∫
Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được
gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)
a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân
1
Toán 12 (Tích phân)
II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K
1)
( )
a
a
f x dx 0=
∫
2)
( ) ( )

f x 0, x a;b f x dx 0≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫
7)
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
b b
a a
f x g x , x a;b f x dx g x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫ ∫
8)
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
m f x M, x a;b m b a f x dx M b a≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ −
∫
9)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
t
a
t biến thiên trên đoạn a;b G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0⇒ = =
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1) Diện tích hình phẳng :
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y
1
= f

 
∫ ∫
• Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có
thể tích là :
( )
2
b b
2
Oy
a a
V x dy g y dy
= π =π  
 
∫ ∫
2
Toán 12 (Tích phân)
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Tính tích phân :
2
1
x
I dx
1 x 1
=
+ −
∫
(Đại học khối A – 2004)
2 2
1

dx
I
x x 4
=
+
∫
(Đại học khối A – 2003)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 3 4 4 4 4
2
2 2
3 3 3 3
5
4
4
3
3
Đặt t x 4 t x 4 2tdt 2xdx tdt xdx
Đổi cận : x 5 t 3;x 2 3 t 4
t 2 t 2
xdx tdt dt 1 1 1 1
I dt dt
t 2 t 2 4 t 2 t 2 4 t 2 t 2
t 4 t
x x 4
1 1 t 2 1 1 1

0
I x 1 x dx= −
∫
(Dự bò 2 – Đại học khối A – 2003)
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
1
1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0
0
Đặt t 1 x t 1 x x 1 t 2xdx 2tdt xdx tdt
Đổi cận : x 0 t 1;x 1 t 0
t t 1 1 2
I x 1 x xdx 1 t t tdt t t dt
3 5 3 5 15
= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
= ⇒ = = ⇒ =
 
= − = − − = − = − = − =
 
 
∫ ∫ ∫
4) Tính tích phân :
2
0
sin2x sinx

π
= ⇒ = = ⇒ =
 
−
 
+ −
 ÷
 ÷
+
   
+ +
 
 
= = = = = +
 ÷
 
+ +
   
∫ ∫ ∫ ∫
2
1
2 16 2 2 1 34
3 9 3 9 3 27
 
   
= + − + =
 ÷  ÷
 
   
 

π
= ⇒ = = ⇒ =
 
= = = = − =
 
 
∫ ∫
6) Tính tích phân :
1
2
0
I 1 x dx= −
∫
Giải
2 2
Khi gặp a x , ta đặt x asin t t ;
2 2
 π π 
 
− = ∈ −
 ÷
 
 
 
2 2 2 2 2
2
2 2 2
0
0 0 0 0 0
Đặt x sint t ; dx cos tdt.

=
+
∫
Giải
2 2
Khi gặp a x , ta đặt x atgt t ;
2 2
 π π 
 
+ = ∈ −
 ÷
 ÷
 
 
( )
( )
[ ]
2
4
2
4 4
2
0 0
0
Đặt x tgt t ; dx 1 tg t dt
2 2
x 0 tgt 0 t 0;x 1 tgt 1 t
4
1 tg t dt
I dt t

( )
1
2
2
2
0
3
2
3 3
2
6 6
6
dx 1 3 3
I . Đặt x tgt t ; dx 1 tg t dt
2 2 2 2 2
1 3
x
2 2
3 1 1 3 3
x 0 tgt tgt t ;x 1 tgt tgt 3 t
2 2 6 2 2 3
3
3
1 tg t dt
2 3 2 3 2 3 3
2
I dt t
3 3
3 3 3 3 6 9
tg t

+
∫
∫ ∫
9) Tính tích phân :
e
1
1 3ln x lnx
I dx
x
+
=
∫
(Đại học khối B – 2004)
( )
2
2
2 2
2 5 3
4 2
1 1
1
3dx dx 2tdt
Đặt t 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt
x x 3
x 1 t 1;x e t 2
t 1 2tdt 2 2 t t 2 32 8 1 1 116
I t t t dt
3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135
= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
= ⇒ = = ⇒ =

5
2x x 2
3
ln3 3 3 3 3
5
3
Đặt t e dt e dx
x ln3 t 3,x ln5 t 5
t 1 t 2
e dx dt dt 1 1
I dt dt ln t 2 ln t 1
e 2 3e t 3t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 2 t 1
t 2 3 1 3
ln ln ln ln
t 1 4 2 2
= ⇒ =
= ⇒ = = ⇒ =
− − −
 
= = = = = − =  − − − 
 ÷
 
+ − − + − − − − − −
 
 − 
= = − =
 
−
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

I 2 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2 2 4 ln 2 2
t t t 2 2
2ln
π π
= =
+ +
= + ⇒ = −
π
= ⇒ = = ⇒ =
− −
 
− +  
   
= = = − + = − + = − + − −
 ÷
 ÷  ÷
 
   
 
 
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2 1−
5
Toán 12 (Tích phân)
12)Tính tích phân :
( )
3
2

I udv uv vdu x ln x x dx 3ln 6 2ln2 2 dx
x x 1 x 1
3ln6 2ln 2 2x ln x 1 3ln6 2 ln 2 6 ln2 4 2 3ln6 3ln2 2 3ln 3
−


= −
=
 
⇒
−
 
=



=

−
 
 
= = − = − − = − − +
 ÷
 
− −
 
= − −  + −  = − − + − = − + − = − + 
  
∫ ∫ ∫ ∫
13) Tính tích phân :

Tính B cos xdx dx
2 2 4 4
Vậy I A B e 1
π π
π
π π
π
= + = +
π
= = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
 
= = = −
 
+ π
 
= = = + =
 
 
= + = − +
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
4
π
14) Tính tích phân :
( )
1
2x
0


⇒
 
= =
=



−
   
= = − = − − = − + − = − + − − =
   
   
∫
∫ ∫ ∫
15)Tính tích phân :
2
2
0
I x x dx= −
∫
(Đại học khối D – 2003)
Giải phương trình x
2
– x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x -∞ 0 1 2 +∞
x
2
– x + 0 – 0 + +
( ) ( )

[ ] [ ]
( )
4 4
1
2 2
0 0
2 2
4 4 4 4
4
4 4
1
0 0
0
0 0 0 0
1
u x du dx
x 1 x 1
I dx dx I Đặt :
dx dx
2cos x 2 cos x 2
dv v tgx
cos x cos x
cosx '
1 1
I udv uv vdu xtgx tgxdx dx ln cos x ln ln2
4 cosx 4 4 4 2
2
1 1
I I ln2
2 8 4

2
2
1 1 1
2 x t t
1
0 0 0
1 1 1
1 1
1
t t t
1
t t
0
0 0
0 0 0
Đặt t x dt 2xdx. Đổi cận : x 0 t 0,x 1 t 1
dt 1 1
I x e xdx te te dt I
2 2 2
u t du dt
1
Đặt I udv uv vdu te e dt e e e e 1 1 I
2
dv e dt v e
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
= = = =
= =
 
   
⇒ = = − = − = − = − − = ⇒ =

Đặt
v'
dv' costdt
π
π
π
= ⇔ = ⇔ = = ⇒ = = π ⇒ = π = =
=


=

 
⇒ = − + = π +
 
 
= = −
=



=
=

⇒

=

∫
∫

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
x x
x
1 1 1
x x x x
0 0 0
x
x 0
x 0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : e 1 x 1 e x x e e 0
x 1
e e
S e 1 x 1 e xdx x e e dx ; x 0;1 , ta luôn có x e e 0, vậy S x e e dx
du dx
u x
Đặt
dv e e dx v e
=
=


+ = + ⇔ − = ⇔ ⇔


=
=


e e
e 1 1 đvdt
2 2

 

 
= − − − = − −

 
 
= −
 


 
 
= − − − − = −
 ÷
 
 
 
∫
∫
7
Toán 12 (Tích phân)
20)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi
trục Ox và đường
( )
y x sin x 0 x= ≤ ≤ π



= π
=


 
− π π π π π π
= π = π = π = − = − = −
 
 
=
=

⇒

=
=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
3
Ox
0 0
0
x 1 1
I sin2x sin2xdx 0 cos2x 0 V đvtt
2 2 4 4
in2x
π π

x 0 t 1
cos2x 1 dt 1 1
I dx Đặt t 1 sin2x dt 2cos2xdx. Vậy I ln t ln 2
1 sin2x 2 t 2 2
x t 2
4
π
= ⇒ =
= = + ⇒ = = =   =
π
 
+
= ⇒ =
∫ ∫
22)Tính tích phân :
3
3
1
dx
I
x x
=
+
∫
(Dự bò 1 – Đại học khối B – 2004)
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3

   
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
23)Tính tích phân :
2
4
2
0
x x 1
I dx
x 4
− +
=
+
∫
(Dự bò 2 – Đại học khối A – 2004)
( )
2
2 2 2
3
2
2 2 2 2
0 0 0
0
2
8
8
4
4

2
4 4
4
2
0
0 0
dx 2 1 tg t dt ; x 0 tgt 0 t 0,x 2 tgt 1 t
4
2 1 tg t dt
1 1
B dt t
4 4tg t 2 2 8
16 17
Vậy I ln 2
3 8
π π
π
 π
⇒ = + = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
+
π
 
= = = =
 
+
 
π
= − − +

+ +
∫ ∫
25)Chứng minh rằng :
2
2
4
5
3 2sin xdx
2 4
π
π
π π
≤ + ≤
∫
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
4 4
2 1
x ; , ta có : sin x 1 sin x 1 1 2sin x 2 4 3 2sin x 5
4 2 2 2
5
2 3 2sin x 5 2 3 2sin xdx 5 3 2sin xdx đpcm
2 4 2 4 2 4
π π
π π
π π
 
∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤

+
∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤
∫
27)Tính tích phân :
4
3
I 1 cos2xdx
π
π
−
= −
∫
[ ] [ ]
0 0
4 4 4 4
2
0 0
3 3 3 3
0
4
0
3
I 2sin xdx 2 sinx dx 2 sin x dx sin x dx 2 sin xdx sin xdx
1 1 3 2
2 cosx cosx 2 1 1 1
2 2
2
π π π π

−
=
− −
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1
1
5x 5 5x 5 A B Ax 2A Bx 3B
Ta có : 5x 5 A B x 2A 3B
x x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2
A B 5 A 2
2A 3B 5 B 3
2 3
I dx 2 ln x 3 3ln x 2 3ln 4 2 ln 2 3ln3 6 ln 2 2ln 2 3ln3 4 ln 2 3ln3
x 3 x 2
− − + + −
= = + = ⇔ − = + + −
− − − + − + − +
+ = =
 
⇒ ⇔
 
− = − =
 
 

3 3 2 3 3
3 3 2 2
B 3 A 2
A B x 1
3x 1 A B Bx A B
A B 1 B 3
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
3x 1 2 3 1 3
dx dx C
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
= = −
+ +
 
+ + +
= + = = ⇒ ⇔
 
+ = =
+ + + + +
 
 
+ −
= + = − +
 ÷
 ÷
+
+ + + +
 
∫ ∫
30) Tính tích phân :

x 1 x x
1
u ln x 1 x
dx
1 x 1 x
du dx dx
Đặt
x 1 x 1 x x 1 x
xdx
dv
xdx
1 x
v
1 x
tdt
Tính v : Đặt t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx tdt xdx. v dt t 1 x
t
I 1 x ln x 1 x dx 2 ln 1 2 x

+ +
+


= + +
+ +


= = =
 
⇒

x
+
=
∫
(CĐ KT Đối ngoại khối A, D – 2005)
( )
[ ] [ ]
( )
2
2
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
1
2
2 2
1 1
1 1
1
dx
Đặt t ln x dt x e t 1,x e t 2
x
t 1 3
I t ln t dt tdt ln tdt I 2 I I
2 2 2
dt
u ln t
du
Tính I : Đặt I t ln t dt 2ln 2 t 2ln 2 2 1 2ln 2 1

6
cos x
J dx
sin x
π
π
=
∫
(HK2 – Sở GĐ TPHCM – 2004 – 2005)
10