GIẢI ðÁP TOÁN CẤP 3 – THI ðẠI HỌC
CÁC BÀI TOÁN TRONG
TAM GIÁC, TỨ GIÁC
CÁC BÀI TOÁN VỀ
ðƯỜNG THẲNG
CÁC BÀI TOÁN VỀ
ðƯỜNG TRÒN

CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TRONG HÌNH HỌC OXY

Biên soạn: Thanh Tùng *) Tóm tắt lý thuyết ñầy ñủ theo một trình tự logic và có hệ thống.
*) ðưa ra các hướng tư duy và phương pháp giải khái quát cho từng lớp bài toán.
*) Có bài toán mẫu minh họa ñi kèm.
*) Phần bài tập áp dụng có gợi ý.
*) Lời giải chi tiết cho từng bài toán cụ thể
(tham khảo thêm trên http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ).

4 B. CÁC BÀI TOÁN
BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM

ðể hiểu rõ hơn cho 4 hướng tư duy tương ứng với 4 TH của Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ðiểm” thầy sẽ
dùng 6 bài thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa.
1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho
CN = 2ND. Giả sử
11 1
;
2 2
M
 
 
 
và ñường thẳng AN có phương trình
2 3 0
x y
− − =
. Tìm tọa ñộ ñiểm A.
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñường tròn
2 2

1
( )
C
tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB
vuông góc với d.
4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương
trình
2 2
4
x y
+ =
. Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.
5) (D – 2012:CB). Cho hình chữ nhật ABCD. Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =
và
4 0
x y
− + =
; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm
1
( ;1)
3
M −
. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD.
6) (D – 2012 :NC). Cho ñường thẳng
: 2 3 0
d x y
− + =

Cách 1
Phân tích: :
+) Ta có
{
}
A AN AM
= ∩
nên Theo hướng tư duy 1 (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình
AM

+) Biết
M
nhưng chưa biết
A
(chính là ñáp số ta cần tìm) nên ta phải ñi tìm thêm vtpt hoặc vtcp
+) Bài toán không có yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt hoặc vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng
+) Yếu tố ñịnh lượng: cos
MAN
∠
=
(
)
cos ,
AM AN
n n
uuuur uuur
AM
n
⇒
uuuur

10
3
a
AN =

Trong
AMN
∆
ta có: cos
MAN
∠
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =

Gọi
( ; )
AM
n a b
=
uuuur
là vtpt của
AM
và ta có
(2; 1)
AN

−

⇔ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

=
+ +

+) Với
3
a b
= −
chọn
1; 3
a b
= = −
(1; 3)
AM
n
⇒ = −
uuuur
⇒
phương trình
11 1
: 3 0
2 2
AM x y
   
− − − =
   
   

a b
= =

(3;1)
AM
n⇒ =
uuuur
⇒
phương trình
11 1
:3 0
2 2
AM x y
   
− + − =
   
   

hay
:3 17 0
AM x y
+ − =
. Vì
{
}
A AN AM
= ∩
nên ta giải hệ:
2 3 0 4
(4;5)
6

Cách 2:

Phân tích:
A AN
∈

nên Theo hướng tư duy 2 (TH2) ta gọi
( )
A t AN
∈
ta cần thiết lập 1 phương trình
( ) 0
f t
=

(còn dữ kiện
11 1
;
2 2
M
 
 
 


2
; ;
3 3 2
a a a
ND NC MB MC
⇒ = = = =
( vì
ABCD
là hình vuông và 2
CN ND
=
)
Và áp dụng Pitago ta ñược:
5 5
;
2 6
a a
AM MN= =
và
10
3
a
AN =

Trong
AMN
∆
ta có: cos
MAN

và
2
45
2
AM =
(theo (*))

⇔
2 2
2
1 (1; 1)
11 7 45
2 5 4 0
4 (4;5)
2 2 2
t A
t t t t
t A
= −
 
   
− + − = ⇔ − + = ⇔ ⇒
   
 
=
   
 

Vậy
(1; 1)

( )
A AN C
= ∩ với
( )
C
là ñường tròn tâm
M
bán kính
R h
=

7

Giải: +) Gọi
H
là hình chiếu của
M
lên
AN

2 2

;
2 6
a a
AM MN= =
và
10
3
a
AN =

Trong
AMN
∆
ta có: cos
MAN
∠
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =⇒
MAN
∠
=
0

A AN x y
∈ − − =
Nên ta xét hệ :
2 2
11 1 45
1
2 2 2
1
2 3 0
x
x y
y
x y

   
=

− + − =

   
⇔
 
   
= −


− − =

hoặc
4

Phân tích:
+) Phương trình
( )
E
:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
như vậy ta cần tìm
;
a b
+) (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8
2 8 4
a a
⇒ = ⇒ =

+) Theo Hướng tư duy 4 (TH4) ta gọi
( ; )
A x y
(
0
x
>
) là một giao ñiểm của (E) và
( )
C
:

E
có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

+) (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8
2 8 4
a a
⇒ = ⇒ =

+) Gọi
( ; )
A x y
(
0
x
>
) là một giao ñiểm của (E) và
( )
C
.Ta có:
2 2
( ) 8
A C x y
∈ ⇒ + =
(1)

1
4 3
b
b
⇒ + = ⇒ =
. Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
2 2
1
16
16
3
x y
+ = 8

3) (B – 2012:CB). Cho ñường tròn
2 2
1
( ) : 4
C x y
+ =
,


(Trước ñó ta ñi lập phương trình
1
II
ñi qua
1
I
vuông góc với
AB
(tính chất ñường nối tâm) hay song song với
d
)
Và dữ kiện
2
( )
I C
∈
giúp ta thiết lập ñược phương trình :
( ) 0 ?
f t t
= → = →
tọa ñộ ñiểm
I

( Ta có thể làm theo Hướng tư duy 3 (TH3) với
{
}
1 2
( )
I II C

1
(0;0)
I

Vì
1
1
II AB
II
AB d
⊥

⇒

⊥

//
d
⇒
phương trình
1
II
:
0
x y
− =

.
Gọi
1

( , ) 2 2
1 1
R d I d
− +
= = =
+
. Vậy phương trình
( )
C
là:
2 2
( 3) ( 3) 8
x y
− + − =4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương
trình
2 2
4
x y
+ =
. Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.

Phân tích: +) Phương trình
( )
E
:
2 2
2 2

+) Khai thác dữ kiện: ñường tròn
2 2
4
x y
+ =

tiếp xúc với các cạnh của hình thoi
2
( , ) 0
f a b
→ =
(2)
Từ (1) và (2)
2
?
a
→ =
và
2
?
b
=

→
phương trình (E).
B b
.
Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD 2 4 2
OA OB OA OB
⇔ = ⇔ =

2
a b
⇔ =
(vì
0
a b
> >
) hay
(2 ;0)
A b
,
(0; )
B b

Gọi
H
là hình chiếu của
O
lên
AB

2
OH R
⇒ = =

là:
2 2
1
20 5
x y
+ =5) (D – 2012:CB). Cho hình chữ nhật ABCD. Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =

và
4 0
x y
− + =
; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm
1
( ;1)
3
M − . Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Cách 1:

Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) :
{
}
A AC AD
= ∩
→

I t t
⇒
mà
1 1 2
( , ) 0
I AC f t t
∈ ⇒ =
(1)
Vì
,
MB MD
uuur uuuur
cùng phương
2 1 2
( , ) 0
f t t
⇒ =
(2)
+) Từ (1) và (2)
1
2
?
?
t
t
=

⇒ ⇒

=


( 3;1)
A
−AB
ñi qua
A
và vuông góc với
AD
nên
AB
có phương trình:
3 1
2 0
1 1
x y
x y
+ −
= ⇔ + + =
−

Gọi
1 1
( ; 2)
B t t AB
− − ∈
và
2 2

I AC t t t t
+ − +
∈ ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = +
(*)
Có:
1 1 2 2
1 10
; 3 2 ; 2 6
3 3
MB t t t t
   
= + − − = + − −
   
   
uuur
(theo (*)) và
2 2
1
; 3
3
MD t t
 
= + +
 
 
uuuur

Mặt khác
, ,
B D M

I
⇒
(3; 1)
C
−
( vì
I
là trung ñiểm của
AC
)
10

5) (D – 2012:CB). Cho hình chữ nhật ABCD. Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =

và
4 0
x y
− + =

song
song với
AD
và
{
}
'
N d AC
= ∩

⇒
pt trung trực
d
của
AD
⇒
tọa ñộ trung ñiểm
,
I J
của
AC
và
AD⇒
tọa ñộ
, ,
C D B


'
d
ñi qua
M
song song
AD
có dạng:
1
( 1) 0 3 3 4 0
3
x y x y
+ − − = ⇔ − + =

Gọi
{
}
'
N d AC
= ∩
nên ta xét hệ:
1
3 0
1
1;
1
3 3 4 0
3
3
x
x y

⇒
, ,
H I J
lần lượt là trung ñiểm
, ,
MN AC AD
5 5
;
4 4
H
 
⇒ −
 
 
⇒
pt của
d
:
5 5
0 0
4 4
x y x y
   
+ + − = ⇔ + =
   
   

Ta có:
}
{

( )
0 2
2;2
4 0 2
x y x
J
x y y
+ = = −
 
⇔ ⇒ −
 
− + = =
 
⇒
( 1;3)
D
−
(
J
là trung ñiểm của
AD
)

⇒
(1; 3)
B
−
(
I
là trung ñiểm của