GIẢI ðÁP TOÁN CẤP 3 – THI ðẠI HỌC
CÁC BÀI TOÁN TRONG
TAM GIÁC, TỨ GIÁC
CÁC BÀI TOÁN VỀ
ðƯỜNG THẲNG
CÁC BÀI TOÁN VỀ
ðƯỜNG TRÒN

CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TRONG HÌNH HỌC OXY

Biên soạn: Thanh Tùng *) Tóm tắt lý thuyết ñầy ñủ theo một trình tự logic và có hệ thống.
*) ðưa ra các hướng tư duy và phương pháp giải khái quát cho từng lớp bài toán.
*) Có bài toán mẫu minh họa ñi kèm.
*) Phần bài tập áp dụng có gợi ý.
*) Lời giải chi tiết cho từng bài toán cụ thể
(tham khảo thêm trên ). BÀI TOÁN TÌM ðIỂM
H À N Ộ I 0 3 / 2 0 1 3
2
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñường tròn
2 2
( ): 8
C x y
+ =
. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có
ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt
( )
C
tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông.
3) (B – 2012:CB). Cho ñường tròn
2 2
1
( ) : 4
C x y
+ =
,
2 2
2
( ) : 12 18 0
C x y x
+ − + =
và ñường thẳng
: 4 0
d x y
− − =
.
Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc
2
( )

d x y
− + =
. Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc
d
, cắt trục Ox
tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. 5

1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho
CN = 2ND. Giả sử
11 1
;
2 2
M
 
 
 
và ñường thẳng AN có phương trình
2 3 0
x y
− − =
. Tìm tọa ñộ ñiểm A.

Cách 1
Phân tích: :
+) Ta có
{
}


Giải:
ðặt
AB a
=

2
; ;
3 3 2
a a a
ND NC MB MC
⇒ = = = =
( vì
ABCD
là hình vuông và 2
CN ND
=
)
Và áp dụng Pitago ta ñược:
5 5
;
2 6
a a
AM MN= =
và
10
3
a
AN =


MAN
∠
=
(
)
cos ,
AM AN
n n
uuuur uuur

2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
2
2
2(2 ) 5( ) 3 8 3 0 (3 )( 3 ) 0
3
2
. 2 1
a b
a b
a b a b a ab b a b a b
a b
a b
= −
−

⇔ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

=

. Vì
{
}
A AN AM
= ∩
nên ta giải hệ:
2 3 0 1
(1; 1)
3 4 0 1
x y x
A
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒ −
 
− − = = −
 

+) Với
3
a b
=
chọn
3; 1
a b
= =

(3;1)
AM

 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 

Vậy
(1; 1)
A
−
hoặc
(4;5)
A

6

Cách 2:

Phân tích:
A AN
∈

AN

2 2
11 1
2. 3
3 5
2 2
( , )
2
2 1
MH d M AN
− −
⇒ = = =
+

ðặt
AB a
=

2
; ;
3 3 2
a a a
ND NC MB MC
⇒ = = = =
( vì
ABCD
là hình vuông và 2
CN ND
=

∠
=
0
45

MAH
⇒ ∆
cận tại
H
3 5 3 10
2 2.
2 2
AM MH⇒ = = =
(*)
+) Gọi
( ;2 3)
A t t AN
− ∈
và
2
45
2
AM =
(theo (*))

⇔
2 2
2
1 (1; 1)
11 7 45


và
11 1
;
2 2
M
 
 
 
cố ñịnh . Nếu
AM h const
= =
( ta sẽ tìm cách ñi tính
AM
).
Nên Theo hướng tư duy 3 (TH3) :
{
}
( )
A AN C
= ∩ với
( )
C
là ñường tròn tâm
M
bán kính
R h
=
a a a
ND NC MB MC
⇒ = = = =
( vì
ABCD
là hình vuông và 2
CN ND
=
)
Và áp dụng Pitago ta ñược:
5 5
;
2 6
a a
AM MN= =
và
10
3
a
AN =

Trong
AMN
∆
ta có: cos
MAN
∠
2 2 2
2
2 . 2

2 2
11 1 45
2 2 2
x y
   
− + − =
   
   

Mà
:2 3 0
A AN x y
∈ − − =
Nên ta xét hệ :
2 2
11 1 45
1
2 2 2
1
2 3 0
x
x y
y
x y

   
=

− + − =


“tự nhiên” nên thầy không trình bày ở ñây)
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñường tròn
2 2
( ): 8
C x y
+ =
. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có
ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt
( )
C
tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông.
Phân tích:
+) Phương trình
( )
E
:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
như vậy ta cần tìm
;
a b
+) (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8
2 8 4
a a
⇒ = ⇒ =


) thuộc góc phần tư thứ nhất)
⇒
tọa ñộ ñiểm
A
+) Mà
( )
A E b
∈ ⇒ →
phương trình (E).
Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip
( )
E
có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

+) (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8
2 8 4
a a
⇒ = ⇒ =

+) Gọi
( ; )
A x y
(
0

y A
⇒ = ⇒

+) Mà
( )
A E
∈
2 2
2
2 2
2 2 16
1
4 3
b
b
⇒ + = ⇒ =
. Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
2 2
1
16
16
3
x y
+ =

8

3) (B – 2012:CB). Cho ñường tròn
2 2
1

1
( )
I t II
∈

(Trước ñó ta ñi lập phương trình
1
II
ñi qua
1
I
vuông góc với
AB
(tính chất ñường nối tâm) hay song song với
d
)
Và dữ kiện
2
( )
I C
∈
giúp ta thiết lập ñược phương trình :
( ) 0 ?
f t t
= → = →
tọa ñộ ñiểm
I

( Ta có thể làm theo Hướng tư duy 3 (TH3) với
{

1
( )
C
là
1
(0;0)
I

Vì
1
1
II AB
II
AB d
⊥

⇒

⊥

//
d
⇒
phương trình
1
II
:
0
x y
− =

⇒

2 2
3 3 4
( , ) 2 2
1 1
R d I d
− +
= = =
+
. Vậy phương trình
( )
C
là:
2 2
( 3) ( 3) 8
x y
− + − =4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương
trình
2 2
4
x y
+ =
. Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.

Phân tích: +) Phương trình
( )

( , ) 0
f a b
→ =
(1)
+) Khai thác dữ kiện: ñường tròn
2 2
4
x y
+ =

tiếp xúc với các cạnh của hình thoi
2
( , ) 0
f a b
→ =
(2)
Từ (1) và (2)
2
?
a
→ =
và
2
?
b
=

→
phương trình (E).


OA OB OA OB
⇔ = ⇔ =

2
a b
⇔ =
(vì
0
a b
> >
) hay
(2 ;0)
A b
,
(0; )
B b

Gọi
H
là hình chiếu của
O
lên
AB

2
OH R
⇒ = =
( vì ñường tròn
2 2
4

20 5
x y
+ =5) (D – 2012:CB). Cho hình chữ nhật ABCD. Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =

và
4 0
x y
− + =
; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm
1
( ;1)
3
M − . Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Cách 1:

Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) :
{
}
A AC AD
= ∩
→
tọa ñộ ñiểm
A


1 1 2
( , ) 0
I AC f t t
∈ ⇒ =
(1)
Vì
,
MB MD
uuur uuuur
cùng phương
2 1 2
( , ) 0
f t t
⇒ =
(2)
+) Từ (1) và (2)
1
2
?
?
t
t
=

⇒ ⇒

=

tọa ñộ của
, ,

−AB
ñi qua
A
và vuông góc với
AD
nên
AB
có phương trình:
3 1
2 0
1 1
x y
x y
+ −
= ⇔ + + =
−

Gọi
1 1
( ; 2)
B t t AB
− − ∈
và
2 2
( ; 4)
D t t AD
+ ∈

(*)
Có:
1 1 2 2
1 10
; 3 2 ; 2 6
3 3
MB t t t t
   
= + − − = + − −
   
   
uuur
(theo (*)) và
2 2
1
; 3
3
MD t t
 
= + +
 
 
uuuur

Mặt khác
, ,
B D M
thẳng hàng
⇒
,

C
−
( vì
I
là trung ñiểm của
AC
) 10

5) (D – 2012:CB). Cho hình chữ nhật ABCD. Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =

và
4 0
x y
− + =
; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm
1
( ;1)
3
M − . Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Cách 2:

Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) :
{
}

⇒
pt trung trực
d
của
AD
⇒
tọa ñộ trung ñiểm
,
I J
của
AC
và
AD⇒
tọa ñộ
, ,
C D B

Giải: Vì
{
}
A AC AD
= ∩
nên xét hệ:
3 0
4 0
x y
x y

x y x y
+ − − = ⇔ − + =

Gọi
{
}
'
N d AC
= ∩
nên ta xét hệ:
1
3 0
1
1;
1
3 3 4 0
3
3
x
x y
N
y
x y
= −

+ =


 
⇔ ⇒ −

 
⇒ −
 
 
⇒
pt của
d
:
5 5
0 0
4 4
x y x y
   
+ + − = ⇔ + =
   
   

Ta có:
}
{
I d AC
= ∩ nên ta xét hệ:
( )
0 0
0;0
3 0 0
x y x
I
x y y
+ = =

 
− + = =
 
⇒
( 1;3)
D
−
(
J
là trung ñiểm của
AD
)

⇒
(1; 3)
B
−
(
I
là trung ñiểm của
BD
)

6) (D – 2012 :NC). Cho ñường thẳng
: 2 3 0
d x y
− + =
. Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc
d
, cắt trục Ox

với
( , )
IH d I Ox
=
và
1
2
AB
HA
= =

Giải:
+) Gọi
I
là tâm ñường tròn cần lập và gọi
( ;2 3)
I t t d
+ ∈

+) Ta có
AB CD
=
2 3 3 ( 3; 3)
( , ) ( , ) 2 3
2 3 1 ( 1;1)
t t t I
d I Ox d I Oy t t
t t t I
+ = = − − −
  

+) Với
( 1;1)
I
−
( , ) 1 1
IH d I Ox
⇒ = = =
và ta có:
2
1
2 2
AB
AH
= = =
2 2 2 2
2
R IA IH HA
⇒ = = + =

Vậy phương trình ñường tròn:
2 2
( 1) ( 1) 2
x y
+ + − =
.

CHÚ Ý: Trước khi vào phần BÀI TOÁN 2 chúng ta có một số quy ước sau:
+)
( )M t
∈∆

Dạng 1: Các bài toán trong tam giác, tứ giác
Loại 1: Các bài toán về ðịnh Tính
Loại 1.1: Các bài toán về ñường trung tuyến, ñường cao, trung trực
Bài 1: Biết ñỉnh A của tam giác ABC và 2 trung tuyến BM, CN. Viết phương trình các cạnh của
ABC
∆
. Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 1 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) và phương trình hai ñường trung tuyến BM: 8x – y – 3 = 0,
CN: 14x – 13y – 9 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh B, C. (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5))

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñường trung tuyến BM và CN lần lượt là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC. (ðs:
16
ABC
S
∆
=
(ñvdt))12

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là
4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0. Viết phương trình BC. (ðs: x – 2y – 1 = 0 ; với B
( 3; 2)

3
2;
2
 
 
 
,
9
6;
2
 
− −
 
 
)
( Các em tham khảo phần giải mẫu qua các Ví dụ 2, Ví dụ 3, Ví dụ 5 )

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñường trung tuyến BM và CN lần lượt là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
Giải:

+) Gọi B
3
;
6
t
t
+
 
∈


⇒
N
1 9
;
2 12
t t
+ −
 
 
 

Mà N
∈
CN
1 9
5. 6. 1 0 3
2 12
t t
t
+ −
⇒ − − = ⇔ = −

⇒
B
( 3;0)
−

+) Tọa ñộ trọng tâm G của
∆

 
3 3 1 3 5
3 2 2 0 4
C G A B
C G A B
x x x x
y y y y
= − − = − + =

⇒

= − − = + − =


⇒
C
(5;4)
.Vậy phương trình BC:
3
2 3 0
8 4
x y
x y
+
= ⇔ − + =

Gọi H là chân ñường cao kẻ từ A xuống BC
⇒
AH =
2 2

4 14 0
2 5 2 0
x y
x y
+ + =


+ − =

4
2
x
y
= −

⇔

=


⇒
A
( 4;2)
−

+) Gọi B
1 1
( ; 4 14)
t t
− −

− + + + = − + = − = −
  
⇒ ⇔ ⇔
  
− − − = + = − =
  

⇒
B(-3;-2)
C(1;0)




Vậy phương trình BC:
3 2
4 2
x y
+ +
= ⇔
2 1 0
x y
− − =

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trung ñiểm của AB là I(1; 3), trung ñiểm AC là J(-3; 0). ðiểm A thuộc Oy và
ñường BC qua gốc tọa ñộ O. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC.
Giải:

Gọi A
(0; ) Oy

⇒ = ⇔ =
− −⇒
A
9
0;
2
 
 
 
, B
3
2;
2
 
 
 
, C
9
6;
2
 
− −
 
 

Bài 2: Biết ñỉnh A của tam giác ABC và 2 ñường cao BH và CK. Viết phương trình các cạnh.


Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 2 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết ñỉnh A(1; –3); phương trình hai ñường cao xuất phát từ B và C lần lượt là
x+ 2y – 8 =0 và 3x + 5y – 1 = 0. Viết phương trình cạnh BC. (ðs: 3x – 2y – 8 = 0)

Ví dụ 2 (A – 2004): Cho hai ñiểm A (0; 2) và B(
3
−
;
1
−
). Tìm tọa ñộ trực tâm và tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp
của tam giác OAB. (ðs: H(
3; 1)
−
,
( 3;1)
I −
) 14

Bài 3: Cho ñỉnh A và hai ñường trung trực
1 2
,
d d
của cạnh AB và AC (hoặc BC).Viết phương trình các cạnh. TH1 TH2


Bài 4: Biết ñỉnh A của tam giác ABC và ñường cao BH, trung tuyến CM. Lập phương trình các cạnh. Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 4 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(–4; – 5) và phương trình ñường cao BH: x + 2y – 2 = 0, ñường trung tuyến
CM: 8x – y – 3 = 0. Tìm tọa ñộ ñỉnh B, C. (ðs: B(4; –1), C(1; 5))
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình của trung tuyến AM và ñường cao BH lần lượt là: 2x + y – 3 = 0;
2x – y – 4 = 0. ðiểm
1 5
;
2 2
N
 
−
 
 
thuộc ñoạn BC và ñỉnh C thuộc ñường thẳng d: x + y – 3 = 0. Viết phương trình
ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC không song song với hai trục tọa ñộ. (ðs:
2 2
3 1 5
2 2 2
x y
   
− + + =
   
   
)

(ðs:
2 2 18 3 8 8
; , ; , ;
3 3 5 5 3 3
A B C
     
− − −
     
     
)
15

Bài 5: Biết ñỉnh A và trung tuyến CC’, ñường trung trực của cạnh BC. Tìm tọa ñộ B, C. Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 5 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A(5; 13). Phương trình ñường trung trực cạnh BC, ñường trung tuyến CC’
(C’ thuộc AB) lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 1 = 0. Viết phương trình cạnh BC. (ðs: x – y + 2 = 0)

Ví dụ 2 : Cho tam giác
ABC
có ñường trung trực của cạnh
BC
cắt ñương thẳng ñi qua
AB
tại ñiểm
(1;2)
Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 6 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1: Tam giác ABC có ñường trung tuyến AN : x – y + 1 = 0, ñường cao BH : x + 2y – 1= 0, ñoạn AB có trung
ñiểm M(1; 1). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. (ðs: AB: x = 1; AC: 2x – y = 0; BC: 3x – y – 3 = 0)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ñiểm M(0; 3) là trung ñiểm của AB. Phương trình trung tuyến AN: 2x – y – 2 = 0,
ñường cao BH: x – 3y + 14 = 0.Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ðs:
2 2
( 3) ( 3) 50
x y
+ + + =
)

16

Bài 7: Biết ñỉnh A (hoặc ñường cao xuất phát từ A ñi qua ñiểm N và trọng tâm G thuộc một ñường thẳng…)
của tam giác ABC và trung tuyến BM, ñường cao BH. Viết phương trình các cạnh.
TH1 TH2
Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 7 ñể giải các ví dụ sau)
M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng
∆
: x + y – 5 = 0. Viết phương trình
ñường thẳng AB. (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Bài 8: Sử dụng ñiều kiện vuông góc (trường hợp riêng của Bài 19) ñể giải bài toán.

Cách giải:
*) Gọi tọa ñộ các ñiểm (nếu chưa biết) liên quan tới yếu tố vuông góc theo một ẩn nhờ vào:
+) ñiểm thuộc ñường thẳng.
+) ñiểm có mối liên hệ với ñiểm khác: trung ñiểm, trọng tâm, thỏa mãn hệ thức véctơ…
17

*) “Cắt nghĩa” ñiều kiện vuông góc:
0
. 0
. 0
. 0
90 . 0
a b
a b
AB MN AB MN
n n
a b
u u
AMB MA MB

⊥ ⇔ =


=

G m = ± )

Ví dụ 2 (D – 2008): Cho (P):
2
16
y x
=
và ñiểm A(1; 4). Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao
cho
BAC
∠ =
0
90
. Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4))
Ví dụ 3 (A – 2009): Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm I(6; 2) là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD. ðiểm
M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng
∆
: x + y – 5 = 0. Viết phương trình
ñường thẳng AB. (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Ví dụ 4: Cho ñiểm M(3; 3), viết phương trình ñường thẳng ñi qua I(2; 1) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam
giác AMB vuông tại M. (ðs: x + 2y – 4 = 0 và x + y – 3 = 0
).

CHÚ Ý:
Qua các bài toán trên liên quan tới yếu tố trung tuyến và ñường cao, ñường trung trực các em có thể rút ra ñược một
vài ñiều như sau (tuy ñơn giản nhưng hướng tư duy này sẽ giúp chúng ta giải quyết tốt những bài toán dạng trên):
+) Nếu M là trung ñiểm của AB
2
2
A B M

2
A BC
⇒ ∈
(2)
+) Từ (1) và (2)
⇒
phương trình BC (chính là phương trình
1 2
A A
)
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 9 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 1), phương trình ñường phân giác trong góc B,
góc C lần lượt là BD: 2x + y + 4 = 0; CE: x + 3y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh BC. (ðs:x + 23y + 46 = 0)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ñường phân giác trong góc B, góc C lần
lượt là BD: 6x + 8y – 17 = 0; CE: x – 2y + 3 = 0, ñiểm M
17
1;
7
 
−
 
 
và N
1
1;
3
 
 

Bài 11: Biết ñỉnh A và trung tuyến BM, phân giác trong CD. Viết phương trình các canh. Cách giải:
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 11 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0 và phân
giác trong CD: x + y – 1 = 0. Viết phương trình ñường thẳng BC (ðs: 4x + 3y + 4 = 0).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chân ñường trung tuyến kẻ từ B xuống AC là M(1; – 1), ñường phân giác trong của
góc C là x + y – 2 = 0. Viết phương trình cạnh AC biết ñiểm N(–7; 7) thuộc cạnh BC. (ðs: 5x + 3y – 2 = 0
)

Ví dụ 3 (D – 2011 ): Cho tam giác ABC có ñỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và ñường thẳng chứa phân giác trong
của góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A và C. (ðs:
(4;3), (3; 1)
A C
−
)

19

Bài 12: Biết ñỉnh A và ñường cao BH, phân giác trong BD. Viết phương trình các cạnh tam giác. Cách giải:

CHÚ Ý:
Như vậy qua các bài toán liên quan ñến ñường phân giác trong của tam giác các em sẽ nhận thấy ta luôn tìm thêm
ñiểm ñối xứng với ñiểm ñã biết tọa ñộ trên cạnh kề của góc chứa phân giác qua phân giác ñó , và ñiềm ñó sẽ thuộc
cạnh kề còn lại (ñây là ñặc ñiểm luôn ñược khai thác khi có bài toán chứa phân giác)

20
Loại 2: Các bài toán về ðịnh Lượng
Bài 14: Biết ñỉnh A hoặc trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một ñường thẳng d cho trước.
Biết tọa ñộ ñỉnh B, C và diện tích tam giác ABC( hoặc diện tích của 1 trong 3 tam giác ABG, BCG, CAG) . Tìm
tọa ñộ ñỉnh A.(Nếu biết thêm trung tuyến AM thì thay dữ kiện biết tọa ñộ B, C bởi biết ñường thẳng BC và câu hỏi là
tìm tọa ñộ ñỉnh B, C) TH1 TH2
Cách giải:

(trường hợp riêng của Bài 16)
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 14 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1 (B – 2004): Cho hai ñiểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñiểm C thuộc ñường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C ñến ñường thẳng AB bằng 6. ( ðs:
(7;3)
C
hoặc
43 27
;
11 11
21

Bài 15: Biết ñỉnh A và phương trình ñường thẳng BC và hình chiếu H của A xuống BC chia theo
BH kHC
=
uuur uuur
và biết
diện tích tam giác ABC (hoặc biết ñộ dài ñoạn BC). Tìm tọa ñộ B, C. Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 15 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; – 2) và phương trình ñường thẳng BC là 3x – 4y + 1 = 0 và hình chiếu H của
A xuống BC thỏa mãn 6
HC BH
= −
uuur uuur
. Tìm tọa ñộ các ñiểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 7,5 .
(ðs: B(1; 1), C(5; 4))

Ví dụ 2 (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân tại A có ñỉnh A(–1;4) và các ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng
∆: x – y – 4 = 0. Xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
( ðs:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2

BH kHC
=
uuur uuur

và biết diện tích tam giác ABC (hoặc biết ñộ dài ñoạn BC). Tìm tọa ñộ B, C.
TH2: Biết phương trình AC và biết phương trình ñi qua A căt BC tại H (biết A), biết B ( hoặc C) và thỏa mãn
BH.BC = k. Tìm ñỉnh còn lại.

BH.BC = k
TH1 TH2

22

Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 16 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 1), cạnh BC có phương trình 3x – 4y + 6 = 0. ðường thẳng d cắt ñoạn BC tại
ñiểm H sao cho HC = 3BH. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm B, C biết ñường thẳng d có phương trình x – 4y + 8 = 0 và tam giác
ABC có diện tích bằng 1,5. (ðs: B(2; 3), C(-2; 0) )
Ví dụ 2 (B – 2011): Cho hai ñường thẳng
∆
: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm N thuộc ñường thẳng
d sao cho ñường thẳng ON cắt ñường thẳng
∆
tại ñiểm M thỏa mãn OM.ON = 8. (ðs:
(0; 2)

x y
∈
AC. Tìm
tọa ñộ các ñỉnh. Cách giải:

C2: +) Tìm
1 2
{ }
B d d
=
I

+) Viết phương trình
3
d
qua M song song với
2
d

+) Tìm
1 3
{ }
N d d
=

).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh
huyền nằm trên ñường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, ñiểm N(7; 7) thuộc ñường thẳng AC, ñiểm M(2; –3) thuộc AB và
nằm ngoài ñoạn AB. (ðs:
( 1;1), ( 4;5), (3;4)
A B C
− −
)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình AB, BC lần lượt là y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0. Tính diện tích
24

tam giác ABC biết AC ñi qua ñiểm M(–1; 2) (ðs:
8
ABC
S
∆
=
).
Ví dụ 4 (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân tại A có ñỉnh A(6; 6); ñường thẳng ñi qua trung ñiểm của các cạnh
AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh B và C, biết ñiểm E(1; - 3) nằm trên ñường cao ñi qua
ñỉnh C của tam giác ñã cho. (ðs:
(0; 4), ( 4;0)
B C
− −
hoặc
( 6;2), (2; 6)
B C
− −
)
Ví dụ 5 (B – 2007): Cho ñiểm A(2; 2) và các ñường thẳng

ñộ ñỉnh A, biết A có tung ñộ dương. ( ðs:
13
3;
3
A
 
 
 
)
Bài 19: Các ñiểm liên hệ với nhau bởi một ẩn và một ñiều kiện về ñịnh lượng

Cách giải:
+) Khai thác dữ kiện bài toán ñể chuyển các ñiểm về 1 ẩn t (nhờ thuật toán tìm ñiểm)
+) Thiết lập phương trình:
( ) 0 ?
f t t
= ⇒ = ⇒
các ñiểm cần tìm.
CHÚ Ý: Bài 8 là trường hợp ñặc biệt của Bài 19 khi ñiều kiện ñịnh lượng là ñiều kiện góc
0
90
(vuông góc).

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 19 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai ñiểm A, B thuộc trục hoành. Phương trình cạnh BC là 4x + 3y – 16 = 0.
Xác ñịnh tọa ñộ trọng tâm G của tam giác ABC, biết bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1.
(ðs: G
4
2;
3

;
3 3
G
 
− − − −
 
 
 
)
Ví dụ 3 (D – 2008): Cho (P):
2
16
y x
=
và ñiểm A(1; 4). Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao
cho góc
0
90
BAC∠ =
. Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4))
Ví dụ 4 (A – 2006): Cho các ñường thẳng:
1
d
: x + y + 3 = 0,
2
d
: x – y – 4 = 0,
3
d
: x – 2y = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M

)
Ví dụ 6 (A – 2005): Cho hai ñường thẳng d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0 tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông
ABCD biết rằng ñỉnh A thuộc d
1
, ñỉnh C thuộc d
2
và các ñỉnh B, D thuộc trục hoành.
(ðs:
(1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)
A B C D
−
hoặc
(1;1), (2;0), (1; 1), (0;0)
A B C D
−
)
Ví dụ 7 (D – 2006): Cho ñường tròn
2 2
( ) : 2 2 1 0
C x y x y
+ − − + =
và ñường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm tọa ñộ
ñiểm M nằm trên d sao cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc ngoài với ñường
tròn (C). ( ðs:
(1;4)
M


Dạng 2: Các bài toán về ñường thẳng
Loại 1: ði qua một ñiểm và thỏa mãn một yếu tố ñịnh lượng
Cách giải chung:
C1:
+) Gọi phương trình ñi qua ñiểm M
0 0
( ; )
x y
có hệ số góc k có dạng:

0 0
( )
y k x x y
= − +
hay
0 0
0
kx y y kx
− + − =
(
∆
)
+) Sau ñó “cắt nghĩa” dữ kiện về ñịnh lượng ñể thiết lập phương trình:
( ) 0 ?
f k k
= ⇒ = ⇒
phương trình
∆
.

+) Sau ñó “cắt nghĩa” dữ kiện về ñịnh lượng ñể thiết lập phương trình:
( , ) 0
f a b a kb
= → =
(*)
+) Từ (*) chọn
?
?
a
b
=

⇒

=

phương trình
∆

CHÚ Ý: Chúng ta ñã sử dụng cách này trong Bài 18

Bài tập áp dụng
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm M(1; 4) và N(6; 2). Lập phương trình ñường thẳng
∆
qua M sao
cho khoảng cách từ N tới
∆
bằng 5. (ðs:
21 20 59 0
x y

x y
− + =
)