SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI : KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN
VỀ CĂN BẬC HAI.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp các năm học vừa qua, tôi đã phát
hiện ra còn rất nhiều học sinh có kỹ năng giải toán về “căn bậc hai” còn yếu, kém
trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi
thực hiện các phép toán về căn bậc hai hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực
hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh
được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết, giúp các em có một sự
am hiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc hai, tạo nền móng để tiếp tục
nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
a. Cơ sở ký luận
Theo tình hình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu,
thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt
kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán
học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán…
Có thể chia làm hai nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít.
+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải.
+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV.
- Nguyên nhân chủ quan:
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 1 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho từng
HS còn ít.
+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy lơgic,khả năng
diễn đạt chính xác ý tưởng của HS.

9a1 39 1 2.6% 26 66.7% 12 30.8%
9a2 40 1 2.5% 24 60.0% 15 37.5%
Khối 9 79 2 2.5% 50 62.3% 27 34.2%
2. Các kiến thức cơ bản
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương kí hiệu là
a
và số âm kí hiệu là -
a
.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
0
= 0
.
- Căn bậc hai số học:
2
0x
x a
x a
≥

= ⇔

=

- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a
≥
0, có

b
a
b
a
=
”)
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 3 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi
các công thức sau :
⇔ ≥ tồn tại A 0A
(với A là biểu thức đại số)
2
A
=
A
(với A là biểu thức đại số)
BAAB =
(với A, B là hai biểu thức mà A
≥
0, B
≥
0)
B
A
B
A
=
(với A, B là hai biểu thức mà A
≥

( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m

(với A, B là hai biểu thức màA
≥
0, A
≠
B
2
)
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m

(với A, B, C là các biểu thức mà A, B
≥

Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học
của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề.
- Biện pháp khắc phục:
+ GV cần phải cho HS nắm được: Với số dương a, số
a
được gọi là căn
bậc hai số học của a
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :
a
và -
a
.
+ Khi nói đến
a
ta phải có: a
≥
0 và
a
≥
0, nghóa là
a
không thể âm. Vì
vậy không được viết :
Số 144 có hai căn bậc hai là
144
= 12 và
144
= - 12.
VD2 : Tính
16

và số âm kí hiệu là -
a
. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
Với số a
≥
0 thì
a
≥
0, nghóa là
a
không thể âm.
b. Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn
bậc hai,
A
có nghóa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
VD1: HS có thể giải sai:
+ Vì
( ) ( )
3 . 27 81 9− − = =
và
( ) ( )
3. 27 3 . 27 81 9− − = − − = =
nên
( ) ( )
3 . 27 3. 27− − = − −
(!)
+ Vì
50 50
25 5
2

 
= − − = − = −
 
VD3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
A x x= +
+ Cách giải sai:
Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để
x
xác đònh mà vội vàng tìm
giá trò nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào
2
2
1 1
2 4
x x x
 
+ = + −
 ÷
 
mà biến đổi
2
1 1 1
2 4 4
 
= + = + − ≥ −
 ÷
 
A x x x
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 6 GV : PHẠM HỒNG ÚT

0x ≥
. Do đó:
0 min 0 0A x x A x= + ≥ ⇒ = ⇔ =
- Nguyên nhân: Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều
kiện để
A
tồn tại.
HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
- Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS điều
kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để
A
xác đònh, điều kiện để có:
.a b ab=
;
a a
b
b
=
.
c. Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về đònh nghóa giá trò tuyệt đối của một số.
VD1: Rút gọn biểu thức sau: A =
2
2 5a a−
( Với a < 0 )
+ Cách giải sai;
A =
2
2 5a a−
=
2 5 2 5 3a a a a a− = − = −

2
4(1 )x
- 6 = 0
⇔ − =
2
2 (1 ) 6x
⇔
1 x−
= 3.
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 7 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3
⇔
x = -2
2) 1- x = -3
⇔
x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trò của x là x
1
= -2 và x
2
= 4.
- Nguyên nhân:
HS chưa hiểu rõ về giá trị tuyệt đối của một biểu thức
- Biện pháp khắc phục:
+ Củng cố lại khái niệm giá trò tuyệt đối:
≥

=

Vì
2 2
9 (3 ) 3x x x= =
nên ta có:
3 12x = −

⇒
3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
- VD2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
Rút gọn biểu thức:
2
(4 17)−
+ Cách giải sai:
HS1:
2
(4 17) 4 17 4 17− = − = −
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 8 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
HS2:
2
(4 17) 4 17− = −
+ Cách giải đúng:
2
(4 17) 4 17 17 4− = − = −
-VD3: Tìm x sao cho B có giá trò là 16.
B =
1616 +x
-
99 +x
+

2
hay 16 =
2
)1( +x
⇔
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1
⇔
x = 15
2) 16 = -(x+1)
⇔
x = - 17.
- Cách giải đúng:
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1−x
+
1−x
(x
≥
-1)
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔

= | A|, có nghóa là :
2
A
= A nếu A
≥
0 ( tức là A lấy giá trò không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trò âm ).
e. Những khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trò của các căn thức, mà
biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Chẳng hạn: Tính
11 4 7−
;
7 5 2−
Để giải quyết vấn đề trên HS làm sao vận dụng hằng đẳng thức lần lượt
biến đổi biểu thức
11 4 7−
và
7 5 2−
dưới dạng bình phương và lập phương của
một biểu thức.
Trong các hằng đẳng thức :
( )
2
2 2
2A B A AB B± = ± +
Học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở
dạng trên.
VD1: Ở bài tập 15c ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

-
Đối với biểu thức có dạng:
2x a b±
với a,b
≥
0 và x = a
2
+ b thì
( )
2
2x a b a b± = ±

Áp dụng:
Bài 1: Tính
( )
2
12 2 35 12 2 7. 5 7 5 7 5 7 5− = − = − = − = −
Bài 2: Tính
( )
2
11 4 7 11 2.2. 7 2 7 2 7 7 2− = − = − = − = −
Bài 3: Tính
( )
2
46 6 5 46 2.3 5.1 3 5 1 3 5 1 3 5 1− = − = − = − = −
Bài 4: Bài 15d ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )
Chứng minh:
23 8 7 7 4+ − =
Ta có :
Vế trái:

∈
Q
+
; x,y,z,m
∈
R )
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu
mà tránh những sai sót.
g. Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào
trong dấu căn, sử dụng đònh nghóa căn bậc hai số học để giải phương trình.
- VD1: Bài tập
Rút gọn:
( )
2
2
3 5 4A x x x= + − −
( với
0x ≥
)
+Cách giải sai :
( )
2
2
3 5 4 3 5 2 4A x x x x x x x= + − − = − − = −

+ Cách giải đúng là :
Với
0x ≥
. Ta có:

+ Cách giải đúng:

3
2 48M x x
x
−
= + −
. Điều kiện để M xác đònh là: x < 0.
Khi đó:
( )
( )
2
3
2 16. 3 2 3 4 3 2 3
x
M x x x x
x
− −
= − + − = − − + − = −
- VD3: Bài tập 1 ( Sách nâng cao toán 9 - tập 1- trang 11 )
Giải phương trình :
14 2x x− = −
(*)
+ Cách giải sai :
(*)
( )
2
2 14x x⇔ − = −

( )

x x
− ≥


⇔

− = −


2
2
4 4 14
x
x x x
≥

⇔

− + = −


( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
5 2 05 2 10 0
x
x
x xx x x


Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5.
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 13 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
- Nguyên nhân: HS nắm chưa vững quy tắc
2
A B A B=
với
0B
≥
,
điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để
A
tồn
tại, đònh nghóa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
- Biện pháp khắc phục:Khi dạy GV cần cho HS nắm vững:
+
2
A B A B=
với
0B
≥
+
2 '
2 '
voi 0; 0
voi 0; 0
A B A B
A B
A B A B

+ Nếu
0A ≥
, B > 0 thì
A A
B
B
=
h. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương
HS thường mắc phải một số sai lầm:

VD1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )
Tính
1,44.1,21 1,44.0,4−
+ Cách giải sai:
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44.1,21 1,44.0,4
1, 2.1,1 1,2.0,2 1,32 0,24 1,08 (!)
− = − =
= − = − =

+ Cách giải đúng:
( )
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 1,2.0,9 1,08− = − = = =
VD2: Giải các bài tập sau:
Tính: a.
81.256
; b.
625
16
+ Cách giải sai:
a.

( )
( )
( )
2
2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1
− −
−
= = =
−
−
−
c.
5 5 7 5 7 5 7
2.7 3 17
2 7 3 2 7. 7 3
= = =
+
+ +

d.
2 1
3
2 3
a
a
=

−
− +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
5 2 7 3 5 2 7 3 5 2 7 3
5 10 7 15

28 9 19
2 7 3
2 7 3 . 2 7 3
2 7 3
/c
− − −
−
= = = =
−
+
+ −
−
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2

a ≠
)
- Nguyên nhân:
+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để
khai phương mà ngộ nhận sử dụng “
A B A B+ = +
” tương tự như
. .A B A B=

( với
0A ≥
và
0B ≥
) để tính .
+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương.
+ HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính
chất cơ bản của phân thức.
+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai
biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức:
( ) ( )
2 2
A B A B A B− = − +

- Biện pháp khắc phục:
+ GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai
phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng
A B A B+ = +

tương tự như
. .A B A B=

2
A B≠
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
, với
0, 0A B≥ ≥
và
A B≠
i. Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 16 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của
số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bò sai.
DV1 : Tìm x, biết :
(4-
)174(32).17 −<x
.
- Cách giải sai :
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x <

không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất
đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4
và
17
cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
VD2: Rút gọn biểu thức :
3
3
2
+
−
x
x
- Cách giải sai :
3
3
2
+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x

≠
-
3
).
-Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =-
3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2
+
−
x
x

sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai
Trường THCS Hàng Vịnh Trang 17 GV : PHẠM HỒNG ÚT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN VỀ CĂN BẬC HAI
trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn
tại thì làm sao có thể có kết quả được.
III. K ẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả
Từ khi áp dụng sáng kiến trên vào việc giảng dạy tơi thấy đạt được kết quả rất
khả quang, cụ thể điểm bài kiểm tra 45 phút chương I như sau :
Lớp Sỉ số
điểm 9 - 10 điểm trên 5 điểm dưới 5
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
9a1 39 3 7.7% 33 84.6% 3 7.8%

- Giáo viên phải chòu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí
các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chòu
khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn
đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể
tránh được những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính
điện tử bỏ túi Caisiô f(x) 500; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà
thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân
Trên
đây là một số kinh nghiệm ít ỏi của bản thân mong được sự đóng góp của
đồng nghiệp và các cấp lãnh đạo để bản thân được ngày càng hồn thiện hơn trong sự
nghiệm trồng người sau này! Xin chân thành cảm ơn!!!

Trường THCS Hàng Vịnh Trang 19 GV : PHẠM HỒNG ÚT