PHẦN A: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong hệ thống các môn học ở bậc THCS, môn toán đóng một vai trò hết sức
quan trọng, bởi lẽ học môn Toán giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển được
sự linh hoạt, sáng tạo và tư duy trừu tượng. Học toán giúp con người nâng cao trình
độ tính toán, giúp khả năng tư duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển.
Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy
luận, đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic.
Trong chương trình môn Đại số lớp 7 phần kiến thức về số hữu tỉ và tỷ lệ thức
là hết sức cơ bản. Các phép tính số hữu tỉ đã giải quyết đước các bài toán thực tế mà
trong số nguyên không thực hiện được, chúng được sử dụng để học tiếp các phần sau
của môn toán THCS và các môn khoa học tự nhiên khác. Đặc biệt từ một tỷ lệ thức
ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết được
3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng
tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải
toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng
(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Trong hoá học, vật lý tỉ lệ thức
cũng là phương tiện để giải các bài toán. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Qua quá trình dạy học tôi thấy rất nhiều học sinh còn chưa có kĩ năng thực hiện
các phép tính số hữu tỉ như: quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, tìm số hạng
trong một tỉ lệ thức.
Với những lý do trên đây, tôi đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải
về số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7.
II. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:
1. Mục đích nghiên cứu.
1
Trong chuyên đề này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm số hữu tỉ, hệ thống lại
một số định nghĩa, quy tắc về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức, phương pháp giải,
các bước giải các dạng toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức. Bằng cách sắp xếp các dạng

với a, b
∈
Z; b
≠
0.
II. Cộng, trừ số hữu tỉ.
1. Quy tắc cộng, trừ.
Viết các số hưu tỉ dưới dạng các phân số cùng mẫu dương rồi thực hiện công, trừ
phân số:
Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m
∈
Z; m
≠
0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba +
; x-y=

db
ca
.
.
2. Chia số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y
≠
0) ta có: x:y=
b
a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
B. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
I. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c

3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta suy ra
( )
db
db
ca
db
ca
d
c
b
a
±≠
−
−
=
+
+
==
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c

từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
suy ra
( )
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)
k a k ca c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d
   
= = = ≠ = ≠
 ÷  ÷
   
từ
f
e
d
c
b
a
==
suy ra
3

1. Đa số học sinh chưa biết thực hiện quy đồng mẫu số của phân số, vì vậy gây
khó khăn cho việc học và thực hiện phép cộng trừ số hữu tỉ.
2. Kỹ năng thực hiện phép tính về phân số và số hữu tỉ còn hạn chế, có những
học sinh không biết trình bày các bước biến đổi của một dãy phép tính, không thực
hiện được phép cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.
3. Có những học sinh không nhớ các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, dãy tỉ số
bằng nhau do đó gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệ thức.
4. Kỹ năng biến đổi một tỉ lệ thức để tìm số hạng chưu biết, chứng minh đẳng
thức, tính toán thực tế, . . . còn hạn chế.
5. Phần lớn học sinh còn mơ hồ về phương pháp giải, các bước giải khi đứng
trước một bài toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
II. Kết quả khảo sát chất lượng học sinh đầu chương I
Lớp sĩ số
Giỏi Khá TB Yếu- Kém
SL % SL % SL % SL %
7A 27 0 0 2 7, 4 10 37, 03 15 55, 57
5
Qua khảo sát chất lượng học sinh thấy rằng: tỉ lệ học sinh giỏi không có, tỉ lệ học
sinh trung bình và khá nhỏ hơn tỉ lệ học sinh yếu kém.
Nguyên nhân có thể do trong hè học sinh không được ôn tập, nhưng chủ yếu là do
học sinh bị lỗ hổng kiến thức và kĩ năng từ các lớp dưới.
Trước thực trạng đó rất cần có một chuyên đề bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh về
phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
CHƯƠNG III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số một số dạng toán và
phương pháp giải sau:
I. Các phép toán về số hữu tỉ.
Dạng 1 . Phép cộng, trừ số hưu tỉ.
1. Phương pháp.
Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số cùng mẫu dương, thực hiện phép cộng, trừ

Đối với học sinh miền núi, việc thực hiện quy đồng mẫu số là rất khó khăn, trong
khi lên lớp, cùng với thời gian phụ đạo ngoài giờ cần nhắc lại, luyện tập việc
thực hiện quy đồng mẫu số để đưa về phân số cùng mẫu.
Việc trình bày lời giải cần hướng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng
nhau, biểu thức sau là kết quả của phép toán trước.
Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phương pháp thực hành giải toán, phù hợp
với trình độ các đối tượng học sinh trong lớp. Nếu cần có thể đưa ra các hướng dẫn,
các mức độ bài toán khác nhau cho từng đối tượng học sinh.
2. Bài tập minh hoạ:
Tính: a, 0, 6+
3
2
−
; b,
3
1
- (-0, 4); c,
18
8−
-
27
15
6
Giải.
a, 0, 6+
3
2
−
=
10

4
=
3
1
+
5
2
=
15
65 +
=
15
11
c,
18
8−
-
27
15
=
9
4−
-
9
5
=-1
Dạng 2. Phép nhân, chia số hưu tỉ.
1. Phương pháp.
Viết số hữu tỉ dưới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất
phép nhân để thực hiện.

a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
2. Bài tập minh hoạ:
Thực hiện phép tính. a,
7
2−
.
8
21
; b) 0, 24.
4
15−
; c, (-2). (-
12
7
); d,
23
5−
: (-2)
Giải.
a.
7

9−
c, (-2). (-
12
7
)=
1
2−
.
2
7−
= 7
d,
23
5−
: (-2)=
23
5−
.
2
1
−
=
46
5
Dạng 3. Thực hiện phối hợp các phép tính.
1. Phương pháp.
7
Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các
phép tính thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện.
Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên

)
2
e, E= -5, 13: (5
28
5
-
8
1
9
. 1, 25 + 1
63
16
)
Giải.
a, Có thể hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau:
Cách 1. Trước hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc.
36 4 3 30 10 9 18 14 15
6 6 6
A
− + + − − +
= − −
=
35 31 19 15 5 1
2
6 6 6 6 2 2
− −
− − = = = −
Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp.
2 1 5 3 7 5
6 5 3

         
− − − = − − = − × − =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
d, D = (
7
3
+
2
1
)
2
= (
14
13
)
2
=
196
169
e, E = -5, 13: (5
28
5
-
9
17
.
4
5
+ 1

⇒
x = z- y.
Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế nhưng không đổi dấu, hay chuyển vế
các số hạng không hợp lý. Khi lên lớp cần thường xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại
quy tắc và vận dụng quy tắc.
2. Bài tập minh hoạ:
Tìm x, biết:
a, x-
2
1
=
3
2−
; b,
7
2
- x = -
4
3
; c, x +
3
1
=
4
3
; d, x -
5
2
=
7

3
1
=
12
5
; d, x=
7
5
+
5
2
=
35
39
II. Các bài toán về tỉ lệ thức.
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1. Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= ⇒ = ⇒ = = =
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

x= +
có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
60
15
x
x
−
=
−
Giải : từ
( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x
−
=
−
⇒ = − −
⇒ =
⇒ =

3 5
3 .7 5 .5
5 7
7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x
−
= ⇒ − = −
−
⇒ − = −
⇒ =
⇒ =
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x
− − −
= ⇒ =
−
áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
10

x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
− +
=
− +
⇒ − + = + −
⇒ + − − = − + −
⇒ − = −
⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x
2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau
2. Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
= =
(1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c
0≠
và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .

+ +
= = = =
+ + + +
⇒ = = =
+ + + + + +
11
b). Hướng khai thác từ bài trên như sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*
1 2 3
k x k y k z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
k x k y k z f+ + =
*x. y. z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
-
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
= =
-
2 1 4 3
;a x a y a y a z= =
-
1 2 3
b x b y b z= =
-

k x k y k z k= = = ⇒ = = =
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
2 3 4 27 9 27 3k k k k k+ + = ⇒ = ⇒ =
Khi đó x = 2. 3 = 6; y = 3. 3 = 9; z = 4. 3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
⇒ = = = = = =
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y – 5z = -21
Giải:
12
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
=k

;
a c
b d
có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính
giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế
phải.
Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
=
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c
− −
=
.
Giải:
Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc

1
(2),( 0)
b k
a b bk b k
b
a bk bk k
d k
c d dk d k
d
c dk dk k
−
− − −
= = = ≠
−
− − −
= = = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c
− −
=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= ⇒ =
Ta có:
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c
− −

b d
=
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
b d a c
± ± + +
= =
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
2
a bc=
thì
14
a)
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= = ≠
− − +
(với a
, )b a c≠ ≠
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ
2

a k
c a ak a k
a
c a ak a a k k
+
+ + +
= = = ≠
− − − −
+
+ + +
= = = ≠
− − − −
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
- Cách 3: Ta có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,

2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a
2
= bc

a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
+ −
= = ⇒ = = =
+ −
+ +
⇒ =
− −
b)- Cách 1: xét tích chéo ( a
2
+ c
2
)b = a
2

+
⇒ =
+
- Cách 2: Từ a
2
= bc
a c
b a
⇒ =
Đặt
a c
k
b a
= =
suy ra a = bk, c = ak = bk
2

Ta có

( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
1

2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
+
⇒ = =
+
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
= ⇒ = × = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 4: Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2

− − − − − −
= = = = =
16
2 2 2
0
abz acy bcx bay cay cbx
a b c
− + − + −
= =
+ +
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
= =
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

17
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c
0>
)
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542
cba
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

2
11
22
542542
==
++
++
===
cbacba
Suy ra

102
5
42
4
42
2

542
==
−+
−+
======
cbacbacba
Suy ra
18

357
5
287
4
217
3
=→=
=→=
=→=
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1
5


5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
= = ⇒ = =
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c
+ +
⇒ = = = = =
+ +
Suy ra a=25. 10=250; b=24. 10=240 ; c=22. 10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Dạng 4 :Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng
.
.
x y x y
a b ab
= =
hay
. .
. .
x y z x y z
a b c ab c
= = =
19
Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x, y biết rằng

2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x= ⇒ − ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±
hoặc đặt
2 , 5
2 5
x y
x x x y x= = ⇒ = =
vì xy=10 nên 2x. 5x=10
2
1 1x x⇒ = ⇒ = ±
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện số chia khác 0
Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần
tìm
Bài tập 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
a b c a b c a b c

z t t x x y z y
+ + + +
= + + +
+ + + +
Tính giá trị của P biết rằng
(1)
x y z t
y z t z t x t x y x y z
= = =
+ + + + + + + +

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
+ + +
= = = =
+ + + + + + + + + + +
Cách 2:Từ (1) suy ra
1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
→ = = =
+ + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tìm giá trị của biểu thức M biết :
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
+ + + +
= + + +
+ + + +
Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng
khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại, nếu các số hạng dưới bằng
nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
3. Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A
2
=B
2
suy ra A=B
Bài tập 4:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
Giải:
1 60
15 1
x

bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc
phải.
II. Những bài học kinh nghiệm rút ra.
Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một
vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy người
thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng
cao trình độ cho bản thân.
III. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học
sinh.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể
đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây
dựng để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
23
24