BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ LOAN

DẠY HỌC NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
HÀM HỮU TỶ THEO HƯỚNG PHÂN DẠNG BÀI TẬP
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỌC SINH
LỚP 12

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013 LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên khoa Toán – Lý –Tin
Trường Đại học Tây Bắc, phòng quản lí khoa học, Ban chủ nhiệm khoa Toán –
Lí – Tin trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời tôi cũng nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phương pháp toán trường Đại học Tây Bắc,
các thầy cô giáo dạy toán và học sinh khối 12 của hai trường T.H.P.T Than
Uyên, T.H.P.T Đoàn Kết. Cùng sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Thạc sĩ Đinh
Trọng Hiếu giáo viên trường THPT Đoàn Kết, sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn
sinh viên K50 – Đại học sư phạm Toán – Lí.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và các em học sinh đã đóng góp ý kiến, giúp tôi hoàn thành khóa luận.
Với luận văn này tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, phê bình của
các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Đóng góp của đề tài 2
6. Cấu trúc của khóa luận 2
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Dạy học giải bài tập toán học 3
1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học 3
1.1.2. Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới 4
1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải 4
1.1.4. Phương pháp tìm lời giải 5
1.2. Nguyên hàm - tích phân trong nhà trường phổ thông 6
1.2.1. Vị trí, phân phối của nguyên hàm - tích phân trong chương trình toán
học ở phổ thông 6
1.2.2. Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông 7
1.3. Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ

x ax bx c

24
2.2.4. Phng phỏp tớnh nguyờn hm dng 4:
2
Px
dx
x ax bx c

vi
P(x) l hm a thc bc n 29
2.3. Phng phỏp gii cỏc dng toỏn tớch phõn hu t thng gp 32
2.3.1. Phng phỏp tính tích phân dạng tổng quát sau:

2
dx
I a 0
ax bx c





(trong đó
2
ax bx c 0
với mọi

2
Px
dx
x ax bx c




39
Chng 3: THC NGHIM S PHM 42
3.1 Mc ớch thc nghim 42
3.2 Ni dung thc nghim 42
3.3 Phng phỏp thc nghim 42
3.4 T chc thc nghim 42
3.5. ỏnh giỏ kt qu thc nghim 49
3.6. Kt lun rỳt ra t thc nghim 50
PHN KT LUN 51
TI LIU THAM KHO 52

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay thế giới, sự phát triển như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học
kĩ thuật đã tác động mạnh mẽ tới mọi lĩnh vực của đất nước ta nói chung và thúc
đẩy sự nghiệp GD nói riêng chính sự đổi mới đất nước yêu cầu nghành GD-ĐT
phải có sự đổi mới về nội dung, chương trình đào tạo để đáp ứng nhu cầu tạo ra
những con người phát triển toàn diện có đủ đức và tài, những con người có tri
thức,trí tuệ phát triển thông minh sáng tạo, năng động đặc biệt là thực tế. Muốn
vậy các cấp học, bậc học trong nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho

- Tìm hiểu Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ở trường THPT
- Vai trò của Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ trong chương trình toán
học ở THPT
- Vị trí chức năng của bài toán Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân
hữu tỷ ’’ trong chương trình giải tích 12 ở một số trường THPT
- Tìm hiểu việc dạy giải bài tập “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ’’
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra – quan sát
- Phương pháp thực nghiệm
5. Đóng góp của đề tài
- Đề tài đóng góp vào việc xây dựng một cách có hệ thống các dạng bài tập
và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ” cho học sinh
THPT. Đồng thời là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên ngành
sư phạm toán để nâng cao chất lượng dạy và học.
6. Cấu trúc của khóa luận
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Đóng góp của đề tài
6. Cấu trúc của khóa luận
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Phân dạng bài tập và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ -
Tích phân hữu tỷ ’’ cho học sinh lớp 12
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


trong phần lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục tiêu day học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ

4
chức cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo
được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra … Tất nhiên, việc giải bài tâp
cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của quá
trình dạy học mà nó đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những
chức năng khác nhau.
Như vậy bài tập Toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển
năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành
phẩm chất tư duy khoa học mà còn kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
Bài tập Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ mang đầy đủ chức năng, vai
trò của một bài tập Toán học.
1.1.2. Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới
a) Xây dựng chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại hệ thống hóa gồm nhiều kiến thức.
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập sách giáo khoa là trường hợp
riêng dành cho học sinh khá giỏi.
b) Thực hiện gợi động cơ, phân bậc hoạt động tìm tòi lời giải bài toán.
c) Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập toán theo quy trình
bốn bước của G.Poria.
1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải

nhất trong số các cách đã tìm được.
7i) Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i) đến (4i) là các yêu cầu cơ bản, (5i) là yêu cầu về mặt trình
bầy và (6i), (7i) là các yêu cầu đề cao.
1.1.4. Phương pháp tìm lời giải
Trong môn toán ở chương trình phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải. Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh
cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cách tốt nhất để giáo viên trang bị cho học
sinh một số tri thức phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa, nhằm rèn
luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc,
đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong
chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt nhằm trang bị những hướng dẫn
chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là có thể và cần thiết.

6
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với các gợi ý chi tiết của Polya
(1975) về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có
thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
+ Phát biểu đề bài dưới những dạng kiến thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung bài toán.
+ Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh.
+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó
có liên quan, sử dụng các phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,toán quỹ tích,…

Bài 1: Nguyên hàm 2 tiết
Bài tập 2 tiết
Bài 2: Tích phân 2 tiết
Bài tập 2 tiết
Học kì II:
Bài 3: Các phương pháp tính tích phân 2 tiết
Bài tập 2 tiết
Bài 4: Ứng dụng hình học và vật lí của tích phân 2
Bài tập 2 tiết
Bài tập ôn tập chương 2 tiết
Kiểm tra viết cuối chương 1 tiết
1.2.2. Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông
a. Dạy học nguyên hàm ở trường phổ thông
Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của đạo hàm, ta có thể
chứng minh được một số tính chất quan trọng của nguyên hàm như:
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x); a là một hằng số thì aF(x) là
nguyên hàm của af(x)
- F(x) + G(x) +C là họ nguyên hàm của f(x) + g(x) nếu F(x) là nguyên
hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x)
Dựa vào các tính chất đó và bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
ta có thể suy ra bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Dựa vào bảng
nguyên hàm cơ bản ta có thể tìm được nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ và
nhiều hàm số khác.

8

Tuy vậy cũng còn chưa tìm được nguyên hàm của một số khá nhiều hàm
số. Vì vậy cũng nên giới thiệu cho học sinh biết phương pháp tìm nguyên hàm
từng phần qua những ví dụ cụ thể. Nếu học sinh nắm được những đặc điểm cơ
bản của hai phương pháp này thì sau này, khi tính tích phân, sẽ có nhiều thuận

Trong một số trường hợp, ta cần dùng phối hợp cả ba phương pháp: dùng
trực tiếp định lí Niuton-Leibnitz, đổi biến số, tích phân từng phần, và các trường
hợp phải đổi biến số nhiều lần hoặc tính tích phân từng phần nhiều lần.
Cũng nên chú ý rằng nếu nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân,trong
một số trường hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phương pháp đơn giản
hơn thông thường.
1.3. Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ
ở trường phổ thông
Để tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân
hữu tỷ ở một số trường THPT, chúng tôi đã tiến hành khảo sát 2 trường THPT,
THPT Đoàn Kết, THPT Than Uyên.
9
1.3.1. Đối tượng giáo viên
Bảng 1
S
T
T
Trường
THPT
Số
lượng
giáo
Viên
Tuổi nghề ( năm )
Hệ đào tạo
Chất lượng
giảng dạy

2
10 6
4 Qua điều tra thấy phần lớn giáo viên có thâm liên công tác gần chục năm
trở lên, đã tích lũy được kinh nghiệm giảng dạy. Phương pháp giảng dạy bộ
môn khá ổn định, tay nghề vững vàng. Nhưng số giáo viên trẻ tuổi mới ra
trường còn bỡ ngỡ trong giảng dạy cũng có nên kết quả, chất lượng giảng dạy
còn chưa cao. Hầu hết giáo viên được đào tạo hệ chính quy, có một số giáo viên
được đào tạo ở hệ cử tuyển và chuyên tu đại học. Các giáo viên đều có chất
lượng giảng dạy đạt loại khá trở lên. Đặc biệt có những giáo viên dạy giỏi và đạt
danh hiệu dạy giỏi các cấp như ở trường THPT Đoàn Kết có 33,3% giáo viên thi
giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh đều đạt giải cao trong đợt vừa qua. Tuy chưa phải là
nhiều nhưng nó đã góp phần cổ vũ động viên các nhà giáo dục không ngừng học
hỏi để nâng cao tay nghề, trình độ chuyên môn của mình. 10
Bảng 2
STT
Nhận thức
phương pháp đổi
mới

Nội dung
THPT

pháp đổi mới
dạy học
Nhanh
3
5
Bình thường
6
8
Chậm hơn so với phương
pháp cũ
2
3
3

Thái độ học tập
của học sinh sau
khi áp dụng đổi
mới phương
pháp dạy học
Hăng hái phát biểu ý kiến
1
3
Còn rụt rè
4
2
Ỷ lại vào tài liệu, không tập
trung học tập nghe giảng
5
3
Ý kiến khác

Thực trạng
Giảng dạy
Thầy đọc - trò ghi Đàm thoại giải quyết vấn đề
8
12
Học sinh tự nghiên cứu và giải quyết vấn
đề Phương pháp khác
4
3
2
Thực trạng
Đổi mới
Thường xuyên
1
2
Chỉ vào các đợt thao giảng
2

Chỉ có ở các giáo viên khá giỏi
8
5
Rất ít khi dạy theo phương pháp đổi mới
2
1

3
Ý kiến khác
2
12
4
Phương
pháp học
tập của
học sinh
Chỉ nghe trên lớp
5
3
Nghe giảng trên lớp và làm bài tập trong
sách giáo khoa
4
15
Đọc trước bài kết hợp nghe giảng
3
10
Chủ yếu nghiên cứu dựa vào sách giáo
khoa và tài liệu tham khảo
2
6
Ý kiến khác
1
4

12
Từ bảng số liệu thể hiện trên ta thấy việc đổi mới phương pháp giảng dạy
của giáo viên bậc THPT đã bước đầu được các nhà trường quan tâm. Việc sử

6
9
Chưa phù hợp
1
2
Bình thường
1
3
Ý kiến khác 2
Sự phân bố nội dung
chương trình nguyên
hàm hữu tỷ - tích phân
hữu tỷ đối với học sinh
Phù hợp
4
9
Chưa phù hợp
5
2
Bình thường
1
6
Ý kiến khác
2

Than
Uyên

12B
44
15
20

9
2
20
18
4
12D
42
10
18

14
1
18
16
7
Đoàn
Kết
12A
41
12
14
Bảng 6
Trường THPT
Đoàn Kết
Than Uyên
Lớp
12A
12C
12B
12D
Sự yêu
thích môn
Toán
Rất thích
15
13
16
11
Bình thường
26
20
21
25
Không thích 5

Ý kiến khác

2
3
Ít
5
10
7
3
Vừa phải
28
22
28
29
Nhiều
4
2
2
3
Ý kiến khác

3
4
3
Từ bảng số liệu trên ta thấy hầu hết học sinh ở các lớp trong hai trường
đều rất thích học môn toán. Các em dành thời gian học khác nhau, sự phân bố
thời gian biểu khác nhau, song nhìn chung các em đều dành cho mình khoảng
thời gian hợp lí để học có hiệu quả nhất. Một điểm đáng chú ý là phần lớn các
em đều dành ra một lượng thời gian khá nhiều để học môn toán, đồng thời có
nhiều ý kiến đóng góp xây dựng bài trong giờ toán, tạo cho không khí học tập
1
1
Thú vị
10
4
12
9
Bình thường
11
10
10
13
Phương
pháp
thường
dùng để học
toán
Nghe giảng và hiểu bài ngay
trên lớp
3
1
10
8
Nghe giảng trên lớp, đọc SGK
và tài liệu tham khảo
33
28
29

2
4
3
Học nhóm
Không
37
32
38
35
Thỉnh thoảng
3
5
4
4
Thường xuyên
1
1

3
Ý kiến khác

1
2 Qua bảng số liệu trên, chúng ta thấy phần lớn các em học sinh đều rất yêu
thích môn toán. Đây là một điều khả quan, rất đáng mừng trong điều kiện phát
triển và xu thế của thời đại ngày nay, bởi đặc thù môn toán có quan hệ chặt chẽ với

16

1
2

Thầy nêu câu hỏi hs trả
lời
5
4
4
3
Kết hợp hai phương pháp
trên
30
28
36
32
Ý kiến khác
3
6
2
7
Mức độ học sinh
học phần nguyên
hàm hữu tỷ- tích
phân hữu tỷ
Dễ

1
2
1
Khó

3
Ý kiến khác
4 17
Bảng 9
S
T
T
Một số kĩ năng
cơ bản
THPT
Đoàn Kết
THPT
Than Uyên
Thành
Thạo
(%)
Chưa
Thành
Thạo
(%)
Chưa
Biết
(%)
Thành

68,5 8,5
2
Tính tích phân
bằng phương
pháp đổi biến số

37

60,2

2,8

29,8

60,2

10
3
Tính tích phân
bằng pp tích
phân từng phần

30

65

5

Phân dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán tích phân hữu tỷ -
nguyên hàm hữu tỷ ở chương trình toán lớp 12. Nhằm mục tiêu giúp học sinh
đứng trước một bài toán tích phân hữu tỷ - nguyên hàm hữu tỷ biết được ở dạng
nào và cách làm thế nào, giải thích được tại sao làm như vậy? Dạy cho học sinh
biết cách phân dạng bài tập và phương pháp giải từng bài để các em có thể áp
dụng được để giải thành thạo các bài tập.

19
CHƯƠNG II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
NGUYÊN HÀM HỮU TỶ - TÍCH PHÂN HỮU TỶ

2.1. Một số nguyên hàm hữu tỷ cơ bản

dx
1. ln | x | C
x
du
ln u C
u



2
2

dx 1
ax b C
a 2 1
ax b
ax+b
1
C
a1
11
C
a (ax b)



  





   










