Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin
chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý –
Tin đặc biệt là thầy giáo – T.S Nguyễn Triệu Sơn đã tận tình giúp đỡ và
hướng dẫn tôi trong quá trình làm khóa luận. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới cán
bộ phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư viện trường đại học Tây
Bắc, các em học sinh và giáo viên hai trường THPT Mường Bi – Tân Lạc,
THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình thực hiện khóa luận.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm hạn
chế nên khóa luận không thể tránh khổi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Từ Thị Mai Hương DANH MỤC BẢNG BIỂU
Tên bảng
Nội dung bảng
Trang
Bảng 1
Bảng điều tra GV trường THPT Mường Bi
13
Bảng 2
Bảng điều tra GV trường THPT Phan Đình Giót –
TP Điện Biên
13
Bảng 3
Bảng điều tra học sinh lớp 11 trường THPT
Mường Bi
14
Bảng 4
Bảng điều tra học sinh lớp 1 trường THPT Phan
Đình Giót- TP Điện Biên
14
Bảng 5
Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến
thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác

1. Cơ sở lí luận 3
1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học 3
1.2. Yêu cầu đối với lời giải 4
1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học 5
1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất 7
1.5. Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất trong trình
toán THPT 8
1.5.1. Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT 8
1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất 8
2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học
phổ thông miền núi 14
2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường
THPT miền núi 14
Chương II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT 21
2.1. Dạy học giải bài tập toán tổ hợp trong chương trình toán THPT 21
2.1.1. Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp 21
2.1.2. Dạng 2: Bài toán xếp các phần tử và bài toán chọn các phần tử 22
2.1.3. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 24
2.1.4. Dạng 4: Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức 27
2.1.5. Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton 29
2.2. Một số dạng bài tập xác suất 35
2.2.1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản 35
2.2.3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 41
Chương III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 49
3.1. Mục đích thực nghiệm 49
3.2. Phương pháp thực nghiệm 49
3.3. Nội dung thực hiện 49
3.4. Tổ chức thực nghiệm 49
3.5. Phương pháp thực nghiệm. 49
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm 50

việc tìm lời giải. Vì vậy, việc nghiên cứu tìm tòi hệ thống các phương pháp giải
toán tổ hợp - xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm
toán và giáo viên toán các trường THPT.
Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Dạy học giải toán tổ hợp -
xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT” nhằm cung cấp
thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán tổ hợp - xác suất từ
đó nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thú học tập cho học
sinh.
II. Mục đích nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu

2
Cung cấp hệ thống một số phương pháp bài toán về tổ hợp - xác suất từ
đó giúp cho học sinh hạn chế được những khó khăn khi giải những bài toán tổ
hợp - xác suất có dạng đặc biệt, đồng thời giúp các em hình thành tư duy toán
học trong quá trình làm các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận chính xác về một số bài toán
tổ hợp xác suất trong chương trình toán THPT.
- Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán tổ hợp xác
suất cụ thể phức tạp hơn những dạng thông thường.
III. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
IV. Cấu trúc đề tài
- Mở đầu
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất
Chương III: Thực nghiệm sư phạm

động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn
nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Tóm lại: Cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở
trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động chống lại thói quen
thụ động. Quan điểm chung của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường
THPT là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động
với tinh thần tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo.
1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học
Bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán và điều căn bản là mang
lại hoạt động cho học sinh. Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện
những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí
… Những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt
động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy
học. Vì vậy, vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện sau:
 Bình diện mục tiêu dạy học
Bài tập toán học ở trường THPT là mang lại những giá trị hoạt động mà
việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác,

4
những bài tập cũng thể hiện những khả năng khác nhau hướng đến mục tiêu dạy
học môn toán cụ thể:
+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển kỹ năng trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật.
 Bình diện nội dung
Những bài tập toán học là mang lại những hoạt động liên hệ với những
nội dung hoạt động nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh

* Trình bày rõ ràng, đảm bảo thẩm mỹ.
Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu
tố trong lời giải.
* Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn hợp lý nhất.
Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn
gọn, hợp lý nhất. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải một
bài toán. Nhưng đó là một tham vọng không tưởng. Ngay cả đối với những lớp
bài toán riêng biệt cũng không thể có chung thuật giải.
Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung gợi ý các suy nghĩ tìm tòi,
phát hiện cách giải bài toán là điều có thể và rất cần thiết. Dựa trên những tư
tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya về cách thức giải bài
toán đã được kiểm nghiệm trong thực tế dạy học, có thể tổng kết phương pháp
chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Để tìm hiểu nội dung đề bài ta cần thực hiện các thao tác sau:
- Phát biểu nội dung đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ
nội dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Khi hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung đề bài giáo viên thường đặt ra
những câu hỏi phát vấn dạng:
- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điều kiện cho
trước hay không?

6
- Hãy vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp.

trực tiếp kết quả không?

7
+ Hãy so sánh các giải để tìm ra cách giải tối ưu nhất.
Bước 3: Trình bày cách giải.
Từ cách giải đã được phát hiện sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau:
- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ ở bước hai.
- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu sâu lời giải nghĩa là nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, những bài toán liên quan,
mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Có thể dung kết quả đó hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự,
một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác.
Kết luận: Phương pháp chung để giải một bài toán không phải là thuật giải
để giải bài toán là những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi phát hiện.
Nói chung cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải toán như sau:
- Thông qua việc giải toán cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương
pháp chung có bốn bước và có ý thức vận dụng.
- Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần biết
sử dụng những câu hỏi này như công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện để thực
hiện từng bước của phương pháp chung giải toán.
1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất
Kiến thức tổ hợp xác suất là những yếu tố mới được đưa vào chương trình
toán THPT. Trong khi dạy những yếu tố này, giáo viên cần nắm vững và thể
hiện những tinh thần sau:
Thứ nhất là việc dạy những yếu tố về tổ hợp. Những yếu tố này rất cần

xác suất được dạy trong 13 tiết cụ thể như sau:
- Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết)
- Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết)
- Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết)
- Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)
- Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)

1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất

9
1.5.2.1. Kiến thức cần nhớ về tổ hợp
1.5.2.1.1. Quy tắc đếm
a) Quy tắc cộng.
Ví dụ: Trong một trường THPT khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học
sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinhđi dự đại hội?
Giải: Số cách chọn một học sinh đi dự đại hội là
280 325 605
cách.
 Ta có quy tắc cộng: Giả sử có một công việc có thể thực hiện theo
phương án A hoặc theo phương án B.
Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Do
vậy công việc đó có thể thực hiện bởi
nm
cách.
 Quy tắc cho công việc với nhiều phương án:
Giải sử có một công việc có thể được thực hiện một trong k phương án
1 2 k
A ,A , ,A
. Có
i


10
Giải sử một công việc nào đó gồm k công đoạn
1 2 k
A ,A , ,A .
Công đoạn
i
A
có thể làm theo
i
n
 
i 1,k
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
1 2 k
n .n n
cách.
1.5.2.1.2. Hoán vị -chỉnh hợp – tổ hợp
a) Hoán vị
* Hoán vị là gì?
Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình, Châu chạy thi. Nếu không kể trường
hợp có hai hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có
thể xảy ra.
Kết quả của cuộc thi là một danh sách gồm 3 người theo thứ tự nhất, nhì,
ba. Danh sách này là hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu} nếu kí hiệu
tập{An, Bình, Châu} là {a, b, c}thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị
           
a,b,c , a,c,b , c,a,b , c,b,a , b,c,a , b,a,c .

Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có n phần tử

  
0! 1 *

Ta quy ước:
0
1
A1
do đó công thức
 
*
đúng với mọi số nguyên k thỏa
mãn
0 k n.

Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n
của tập hợp đó nên:
n
nn
A P n!11
c) Tổ hợp là gì?
* Định nghĩa
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với
1 k n.
Mỗi tập con của A có
k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k
của A).
Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà

C1
thì (**) cũng đúng với mọi số nguyên k thỏa
mãn
0 k n.

Hai công thức cơ bản về tổ hợp
k n k
nn
CC


Với mọi số nguyên n và k thỏa mãn
0 k n.

k k k 1
n 1 n n
C C C



Với mọi số nguyên n và k thỏa mãn
0 k n.

1.5.2.1.3. Công thức nhị thức newton
a) Công thức nhị thức newton:
 
n
0 n 1 n 1 n k n k k n n
n n n n
n

k 1 n
T C a b




5. Từ công thức (1.1) cho
a b 1

Suy ra
n 0 1 2 k n
n n n n n
2 C C C C C      

Từ công thức (1.1) cho
a 1,b 1  

Suy ra
   
kn
0 1 2 3 k n
n n n n n n
0 C C C C 1 C 1 C         

b) Tam giác Pascal
Ta có thể tìm các hệ số có mặt trong khai triể nhị thức Newton theo bảng
số dưới đây gọi là tam giác Pascal, do nhà toán học ngườ Pháp Pascal thiết lập
vào năm 165:
1
11
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 113
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa
A,B,C
và cho dưới dạng
mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
Tập

được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
Tập

được gọi là biến cố chắc chắn.
 Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
Tập
\A
được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là
A.
Và

 
nA
n 
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là
 
PA
và
 
 
 
nA
PA
n



1.5.1.2.3. Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản:
 
P0

 
P1

 
0 P A 1
, với mọi biến cố A.

14
 

khi đó:
     
P A B P A P B  

Do đó, với mọi biến cố A và B bất kì ta có:
       
P A B P A P B P AB   

c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi
     
P A B P A P B .

2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường
trung học phổ thông miền núi
2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số
trường THPT miền núi
2.1.1. Mục đích yêu cầu
Việc điều tra nhằm mục đích thu thập thông tin từ đó biết được khả năng
chuyên môn nghiệp vụ của giáo viên và kết quả học tập của học sinh. Qua đó
nhận xét được trình độ chuyên môn, khả năng tiếp thu của học sinh qua việc học
môn toán nói chung và môn đại số giải tích nói riêng, qua đó biết được thực
trạng dạy và học ở trường THPT giúp cho việc tạo cơ sở thực tiễn nhằm đề suất
các giải pháp sư phạm, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học các kiến thức
tổ hợp xác suất.
2.1.2. Đối tượng điều tra

15
Giáo viên toán ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân lạc, THPT Phan Đình
Giót – TP Điện Biên Phủ.

Bảng 1: Trường THPT Mường Bi
TT
Họ và tên
Tuổi nghề
(năm)
Hệ
đào tạo
Chất lượng giảng dạy
Giỏi
Khá
TB
1
Quách Thị Huệ
8
ĐH
X 2
Đinh Thái Hà
13
ĐH
X 3
Nguyễn Quốc Huy
10
ĐH



Bảng 2: Trường THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ
TT
Họ và tên
Tuổi nghề
(năm)
Hệ
Đào tạo
Chất lượng giàng dạy
Giỏi
Khá
TB
1
Nguyễn Thị Hiến
25
ĐH
X 2
Hoàng Thế Cường
20
ĐH
X 3
Lê Thị Hằng
19
ĐH


8
Ngô Hải Hà
7
ĐH

X
17
 Qua điều tra cho thấy:
Một số giáo viên đã có thâm niêm công tác lâu năm nên có nhiều kinh
nghiệm trong công tác giảng dạy. Do đó trình tự các bước lên lớp và phương
pháp giảng dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên, cũng có một phần không nhỏ
là hệ thống giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề chưa có nhiều kinh nghiệm, do
đó đây cũng là một điểm hạn chế.
Về trình độ giáo viên: Đều được đào tạo hệ đại học chính quy.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại
khá, đặc biệt cũng có một số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi và đạt
danh hiệu dạy giỏi các cấp, tuy nhiên số lượng chưa nhiều nhưng nó cũng đóng
vai trò tích cực trong việc cổ vũ, động viên các nhà giáo không ngừng học hỏi
để nâng cao tay nghề.
b) Kết quả điều tra học sinh
Bảng 3: Bảng điểu tra học sinh lớp 11 THPT Mường Bi
Lớp
Tổng số
học sinh
Thành phần dân tộc
Xếp loại học lực kỳ I môn toán

học sinh
Thành phần dân tộc
Xếp loại học lực kỳ I môn toán
,
H
Mông
Kinh
Thái
TB
Khá
Giỏi
Yếu
11A1
47
0
34
3
19
23
5
0
11A2
46
0
6
40
13
5
0
28

Tốt
Khá
TB
Yếu
Hứng
thú
học
tập
Bình
thường
Bắt
buộc
11A1
3
23
14
2
18
13
9
2
22
15
5
11A2
1
19
15
6
13

trung
bình
Hổng
kiến
thức
Tốt
Khá
TB
Yếu
Hứng
thú
học
tập
Bình
thường
Bắt
buộc
11A1
3
17
27
0
12
30
5
0
8
22
1
11A2

dạng, Khả năng nhận thức tốt chiếm tỷ lệ chưa cao, khả năng nhận thức trung
bình chiếm tỷ lệ đa số.
Qua nhận xét trên ta có nhận xét về thuận lợi và khó khăn khi các bạn học
sinh tham gia học tập:
Thuận lợi: Trong mỗi lớp đều có bạn có học lực khá giỏi về mỗi môn nên
việc hỗ trợ giưa các bạn học khá và các bạn có học lực trung bình giúp cho các
em học tập tốt hơn.
Trong tập thể lớp về thành phần dân tộc tương đối đa dạng, đoa cũng là cơ
hội tốt giúp cho các bạn vùng sâu vùng xa hòa đồng vươn lên trong học tập.
Khó khăn: Đa phần các bạn có học lực trung bình nên tính sáng tạo nhanh
nhạy trong tiếp thu bài giảng chưa cao.
Mức độ nắm bắt kiến thức từ các lớp dưới còn ở mức độ trung bình, gây
khó khăn khi tiếp thu bài mới.
Tính hứng thú khi các em học môn này chưa cao, gây cản trở cho các em
khi học bài mới.
2.1.5. Đề xuất giải pháp sư phạm để nâng cao chất lượng dạy học kiến
thức đại số tổ hợp của giáo viên và học tập của học sinh

20
Giáo viên cần giới thiệu nhiều phương pháp cho học sinh giải bài tập mà
các em đã học nhằm khơi dậy, tái hiện kiến thức cũ giúp các em vận dụng giải
quyết các bài bài tập một cách nhanh chóng và đạt hiệu quả cao.
Cần đưa thêm các phương pháp ứng dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp… đưa các bài toán về biến số tự nhiên quen thuộc để giải bài toán được
dễ dàng.
Nội dung sách giáo khoa bám sát chương trình và đảm bảo nguyên tắc kế
thừa. Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán tổ hợp xác suất luôn là một dạng
toán khó đối với học sinh, đặc biệt học sinh rất lung túng không biết khi nào
dùng chỉnh hợp khi nào dùng tổ hợp, khi đó sách giáo khoa đã cố gắng trình bày
nội dung này cho thật sinh động gần với thực tiễn. Trong bài có nhiều ví dụ về