MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán là đi tìm cái "nhất" trong
những ràng buộc nào đó (nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, ngắn nhất, tốt
nhất, rẻ nhất, đẹp nhất ).
Vì vậy, các bài toán tìn giá trị lớn nhất (cực đại) và giá trị nhỏ nhất (cực tiểu)
của một đại lượng gọi chung là bài toán tìm cực trị thường xuyên có mặt trong các kì
thi tốt nghiệp THCS, thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học
cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm, các bài toán này rất phong phú đòi hỏi
phải vận dụng kiến thức một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. ở bậc
THCS ( chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng
chuyên đề. Tuy nhiên khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không
dễ dàng với học sinh .
Căn cứ vào những lí do trên, đề tài được chọn là: "Một số phương pháp giải
toán cực trị ". Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây
là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự chí bảo quí
báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc !
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - Định nghĩa:
1- Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f(x,y, )xác định trên miền D, ta nói m là giá trị lớn nhất của
f(x,y, ) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
i) Với mọi x,y, thuộc D thì f (x,y, ) ≤ m với m là hằng số.
ii) Tồn tại x
o
, y
o
thuộc D sao cho f (x,y, ) = m

,khi đó ta có công thức sau:
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
2
a) Max f(x) =Max  Max f(x) , Max f(x) 
x∈D x ∈D
1
x∈D
2
b) Min f(x) =Min  Min f(x) ,Min f(x) 
x∈D x∈D
1
x∈D
2
Chú ý : Từ tính chất trên cho phép chuyển việc tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một
hàm số trên tập hợp D phức tạp về các giá trị tương ứng các tập D
1
,D
2
đơn giản
hơn .Chính vì vậy tính chất này được gọi là "Nguyên lý phân rã".
3: Tính chất 3: Nếu f(x,y) ≥ 0 với mọi x thuộc D, ta có :
a) Max f(x) =
2
ax ( )M f x
Max f(x) =
2
ax ( )M f x
x∈ D x∈ D x∈ D x∈ D
4: Tnh chất 4:
a) Max (f(x) +g(x) ) ≤ Maxf(x) + Max g(x) (1)

• Với hai số không âm :
0; 0a b≥ ≥
thì
2a b ab+ ≥
dấu “=” xảy ra
⇔
a = b.
• Với n số không âm:
1 2 1 2

n n
a a a n a a a+ + + ≥
dấu “=” xảy ra
⇔
1 2

n
a a a= = =
IV - Những sai lầm thường gặp khi gải toán cực trị.
1 - Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
3
4 4 5
A
x x
=
− +
Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu
nhỏ nhất.

Với lập luận " phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ
nhất", do mẫu nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 0, ta sẽ đi đến
1
ax
4
M B = −
không phải là
giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì
1 1
5 4
> −

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
4
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã máy móc áp
dụng quy tắc so sánh sai phân số có tử số, và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số
có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x
2
- 4x + 5 = ( 2x - 1)
2
+ 4 ≥ 4 nên tử và mẫu
của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớn nhất khi và
chỉ khi mẫu số nhỏ nhất
⇔ 4x
2
- 4x + 5 nhỏ nhất. Vậy giá trị lớn nhất của A là
1
4
khi

2
nhỏ nhất ⇔ x
2
= 4x - 4 ⇔ (x - 2)
2
= 0 ⇔ x = 2
Dẫn đến x
2
= 4 ⇔ x = 2
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x
2
= 0 ⇔ x = 0
Cách giải đúng: Ta có x + y = 4
⇔
x
2
+ 2xy + y
2
= 16 (1)
Ta lại có ( x - y)
2
≥ 0 ⇒ x
2
- 2xy + y
2
≥ 0 (2)
Từ (1) và (2): 2(x
2
+ y
2

1
4
−
xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
1
2
x = −
(Vô lý)
Giái đúng: Để tồn tại
x
phải có x
≥
0
Do đó A = x +
x
≥ 0
min A= 0 ⇔ x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
A = xyz( x + y)( y + x)( z + x)
Với x,y,z ≥ 0 và x + y + z = 1
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab ≤ ( a + b)
2
4( x + y)z ≤ ( x + y + z)
2
= 1
4( y + z)x ≤ ( y + z + x)
2
= 1
4( z + x)y ≤ ( z + x + y)
2



+ + =

≥


⇔
0
1
, , 0
x y z
x y z
x y z
= = =


+ + =


≥

mâu thuẫn
Cách gải đúng: áp dụng bất đẳng thức côsin cho 3 số không âm
1 = x + y + z ≥ 3 .
3
xyz
(1)
2 = ( x + y) + ( y + x) + ( z + x) ≥ 3 .
3

2
- 8x + 1
2. Tìm giảtị nhỏ nhất của B = 2x
2
- 4x + 1
3. Tìm cực trị nếu có của C = - 3x
2
- 4x + 1
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức
7
4. Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải: Nhận xét các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hại.
1. A = x
2
9x + 1 = ( x - 4)
2
- 15 ≥ - 15 ⇒ min A = - 15 ⇔ x = 4
2. B = 2x
2
- 4x + 1 = 2( x -1)
2
- 1 ≥ -1 ⇒ min B = - 1 ⇔ x= 1
3. C = - 3x
2
- 4x + 1 = -3 ( x - )
2

8
2
3
2
7 7
3 3
≤
7
3
2
3
b
a
b
a
b
2a
b
2
- 4ac
4a
b
2
- 4ac
4a
b
2a
b
2
- 4ac

Ta có 5x + 2y = 10 ⇔ y = ⇒ A = (- 59x
2
+ 160x - 100)
= - x
2
- - 25
59 80
2
6400
= - - x - + - 25
4 59 3481
59 80
2
1600
= - x - + - 25
4 59 59
⇔ 125 59 80
2
125
A = - x - ≤
59 4 59 59
Vậy Max A = ⇔
một số bài tập tự giải
1 - Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a) A = 4x
2
- 20x + 35 b) B = - 2x
2
+ 3x + 1
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

2
1
4
59
4
160
59
125
59
80
x =
59
95
y =
59
2 - Tìm giá trị nhỏ nhất của biuể thức sau:
a) A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5) b) B = x
2
- 2x + y
2
+ 4y + 5
3 - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = 2x
2
+ 5y
2
với 4x - 3y = 7
Q = a
3
+ b

10
x
2
- x + 1
x
2
+ x + 1
Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
a = (1)
Do x
2
+ x + 1 ≠ 0 nên (1) ⇔ ax
2
+ ax + a = x
2
- x + 1
⇔ (a - 1)x
2
+ (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)
TH
1
: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
TH
2
: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là ∆ ≥ 0, tức là:
(a + 1)
2
- 4(a - 1)
2
≥ 0

2(a - 1)
1
3
1
3
x
2
- x + 1
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 1
x
2
+ 1
x
2
+ 3x + 1
x
2
+ 1
3 - Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc:
a) Nội dung phương pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
M = Max f(x) ⇔
m = Min f(x) ⇔
Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D nào đó,
ta tiến hành theo hai bước:

0
∈ D: f(x
0
) = M
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃ x
0
∈ D: f(x
0
) = M
xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0; ac≥ 0
6. a ≥ b ; ab ≥ 0 ⇒ a ≤ Xảy ra dấu đắng thức ⇔ a = b
7. + ≥ 2 với a, b cùng dấu
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b
8. Bất đẳng thức Côsi:
≥ √ ab ( hoặc a
2
+ b
2
≥ 2ab)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b
+ Đối với ∀ a ≥ 0; i = 1 , , n
≥
n
√a
1
, a
2
, a
n

n
b
n
)≤ ( a
1
+ a
2
+ +a
n
) .( b
1
+ b
2
+ + b
n
)Dấu bằng xảy ra ⇔ a
i
= a
j
hoặc b
i
= b
j
; a
i
, b
j

b
1
a
j
b
j
a
1
≥ a
2
≥ ≥ a
n
b
1
≥ b
2
≥ ≥ b
n
1= ( xy + yz + zx )
2
≤( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( y
2
+ z
2

2
).( y
4
+ z
4
+ x
4
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 1≤ 3 (y
4
+ z
4
+ x
4
) = 3P ⇒ P ≥
Vậy Min P = ⇔ = =
= = = ⇒ x = y = z
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của :
a, A = √ x-1 + √ y - 2 biết x + y = 4
b. B = +
Giải:
a . Điều kiện x≥ 1 ; y≥ 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng ≥ √ab
ở đây lại muốn tăng một tổng . Ta dùng bất đẳng thức
a + b ≤ √2( a
2
+ b
2
)
A = √x-1 + √y - 2 ≤ √2( x-1 + y -2) = √2

1
z
2

2
1
x
2
y
1
y
2
√x - √x -
√x - 1
x
√y - 1
y
a+ b
2
x- 1 = y-2
x + y =4
x= 1,5
y = 2, 5