Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 1
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 07: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức
Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
g(x) y f(x), y b, x a, x





với
a b

là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
 


Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

3 , 2 1
x
y y x

1
2
0
3 3 1 2
2 2
ln3 ln3 ln3 ln3
x
x x
 
         
 
 

Ví dụ 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( 1) , (1 )
x
y e x y e x
   

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:

( 1) (1 ) ( ) 0
x x
e x e x e e x
     0



1 1
1 1
0 0
0 0
1
x x x x
xe xe e dx e e
    
 

Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 2
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy
1
2
e
S
 
(đvdt)
Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
2
2 4, 4
y x x y x
    


e) Parabol
2
6 8,
y x x
   
tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung.
ĐS: a)
9
2
b)
11
24
c)
2
1 1 3
2 2
e
e
 
d) 1 e) 9
Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
4 3 , 3
y x x y x
    

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là

0
(1) 4 3 3 5
5
x
x x x x x
x


       




Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên, ta luôn có:
 
 
 
 
 
 
1 3 5
2 2 2
0 1 3
3 4 3 3 4 3 3 4 3
S x x x dx x x x dx x x x dx
     
              
     
  


Bài giảng độc quyền bởi Page 3
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
2
8
, ,
8
x
y x y y
x
  

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
+)
2
2 2 2
8 0
8
x
x x x x
    

+)
2 3
8
8 2
x x x

3 3 3
0 2
8ln 8ln2
3 24 24
x x x
x
   
    
   
   

Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
2
1 , 5
y x y x
   

b)
2
, 2
y x y x
  

c)
2
, 2 , 0
y x y x y
   


ĐS: a)

73
3
S 
b)
20
3
S  c)
5
6
d)
38
3
S  e)
3
2
2
0
2 4
3
x
S x dx
 

  
 
 



Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 4
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài 4: Xét hàm số
2
y x

trên đoạn


0;1
. Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc


0;1
. Gọi
S
1
là diện tích giới hạn bởi các đường
0
x

,
2
y m

và
2
y x

diện tích hình phẳng ở phần trên Ox giới hạn bởi đồ thị bằng diện tích hình phẳng ở phần
dưới Ox ĐS:
20
9
m 

II. Thể tích tròn xoay
Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox
Phương pháp: 1) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
f(x) y 0, y b, x a, x




với
.
a b

Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể
tích là
 
2
( )
b
a
V f x dx



.



 


 



2
2 2
( )
( ) ( ) : 0
b
a
y g x
V g x dx D y
a x b




 


 



Nhận xét: Nếu bài toán không cho a, b thì ta xét phương trình hoành độ giao điểm


Ta có:
 


2
1
2
2
1 2
1
2 1
: 0 2 1
1 1
y x
D y V x dx
x



  


    


  




1
2
1 2
1
8 1
V V V x dx

    


Đặt
cos sin
x t dx tdt
   

Đổi cận: 1x t

   1 0
x t
  

 
0
2 2
0 0 0
1 os2
8 1 os sin 8 sin 8 4 1 os2

y x
, y = x và x = 5

Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm

0
x x x x
   0
1
x
x







Ta có:
 
1
1
2
1 1
0
0

y x
x
D y V x dx
x
 




    


 



Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 6
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy
 
5
2
1 2
1
88 59
2 3 3 2
V V V x x dx
   

2
y x c x y x x


    

d)


3
ln 1 , 1, 0
y x x x y
   

e).
2 2
6 ; 4 8
y x x y x x
     

ĐS: a)
3
(5 2)
27
e
V


 b)
4 2

4
2 2
1
1
978
( 6 )
5
V x x dx


   

,
4
2 2
2
1
393
( 4 8)
5
V x x dx


   


1 2
117
V V V



  


1 2
32 32
3 5
V V V
 
    
Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy
Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với
.
a b

Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể
tích là
 
2
( )
b
a
V g y dy




Ví dụ 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường
2
2 , 0

x y x y
x y x y
 
     
 
 
 
      
 

Gọi (D
1
) là miền giới hạn bởi các đường
1
2
1
0
1 1
0 (1 1 )
0 1
x y
x V y dy
y


  

    



0
2 1
V V V ydy

    


Đặt
2
1 1 2
y t y t dy tdt
       

Đổi cận: Với
0 1
y t
  
,
1 0
y t
  

1
1
3
2
0
0
4
2 2 4

3
10
V


b)
18
V



c) HD:
2
1
2 1
0
1 1
x y
x V
y

  


 


  

