http://baigiangtoanhoc.com Khóa học phương trình mũ và logarit ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi trung tâm luyện thi Edufly
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm Thanh Hóa
Bài giảng số 8: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho phương trình mũ
0
( , )
f x m
(1) trên miền D. Ta biến đổi phương trình về dạng
( ) .
g x m
Điều kiện
để phương trình (1) có nghiệm là:
min ( ) max ( ) .
g x m g x
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho phương trình:
5 6 1 6 5
2 2
.2 2 2.2 (1)
x x x x
Đặt:
5 6
1
2
2
2
, , 0
2
x x
x
u
u v
v
mu v uv m u v m x
v m
m
m
. Khi đó điều kiện là:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học phương trình mũ và logarit ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi trung tâm luyện thi Edufly
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm Thanh Hóa
2
2
2
0
0
2
1 log 0
1 1
1
0;2 \ ;
1 log 4
8 256
8
Vậy với
1 1
0;2 \ ;
8 256
m
t x mx
phương trình có dạng:
2 2
5 5 2 2
t t m
t t m
(1)
Xác định hàm số
5
t
f t t
+ Miền xác định D=R
+ Đạo hàm:
5 .ln 5 1 0,
t
f x D
hàm số tăng trên D
Vậy (1)
Vậy với
4
5
m
phương trình có 2nghiệm
2
2;
5
x x
b) Xét phương trình (2) ta có:
2
'
m m
+ Nếu
2
' 0 0 0 1
m m m
. Phương trình (2) vô nghiệm
phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu
' 0
nghiệm kép của (1)
Kết luận:
Với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0
Với m=1 phương trình có nghiệm kép x
0
=-1
Với 0<m<1 phương trình vô nghiệm
Với m>1 hoặc m<0 phương trình có 2 nghiệm
2
1,2
x m m m
Ví dụ 3: Cho phương trình:
2 2 2
2 2 2
2
2
3 2 2 2
x x
x x
x x m
3 4 2 2
x x x x
y x x
xác định trên D=R
Giới hạn:
lim
y
Bảng biến thiên: vì 3>1, 4>1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên ccủa hàm số
2
2 2
t x x
ta có:
Với m=8 phương trình có nghiệm duy nhất x=1
a) Với m=27 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=0 và x=2
b) Phương trình có nghiệm khi m>8
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học phương trình mũ và logarit ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi trung tâm luyện thi Edufly
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm Thanh Hóa
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì phương trình:
4 3
4 2
2
1
4 3 log 1
x x m m
Đặt
4 2
1
5
log 1
m m a
, khi đó:
2
4 3
x x a
Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt
phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số
2
4 3
y x x
tại 4 điểm phân biệt
Đạo hàm:
3
2 4
1
'
2 4 1 3
x
x khi
x
y
x khi x
4 3
y x x
tại 4 điểm phân biệt
4 2 4 2
1
5
1
0 1 0 log 1 1 1 1 0 1
5
a m m m m m
Vậy với
0 1
m
phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 3 4 1
x x
m
Giải:
Đặt
2 , 0
x
1
t
y
t
xác định trên
0;D
+ Đạo hàm:
2 2
1 3 1
' ; ' 0 1 3 0
3
1 1
t
y y t t
t t
+ Giới hạn:
Với
3 10
m
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ví dụ 6: Tìm m dương để bất phương trình sau có nghiệm:
2 1 2 1
2 2 2 2
2 3 2 3 8 4 3
x x m m m x x m m m
Giải:
Nhận xét rằng:
2 3 . 2 3 1
Nên nếu đặt
2
t t mt m m
(2)
+ Với
0
t
thì (2)
2 2
2 1 2 1 0
f t t m t m m
(3)
2
2
2 2
2 2
2 3
2 3 4 2 3 4 1 0
2 3 2 3 2 3 2 3 2 1(1)
0 )
t t
2
2
2
2
1 2
1 2 1 0
1
' 0
2
2 1 0
(0) 0
1
1
1
1 0
2
0
1
2
2 1 0
1
(0) 0
1
2
m
+ Với
0
t
thì (2)
2 2
( ) 2 1 2 1 0
g t t m t m m
(3)
2
2
2
2
1 2
1 2 1 0
' 0
1
2 1 0
(0) 0
1
2
1
1 0
1
2
0
2
1
2 1 0
1
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
1
0
2
m
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
t x m
, điều kiện
0
t
. Bất phương trình có dạng:
2
( ) 2 2 1 0
h t t t mx m
1
1
3 2 2
3 2 1
x y
x y
m m
m m
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Giải:
Đặt
1
3
2
(II). Ta có:
1
m
D
2
1
1
m
m
;
2
1
u
m
D
m
2
1
2 1;
1
v
m
m
u m m
D m
m m
D
m
v
m
D
1 1
2 1
1
2 2
x
y
u x
x
v y
y
a) Giải hệ phương trình vớim=1
b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn 0
2
y
Giải:
Bằng phép đặt ẩn phụ
sin 2cot
9 ; 9
y x
u v
Biến đổi hệ về dạng:
2
. 3
u v m
u v
2
6
1
; 2
sin
5
2 6
; ,
2
2
5
6
cot 0
; 2
2 6
2
2 2 2 2
1
log 5 1 .log 2 5 1 log 5 1 . 1 log 5 1 2
2
x x x x
m m
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học phương trình mũ và logarit ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi trung tâm luyện thi Edufly
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm Thanh Hóa
Điều kiện:
5 1 0 5 1 0
x x
x
Đặt
2
log 5 1
x
t
t t
t
5
5
log 3
5 3
5
log 3; log
4
x x
b)Với
2 2
1 5 1 5 1 4 log 5 1 log 4 2 2
x x
x t
Vậy để phương trình (1) có nghiệm
1
x
(2)
có nghiệm
2
t
1 2
1 2
2 (*)
2
t t
t t
– 1 = 0
c. 4
x
– 2
x + 1
= m d. 2
x
+ (m + 1)2
-x
+ m = 0
e. 16
x
– (m – 1)2
2x
+ m – 1 = 0 f.
2 2
sin x cos x
81 +81 = m
g.
2 2
4-2x 2-x
3 -2.3 +2m-3= 0
h.
x+1+ 3-x x+1+ 3-x
4 -14.2 +8= m
i.
2 2
x+ 1-x x+ 1-x
d.
x x
7+3 5 7-3 5
+m =8
2 2
e. 4
x
- 2
x + 3
+ 3 = m f. 9
x
+ m.3
x
+ 1 = 0
Bài 3. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
a.
1
1 4 3 2 2 3 1 0
( ). ( ).
x x
m m m
+ 6 = m
Copyright: Tài liệu đại học ©