TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 1
************************************************************
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT
Bài số 1 :
a/ Giải hệ phương trình

Lời giải : Điều kiện
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ :
Đặt: Ta có ( I )
Nhân hai phƣơng trình của hệ ( I ) vế theo vế , đƣợc: 3(3x+2y)(3x-2y) = (*)
Kết hợp (1) với (*) Ta có 15 = Do đó t = 1Thế vào hệ ( I ) đƣợc hpt :
Thỏa mãn điều kiện đã nêu .
Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình
Lời giải 2: Điều kiện
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ :
Nhân hai vế phƣơng trình (2) với và áp dụng = (Với mọi a,b,c
dƣơng a và b ) Ta đƣợc : ( Vì từ pt (1) suy ra 3x-2y = )

3x+2y = 5 (2’)
Kết hợp với phƣơng trình (1) Ta đƣợc hệ phƣơng trình : Thỏa
mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho
b/ Giải hệ phương trình :

= 2 – x
2

Lời giải : Viết phƣơng trình thành :
4. = 2. - (x – m)
2
=
2. = (x – m)
2
(*) (Chú ý : = )
Bài toán trở thành :Tìm giá trị của m để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
-Viết phƣơng trình (*) thành :

2. =

TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 3
(Đặt t = x – 1)

Nhận thấy : Phƣơng trình ( 1 ) và phƣơng trình ( 1’) đều không thể có hai nghiệm trái dấu (Do
các hệ số a , c cùng dấu ) Để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì :
Không thể xẩy ra các trường hợp :
*- Trong hai pt (1) và (1’) : một phương trình có hai nghiệm cùng dấu – cả 2 nghiệm thỏa mãn
điều kiện ; Phương trình kia có hai nghiệm trái dấu – một nghiệm thỏa mãn điều kiện và một
nghiệm bị loại

+ 2mx + m = 0 (2)
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 4
-Giải và biện luận phƣơng trình (1) Đƣa về giải và biện luận phƣơng trình (2).
*Nếu ’= m
2
-m < 0 Tức là 0 < m < 1 Thì phƣơng trình vô nghiệm
*Nếu ’= m
2
- m = 0 Tức là m
1
= 1 m
2
= 0 Thì phƣơng trình có nghiệm
Kép (m = 1nghiệm kép x = - 1 ; m = 0 nghiệm kép là x = 0 )
*Nếu ’= m
2
- m > 0 Tức là : m < 0 hoặc m > 1 thì phƣơng trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
= - m - và x
1
= - m + ./.
Bài số 5 :
Giải phương trình : -


5
Nhƣ vậy ta có : x = , k z là nghiệm của pt
Bài số 8 :
Giải phương trình : = 1 (*)
Lời giải : Điều kiện - 3 và x
Chú ý : = 2. = -
Nên = = - và lại có =
Do đó ta có :
(*) - = 1 =
6 = (4-x)(3+x) x
2
-7x -18 = 0 x = 9 ( Loại x = -2 )
Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 9 .
Bài số 9 :
Giải phƣơng trình : - = 2.
Lời giải : Điều kiện x > 0 , x 1 Phƣơng trình viết thành :
- = 2. 4.4
t
– 6
t
- 18.9
t
= 0 .với t = .Chia
hai vế phƣơng trình cho 4
t
rồi đặt > 0 đƣợc pt :

= - + 1)
-Gọi t (1) (Gọi cho gọn.)
Ta tìm giá trị của t để phƣơng trình = t Có 4 nghiệm phân biệt .
Sau đó, tìm đƣợc m , từ đẳng thức (1)
Dùng phƣơng pháp đồ thị,(chỉ cần lập bảng biến thiên,không cần vẽ đồ thị )Ta có: phƣơng
trình = t có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < t < 1
Suy ra :phƣơng trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < < 1
0 > > -1 1 > > Giải hệ bpt này ta đƣợc những giá trị cần tìm của m.
Bài số 12 :
Giải hệ phƣơng trình
Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành:
Là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho
Bài số 13 : Cho phƣơng trình = 0 (1)
-Tìm tích các nghiệm số của phƣơng trình
Lời giải : Điều kiện x > 0 và x .Chuyển vế rồi lấy lôgarit cơ số 6 hai vế,
đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : = 2 + . Đặt t =
ta có phƣơng trình bậc hai : t
2
– t .( - . ) – 2 = 0 (2)
-Với mỗi giá trị của x > 0 , x tƣơng ứng với một giá trị t = .Và ngƣợc lại,mỗi giá
trị của t tƣơng ứng một giá trị x = ( Do t = )
-Phƣơng trình (2) có tối đa là 2 nghiệm .Do đó phƣơng trình (1) có tối đa 2 nghiệm.
-Gọi : là hai nghiệm của phƣơng trình (1)thì ta có
Mà t

Giải hệ phƣơng trình:
Lời giải :Điều kiện
Với điều kiện đã nêu hệ phƣơng trình tƣơng
đƣơng với với hệ phƣơng trình:

(Do điều kiện đã nêu: nên x-2 0) x = y
Vậy hệ phƣơng trình có vô số nghiệm ,công thức tổng quát của nghiệm
Tức là :
Bài số 16 : Cho hệ phƣơng trình:
1/ Giải hệ phƣơng trình khi m = 3
2/ Tìm giá trị của m sao cho hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất ?
Hãy xác định nghiệm duy nhất đó ?
Lời giải : Điều kiện xy 0 .Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ :
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 8

1/Với m =3 : Hệ phƣơng trình trở thành
-Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm t
1
= và t
2
= 3
*Với t = - Ta có :

*Với t = 3 Ta có :

2
= 2 đều
là nghiệm .Chẳng hạn ( ) và ( là hai nghiệm của hệ phƣơng trình.
-Xét a ,(a > 0 ,a ):
-Hệ phƣơng trình (1b) ,(2) :
có nghiệm duy nhất là : Đây là nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình
(với 0 < a ,a và a )
Trả lời : Với 0 < a , a và a Hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: :
MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT MŨ,LÔGARIT
Bài số 18 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Hãy so sánh hai số :
A = và B =
Lời giải : Với mọi số tự nhiên n , ta có : n(n+2) (*)
Lấy lôgarit cơ số n hai vế bđt (*) đƣợc bđt tƣơng đƣơng :
1+ 2. 1+
-
(**)
Vì nên bđt (**) có vp Do đó từ (**) suy ra :

Vậy với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 , ta có:
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 10
Lời giải 2 : Áp dụng bđt côsi ,có : + 2 (1)
-Với mọi số tự nhiên ta có (n+1)
2