Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc
Một số bài toán được giảI bằng định lí lagrange

Bài toán 1: Cho f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0
trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ax + by + c
= 0 tại 3 điểm phân biệt. CMR tồn tại x
0
ẻ R sao cho f(x
0
) = 0 và f(x) đổi dấu qua x =
x
0
.
LG: Vì đường thẳng ax + by + c =0 cắt đồ thị y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nên b ạ 0. Ta
đặt:
()()
axc
gxfx
b
+
=+ thì phương trình g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Do f(x) = g(x) và f(x) có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0 trên bất
kỳ một khoảng nào của R nên g(x) cũng có tính chất đó.
Theo định lí Rolle thì tồn tại 2 nghiệm x
1
, x
2
với x
1
< x
2

0:(),,
n
MfxMxRnN$>Ê"ẻ"ẻ .
b/.
*
1
0,fnN
n
ổử
="ẻ
ỗữ
ốứ
.
CMR, ()0,fxxR"ẻ ..

LG: áp dụng định lí Rolle trên các đoạn
[ ] [ ]
1223
;,;,...,aaaata dễ chứng minh được khẳng
định sau: Giả sử f(x) có đạo hàm trên R. Giả thiết rằng tồn tại dãy đơn điệu (a
n
)
1n
hội
tụ đến x
0
và thoả mãn điều kiện f(a
n
) = 0
nN"ẻ

n
x
ff
n
ffa
ffa
đƠ
đƠ
đƠ
ổử
==
ỗữ
ốứ
==
==

..
Như vậy
()
(0)0,
n
fnN="ẻ . Khai triển Taylor của hàm f(x) tại x = 0 ta được
()0,fxxR"ẻ (đpcm).
Bài toán 3: Cho hàm số f(x) khả vi trên
[ ]
0,1 và thoả mãn điều kiện:
(0)0,(1)1;0()1,fffxxR==ÊÊ"ẻ .
Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc
CMR, tồn tại
( )

=
-
với
( )
;1bcẻ
từ đây ta có:
()1()(1)
'().'().1
1(1)
fcfccc
fafb
cccc
--
===
--
(đpcm).
Bài toán 4: Cho hàm số g(x) liên tục trên
[ ]
0,1 và khả vi trong (0;1) và thoả mãn các điều
kiện
g(0) = g(1) = 0. CMR, tồn tại
( )
0;1c ẻ sao cho g(c) = g(c).
LG: Xét hàm số
()()
x
fxegx
-
= ta có
[ ]

2
ab
f
+
ổử
ạ
ỗữ
ốứ

CMR, tồn tại các số đôi một khác nhau
( )
123
,,;cccabẻ sao cho
123
'()'()'()1fcfcfc=
LG: Theo định lí Lagrange
1
(;)cab$ẻ sao cho
1
()()
'()
fbfa
fc
ba
-
=
-

xét hàm số h(x) = ()
2

fxfa
bx
fc
xaxa
-
-
==
--

Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc
tương tự như vậy,
( )
3013
;,cxbcc$ẻạ thoả mãn điều kiện
( )
0
0
3
00
()
'()
fbfx
xa
fc
bxbx
-
-
==
--
. Rõ ràng c

Bài toán 7: Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm thực phân biệt
12
,,...,
n
xxx.
CMR,
1
''()
0
'()
n
i
i
i
Px
Px
=
=
ồ
.
Bài toán 8: Cho
12
,,...,0
n
xxx> , ta đặt
12312
111
;;;...;....
nnn
iijijknn

Px
>
, là hợp của một số hữu hạn khoảng không giao nhau. CMR, tổng
độ dài các khoảng ấy bằng
n
c
.
Bài toán 10: Cho a, b, c, r, s thoả mãn a > b > c >0; r > s > 0. CMR,
......
rsrsrssrsrsr
abbccaabbcca++>++
LG: Do a > b > c >0 suy ra
sss
abc>> với s > 0, và từ r > s > 0 suy ra 1
r
s
> .
Xét hàm số ()
r
s
ftt= với t > 0 dễ thấy f(t) > 0 với mọi t > 0. Suy ra f(t) là hàm tăng
nghiêm ngặt trên
( )
0, +Ơ . Mặt khác theo định lí Lagrange
( ) ( )
,;,
ssss
mbanca$ẻẻ sao
cho:
( ) ( ) ( ) ( )

[ ]
,ab .
Đặt max'()
axb
Mgx
ÊÊ
= và giả sử g(a) = g(b) = 0
Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc
a. CMR, với
( )
,xab"ẻ ta có:
()();gxMxaÊ-
( )
()gxMbxÊ-
b. CMR,
( )
2
4
()
b
a
Mgxdx
ba

-
ũ

HD: ở đây tôi chỉ xin trình bày câu (a), còn câu (b) được suy ra trực tiếp từ câu (a).

[ ]