http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 04: CÁC DẠNG TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) đi qua điểm M
; ;
o o o
x y z
và có VTCP
; ;
u a b c
có phương trình:
(d): ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
1
1 1 1
:
x x y y z z
d
a b c
1
d
có VTCP
1 1 1 1
; ;
u a b c
và đi qua
1 1 1 1
; ;
M x y z
2 2 2
2
2 2 2
1
d
và
2
d
đồng phẳng
1 2 1 2
; . 0
u u M M
1
d
và
2
d
cắt nhau
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
: : : : : :
a b c a b c x x y y z z
1
d
và
2
d
trùng nhau
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
: : : : : :
a b c a b c x x y y z z
; ;
o o o
x y z
và có VTCP
; ;
u a b c
Phương pháp:
Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương
u
( nếu chưa có sẵn)
Bước 2:
Phương trình tham số là: ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
u
là VTCP nên có phương trình tham số là
(d):
1 2
2 ,
3
x t
y t t R
z
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
u AB
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua A ( hoặc B ) có VTCP
AB
( dạng tham số hoặc
1; 2;8
AB
là VTCP nên có phương trình chính tắc là:
(d):
2 1 3
1 2 8
x y z
Bài toán 3:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua một điểm và vuông góc với một mặt
phẳng
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTPT
n
của mặt phẳng đã cho
Bước 2: (d) có VTCP
u n
Bước 3: Áp dụng bài toán 1
Ví dụ 3: Cho ba điểm
4
n AB AC
0
3
;
0
3
1
0
;
1
0
3
4
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và song song với đường
thẳng (d’)( hoặc song song với hai mặt phẳng cắt nhau)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
'
u
của (d’)
Bước 2: VTCP của (d) là
'
u u
Bước 3: Áp dụng loại 1
Ví dụ 4: Cho ba điểm
x y z
Ví dụ 5: Lập phương trình đường thẳng
đi qua điểm
1;1;1
I và song song với hai mặt
phẳng
:2 3 1 0, : 0
x y z x y z
Bài giải:
Gọi
,
n n
song song với
và
nên
1
;
1
u n
u n n
u n
Đường thẳng
qua
1;1;1
I , có
4;1;3
u
là VTCP nên có PTTS là:
:
1 4
1 ,
1 3
x t
y t t R
z t
1 2
,
d d
Bước 2: Tìm VTCP của đường thẳng (d):
1 2
;
u u u
Bước 3: Áp dụng loại 1
Ví dụ 6: Viết phương trình chính tắc của (d) đi qua
1;1;5
M và vuông góc với cả hai đường
thẳng
1
1
: 2 2 ,
3
x t
d y t t R
z t
d
,
1 2
,
d d
1 2
1;2;1 , 2;3;5
u u
Vì (d) vuông góc với hai đường thẳng
1 2
,
d d
nên :
1
1 2
;
1
2
2
3
7; 7;7
Chọn
u
1; 1;1
Đường thẳng (d) qua
1;1;5
M , có VTCP
u
1; 1;1
lần lượt tại B, C. Khi đó tọa độ của B và Ctheo thứ tự thỏa mãn các
phương trình của
1 2
( ),( )
d d
Bước 3: A, B, C thẳng hàng
AB kAC
. Từ đó tìm được tọa độ của B (hoặc C)
Bước 4: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP là
AB
( hoặc
AC
)
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng sau:
1 2
1 3 2 2 1 1
, :
1 2 1 3 1 2
x y z x y z
d d
là:
2 3 '
1 ' , '
1 2 '
x t
y t t R
z t
Giả sử (d) cắt
1 2
( ),( )
d d
lần lượt tại B và C
1 2
( ), ( )
B d C d
1 ;3 2 ; 2 , 2 3 ';1 ';1 2 '
2 3 ' 1
2 4 2 '
6 3 2 '
t k t
AB k AC t k t
t k t
' 0
2
t t
k
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) và song song với đường thẳng
1
d
( hoặc
vuông góc với mặt phẳng (P)), cắt hai đường thẳng
2 3
( ),( )
d d
chéo nhau cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
1
u
của
1
d
Bước 2: Lập phương trình mp (P) chứa
2
d
và song song với
và cắt cả hai đường thẳng
2 3
1 ' 4 5 ''
: 2 4 ', : 7 9 ''
2 3 ' ''
x t x t
d y t d y t
z t z t
Bài giải:
Gọi VTCP của
1 2
( ),( )
d d
và
n
là VTPT của (P)
1
1 2
2
; 16; 1; 4
n u
n u u
n u
Mặt phẳng (P) chứa
2
3
d
và (P)
A là nghiệm của hệ phương trình
4 5 ''
7 9 ''
16 4 5 '' 7 9 '' 4 '' 10 0
''
16 4 10 0
x t
y t
t t t
z t
x y z
Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
chéo nhau cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình mp (P) qua A và vuông góc với
1
d
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm B của
x y z
d
và cắt
2
1
: 1
2
x
d y t
z t
Bài giải:
1
d
có VTCP là
2
d
và (P) . Khi đó B là nghiệm của hệ phương trình
1
1
2
3 2 0
x
y t
z t
x y z
3 1 2 2 0
t t
2 2 1
Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc và cắt đường
thẳng
cho trước
Phương pháp:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 1: Nhận xét rằng đường thẳng (d) cần tìm sẽ đi qua hình chiếu vuông góc H của A trên
Bước 2: Xác định tọa độ H bằng cách:
- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với
-
( )
Bài giải:
a. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng (d). Khi đó (P) nhận VTCP
0;1; 1
u
của (d) là VTPT
Vậy mặt phẳng (P) qua
1;2; 1
M
có VTPT
0;1; 1
u
có phương trình là:
3 0
y z
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d). Khi đó H là giao điểm của
(d) và (P)
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
'
' '
' '
'
2
2 3
2 2
2
2 1
2
M M
H
M H M M
M M
H M H M M
M H M M
M M
H
x x
x
x x x x
y y
y y y y y
z z z z
z z
z
qua
1;2; 1
M
có VTCP
1;0;0
MH
nên có PTTS là:
1
: 2
1
x t
y
z
y y bt t R
z
Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oyz) có phương trình
0
,
o
o
x
y y bt t R
z z ct
Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oxz) có phương trình 0 ,
o
Ví dụ 11: Lập phương trình đường thẳng
là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
4
: 4 3
1 2
x t
d y t
z t
trên mặt phẳng (P): x – y + 3z + 8 = 0
Bài giải:
Gọi VTCP của (d) là
4;3; 2
u
điểm
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
4
4 3 9 8 0
1 3
x – y 3z 8 0
x t
y t
t t t
z t
Vậy phương trình cần tìm là:
10
4
11
54
: 3
11
41
2
11
x t
y t
z t
Bài toán 11: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
2
d
về dạng tham số, suy ra tọa độ của A, B theo phương
trình tham số của
1
d
và
2
d
Bước 3: Từ điều kiện:
1
1 1
2
2 2
. 0
,
. 0
d d
AB u ABu
t u
Ví dụ 12: Trong Oxyz cho hai đường thẳng
1
1
: 0
5
x t
d y
z t
và
2
0
: 4 2 '
5 3 '
x
d y t
z t
2
d
lần lượt là
1 2
1;0;1 , 0; 2;3
u u
Lấy
1 1 2 2
1;0; 5 , 0;4;5
M d M d
Ta có:
1 2
; 2; 3; 2
1
d
và
2
d
chéo nhau
b. Giả sử A, B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung trên
1
d
và
2
d
1 ;0; 5 , 0;4 2 ';5 3 '
A t t B t t
1 ;4 2 ';10 3 '
1 10 3 ' 0 3 ' 2 9 0 ' 1
8 4 ' 30 9 ' 3 0 13 ' 3 22 0 3
t t t t t t
t t t t t t
4;0; 2 , 0;6;2
A B
Đường thẳng
qua A (4; 0; -2) và có VTCP là
AB
=(-4; 6; 4) có phương trình là:
4 2
; ;
u a b c
và đi qua
1 1 1 1
; ;
M x y z
2 2 2
2
2 2 2
:
x x y y z z
d
a b c
2
d
có VTCP
2 2 2 2
; ;
u a b c
2
d
chỉ ra VTCP
2
u
và điểm
2 2
M d
Bước 2: Kiểm tra:
- Nếu
1
u
,
2
u
,
1 2
M M
cùng phương thì kết luận
1 2
( ),( )
,
2
u
không cùng phương , thực hiện bước 3
Bước 3: xét:
1 2 1 2
; .
u u M M
. Khi đó:
- Nếu
1 2 1 2
; . 0
u u M M
thì kết luận
1 2
( ),( )
d d
cắt nhau
- Nếu
1 2 1 2
; . 0
u u M M
: 3 2
3 1
x u
d y u
z u
Chứng mình hai đường thẳng đó chéo nhau
Bài giải:
1
d
có VTCP
1
2;1;3
u
và điểm
u u M M
Vậy
1 2
( ),( )
d d
chéo nhau
Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp:
Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P)
Bước 2: Biện luận:
- Nếu hệ vô nghiệm, khi đó
( ) ( ) / /( )
d P d P
- Nếu hệ có nghiệm duy nhất, khi đó
( )
d P A
, với A là nghiệm của hệ
- Nếu hệ có vô số nghiệm, khi đó
Bài giải:
Thay x, y, z từ phương trình của (d) vào phương trình của (P) ta được:
2
2 2 1 2 2 3 1 3 0
m t t t m
2 2
1 2 3 5
m t m m
(1)
a. Nếu
2
1 0 1
m m
Với m = 1, ta có
2 5
1
1
m
t
m
Vậy (d) cắt (P) tai điểm duy nhất
3 3 9 7 17
; ;
1 1 1
m m
A
m m m
KL: Vậy với
1
m
thì (d) cắt (P) tại
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
(1)
a. Bằng cách khử t từ (1) ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng (d), cụ
thể:
0 0
0 0
1
bx bx ay ay
cx cx az az
Đó chính là phương trình chính tắc của (d)
2. Với (d) cho dưới dạng chính tắc ( ):
o o o
x x y y z z
d
a b c
(1)
a. Quy đồng, khử mẫu ta nhận được phương trình tổng quát của (d)
0 0
0 0
1
bx bx ay ay
cx cx az az
(d): ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
Đó là phương trình tham số của (d) 3. Với (d) cho dưới dạng tổng quát (d):
Bước 3: Vậy ta có (d) qua M và có VTCP
u
. Từ đó có PTTS và PTCT của (d)
B: BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) và D(4; 1; 4)
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b. Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D
c. Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC)
ĐS: a.
; . 0
AB AC AD
b.
4
1 ,
4
x t
y t t R
a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng
1 2
,
P P
ĐS:
1 6
: 1 4 ,
2
x t
d y t t R
z t
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên các mặt phẳng tọa độ
ĐS:
3
1
3
3
14
3
x t
y t
z t
Bài 4: Tìm hình chiếu H của điểm A(1; 0; -4) lên đường thẳng
1 4
:
1 2 1
:3 3 4 0
P x y z
và cắt hai
đường thẳng
1 2
1 3 2 2 1 1
: , :
1 2 1 3 1 2
x y z x y z
d d
ĐS:
2 3
: 5 3
1 4
x t
d y t
z t
,
d d
chéo nhauĐS:
1 2 1 2
; . 11 0
u u M M
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
ĐS:
2
2
1
x t
y
z t
Bài 9: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a.
1 3
: 1 2 ,
1 4
x t
d y t t R
z t
và
( ) :2 4 0
P x y z
2 3 4
: 2 3 5 0, :
1 2 3
x y z
P mx y z d
Tìm giá trị của m để
a. (d) // (P) ĐS: m = -13
b.
d P
ĐS: m = 1
Copyright: Tài liệu đại học ©