Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
1

BÀI GIẢNG SỐ 4: PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua một điểm M cho trước và song song
với đường thẳng
D
.
Phương pháp:
· / /
d
d u u
D
D Þ =
uur uur

· Đường thẳng d : Qua M, có vectơ chỉ phương
d
u u
D
=
uur uur
.

= - - Þ = - - =
uuur uur uur
. Đường thẳng
d
qua
(
)
1;2;3
M
, có VTCP
(
)
1; 2; 6
d
u
= - -
uur
nên d:
1 2 3
1 2 6
x y z
- - -
= =
- -
.
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có
(
)
(


Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
2;1;3
A -
và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(
)
: 2 4 0
P x y z
+ + + =
và
(
)
:2 2 0
Q x y z
+ + + =
.
Đáp số :
2 1 3
:
1 1 3
x y z
d
+ - -
= =
-
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.

=
uur uur
.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có
(
)
(
)
(
)
1; 2;1 ; 4;0;2 ; 2; 1; 4
A B C
- - -
. Viết phương trình
d
đi qua gốc
tọa độ và vuông góc với mặt phẳng
(
)
ABC
.
Giải
Ta có :
(
)
3;2;1
AB =
uuur
;
(

11;16;1
d
u n= = -
uur r
. Đường thẳng
d
qua điểm
(
)
0;0;0
O , có VTCP
(
)
11;16;1
d
u = -
uur
nên
:
11 16 1
x y z
d
= =
-
.
Bài tập: Cho
(
)
2;1;1
A

-
; 2)
6
.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
(
)
P
và
(
)
Q
.
Phương pháp:
· Tìm 1 điểm chung của
(
)
P
và
(
)
Q
.
·
d P Q
u n n
= Ù
uur uur uur
.
Biờn son: Nguyn ng Dng_GV chuyờn SP_GV trung tõm luyn thi VIP.

(
)
3;4; 3
Q
n
= -
uur
;
(
)
9; 3;5
P Q
n n = -
uur uur
, chn
(
)
9; 3;5
d
u = -
uur
.
Cho
3
2 3 8
0
2
3 3 11
3
x

3
A
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
v
cú VTCP
(
)
9; 3;5
d
u = -
uur
nờn:
2
3
3
:
9 3 5
z
x y
d
+
-
= =
-
.
Bi tp: Vit phng trỡnh ng thng d l giao tuyn ca
(

:3 7 0
Q x y
+ + =
.
3)
(
)
: 2 0
P z
+ =
v
(
)
: 4 0
Q y
- =
.
ỏp s: 1)
11 2
3 3
:
7 4
3 3
x t
d y t
z t
ỡ
= - +
ù
ù

=
ớ
ù
= -
ợ
.
Bi toỏn 4: Phng trỡnh cỏc ng c bit trong tam giỏc.
4.1: Vit phng trỡnh ng thng cha trung tuyn AM ca tam giỏc ABC.
Phng phỏp:
ã Tỡm ta trung im M ca cnh BC.
ã Vit phng trỡnh qua 2 im A v M.
4.2: Vit phng trỡnh ng thng cha ng cao AH ca tam giỏc ABC.
Phng phỏp:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
4

· Tìm tọa độ điểm H dựa vào tính chất:
AH BC
BH kBC
ì
^
ï
í
=
ï

. BM qua
(
)
2;3;1
B -
,
có VTCP
(
)
4; 3;1
u = -
r
. Vậy BM:
2 3 1
4 3 1
x y z
+ - -
= =
-
.
ü Phương trình đường cao BH:
Gọi
(
)
; ;
H x y z
là chân đường cao kẻ từ B của tam giac ABC.
Ta có:
(
)

x z
+ - =
ì
Û
í
- + =
î

(
)
( )
2
3
. Giải hệ pt
(
)
(
)
(
)
(
)
1 ; 2 ; 3 1;3;0
HÛ -

(
)
1;0; 1
BH
= -

)
(
)
(
)
11;4; 3 , 2;3;1 ; 4;4; 1
A B C
- -
. Viết phương trình đường trung
tuyến AM, đường cao AH.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
5

Đáp số:
11 16
: 4 ,
3 6
x t
AM y t t R
z t
= +
ì
ï
= + Î
í

AM y t R
z t
= +
ì
ï
= Î
í
ï
= -
î
. Viết phương trình cạnh BC, AC.
Đáp số:
2 2
:
3 2 3
x y z
BC
- -
= =
;
1 3 4
: .
4 1 1
x y z
AC
- - -
= =

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với
1 2

1 2
u u u
= Ù
r ur uur
là VTCP của d.
· d qua điểm A, có VTCP
u
r
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
(
)
1;1;3
A , vuông goác với hai đường thẳng
1
1 3 4
:
1 1 2
x y z
d
- - +
= =
-
và
2
1 12
: .
2 1 1
x y z
d

x y z
d
- - -
= =
-
.
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
2; 1;1
A - và vuông góc với hai đường thẳng sau
1
1 2 2
:
1 1 2
x y z
d
- + -
= =
- -
và
2
2
: 3 2 , .
0
x t
d y t t R
z
= +
ì

(
2
A d
Ï
).
Phương pháp:
· Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc vớ i
1
d
.
· Tìm giao điểm B của
2
d
với (P).
· Phương trình d là phương trình qua 2 điểm A và B.
Ví dụ: Viết phương trình d qua
(
)
1;1;1
A , vuông góc với
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
và cắt đường

có VTPT
(
)
1; 2;1
n = -
r
(
)
: 2 0
P x y z
Þ - + =
. Gọi
B là giao điểm của
2
d
với mặt phẳng
(
)
P
(
)
0;0;0
BÞ

ü
(
)
1; 1; 1
AB
= - - -

2 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
và cắt
đường thẳng
2
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
- - +
= =
-
.
Đáp số:
1 2 3
: .
1 3 5
x y z
d
- - -
= =
- -

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt hai đường thẳng
1 2

;
d d
có phương trình
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
và
2
:
1 2 2
x y z
d
= =
.
Giải
ü Gọi
(
)
;1 2 ;1
M t t t
- +
và
(
)

1
2 2 1 2
0
2 1
t k u
ku
t k u k
t
t k u
ì
- = -
=
ì
ï
ï
Û - = - Û =
í í
ï ï
=
= -
î
î

(
)
1;0;0
AMÞ = -
uuuur
. Suy ra d có phương trình
1

z t
= +
ì
ï
= Î
í
ï
= -
î
và
2
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ -
= =
-
.
Đáp số:
1 1 1
: .
6 1 7
x y z
d
- + -
= =
-


(
)
4; 2;4
A - - , cắt và vuông góc với đường thẳng
3 2
: 1 , .
1 4
x t
y t t R
z t
= - +
ì
ï
D = - Î
í
ï
= - +
î

Giải
Gọi M thuộc
D

(
)
3 2 ;1 ; 1 4
M t t t
Þ - + - - +
(
)

4 2 4
: .
3 2 1
x y z
d
+ + -
= =
-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
4; 2;4
A - -
, cắt và vuông góc với đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
- +
D = =
-
.
Đáp số:
4 2 4
:
5 6 7
x y z
d
+ + -

=
î
ï
î
uuur ur
uuur uur
, từ đó tìm được A, B.
ü Phương trình d là phương trình AB.
Ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:
1
3 1 4
:
1 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
;
2
2 4 3
:
2 1 4
x y z
d
- - +
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
9

Ta có:
(
)
( )
1 1
2
2
1;1;2
. 0
7 3 13 1
21 7 35 2
4;3;1
. 0
A
AB d AB u
u t u
AB d u t t
B
AB u
ì
ì
^ =
- = =
ì
ì ì

d
- - -
= =
-
.
Bài tập: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:
1
1 1 2
:
2 3 1
x y z
d
+ - -
= =
;
2
2 2
:
1 5 2
x y z
d
- +
= =
-
.
Đáp số:

D
D Þ =
uuuur uur
.
ü Phương trình d qua M hoặc N có VTCP
u
D
uur
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d song song với
4 5 2
:
3 4 1
x y z
+ - +
D = =
-
và cắt cả hai
đường
1
1 1 2
:
3 1 2
x y z
d
- + -
= =
;
2
2 3

2 3 3;4 4; 2 2
MN u t u t u t
= - - - + - -
uuuur
và
(
)
3; 4;1
u
D
= -
uur
. Vì MN song song với
D
nên ta có:
( )
4
2 3 3 3
3
4 4 4 1 0; 1; 1
2 2 1
3
t
u t k
MN ku u t k u N
u t k
k
D
ì
= -

= =
-
.
Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d song song với
1 5
:
3 1 1
x y z
- -
D = =
-
và cắt cả hai
đường
1
1 2 2
:
3 4 3
x y z
d
- + -
= =
;
2
4 7
: .
5 9 1
x y z
d
+ +
= =

(
)
:2 4 0
P x y z
+ + - =
và cắt cả
hai đường
1
3 2 6
:
2 1 5
x y z
d
- - -
= =
và
2
6 1
:
3 2 1
x y z
d
- -
= =
.
Giải
Gọi
(
)
(

ì
ï ï
Û Û Þ = -
í í í
= -
-
+ + + + - =
ï
î
ï
î
î
uuur
. Đường thẳng d qua
(
)
1;1;1
A
và có VTCP
(
)
2; 3;1
u = -
r
. Vậy
1 1 1
: .
2 3 1
x y z
d

=
í
ï
=
î
và
2
2
: 4 2
1
x u
d y u
z
= -
ì
ï
= +
í
ï
=
î
.
Đáp số:
1
: .
4 2 1
x y z
d
-
= =

Chọn
P
u n u
D
= Ù
r uur uur
.
ü Gọi
(
)
.
M d M P
= ÇD Þ = D Ç

ü Viết phương trình d qua M có VTCP
u
r
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(
)
: 1 0
P x y z
+ - - =
cắt và
vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2
x y z

Ì
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^
ï
î
î
r uur
r uur
Chọn
(
)
4; 3;1
P
u n u
D
= Ù = -
r uur uur
. Gọi M
là giao điểm của
d
với
(
)
P
tọa độ M là nghiệm của hệ:
( )
1

)
1;1;1
M
, có VTCP
(
)
4; 3;1
u = -
r
. Vậy
1 1 1
: .
4 3 1
x y z
d
- - -
= =
-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(
)
:2 2 9 0
P x y z
+ - + =
cắt và
vuông góc với
1 3 3
:
1 2 1

.
D

Phương pháp:
ü Ta có:
( )
/ /
P
u nd P
d
u u
D
ì
ì
^
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^
ï
î
î
r uur
r uur
Chọn
P
u n u
D
= Ù

)
1;1; 1
P
n
= -
uur
;
(1;2;2)
u
D
=
uur
vì:
(
)
P
u n
d P
d
u u
D
ì
ì
^
Ì
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^

1 1 5
: .
4 3 1
x y z
d
- - -
= =
-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(
)
1;1; 2
A
-
, song song với mặt phẳng
(
)
: 1 0
P x y z
- - - =
và vuông góc với đường thẳng
1 1 2
:
2 5 3
x y z
- - +
D = =
-
.

Ç
có VTCP
.
P
u n
=
r uur

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
13

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(
)
:7 4 0
P x y z
+ - =
và cắt cả
hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d

. Ta có :
(
)
2 2 1; ;5
AB t u t u u
= - - + -
uuur
; VTPT của (P):
(7;1; 4)
P
n
= -
uur
vì
(
)
AB P
^ nên
AB
uuur
cùng phương
với
P
n
uur
2 2 1 5
2; 1
7 1 4
t u t u u
t u

1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
và
2
:
1 2 2
x y z
d
= =
.
Đáp số:
7
3
13
14
: , .
13
14
13
x t
d y t t R
z t
ì
= +
ï
ï

= D Ç
.
ü Phương trình d là phương trình
AB
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
3;2; 4
A
-
song song với mặt phẳng
(
)
:3 2 3 7
P x y z
- - -
và cắt
2 4 1
:
3 2 2
x y z
- + -
D = =
-
.
Biờn son: Nguyn ng Dng_GV chuyờn SP_GV trung tõm luyn thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyn ng Dng.
:3 2 3 17 0
Q x y z
- - - =
.
Gi
B
ẻD
ị
(
)
2 3 ; 4 2 ;1 2
B t t t
+ - - + , m
(
)
(
)
( ) 3 2 3 2 4 2 3(1 2 ) 17 0
B Q t t t
ẻ ị + - - - - + - =

6
7
t
=
32 40 19
; ;
7 7 7
B
-

- +
D = =
.
ỏp s:
:
28 27 16
x y z
d = =
.
Bi toỏn 16: Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng d l hỡnh chiu
vuụng gúc ca
D
lờn mt phng (P) (
d
khụng vuụng gúc vi
(
)
P
).
Phng phỏp:
ã Nu
(
)
/ /
P
D
thỡ:
ỹ Chn im M thuc
D
. Tỡm ta H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn

Q
v
(
)
.
P

Vớ d: Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
2 1 2
:
2 2 1
x y z
- + -
D = =
lờn mt phng
(
)
: 3 4 0
P x y z
- + - =
.
Gii
Nhn xột :
D
ct
(
)
P
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.

Q x y z
Þ - + + -
.
d là giao tuyến của
(
)
(
)
;
P Q
5 8 5 0
:
3 4 0
x y z
d
x y z
- + + - =
ì
Þ
í
- + - =
î
hay
4 1 3
: .
25 13 14
x y z
d
- - -
= =

Đáp số:
4
: 4 8 , .
7 8
x
d y t t R
z t
=
ì
ï
= - + Î
í
ï
= -
î

Bài toán 17: Viết phương trình hình chiếu song song của
1
d
lên mặt phẳng (P) theo phương
chiếu
2
d
(
1 2
d d
¹
).
Phương pháp:
ü Gọi (Q) là mặt phẳng:

1
1
:
1 2 1
x y z
d
-
= =
lên mặt phẳng
(
)
: 2 2 1 0
P x y z
- - - =
theo phương chiếu
2
1 2
: .
2 2 1
x y z
d
- -
= =

Giải
Gọi (Q) là mặt phẳng:
(
)
( )
2

2 2 1 0
:
2 1 0
x y z
d
y z
- - - =
ì
Þ
í
- - =
î
hay
3 1
: .
6 2 1
x y z
d
- -
= =

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
16

Bài tập: Viết phương trình hình chiếu song song của

z
d
- -
= =
-
.
Bài toán 18: Viết phương trình đường thẳng d sử dụng công thức về góc.
Phương pháp:
Gọi
a
là góc của
d
và
D
ta có
.
os
.
d
d
u u
c
u u
a
D
D
=
uur uur
uur uur
.

u a b c
=
uur
với
2 2 2
0
a b c
+ + >
là VTCP của d. Vì d
^ D
nên
. 0
d
u u
D
= Û
uur uur
2 2 .
b a c
= - -
Ta có
·
2 2 2 2 2
os( , ) os .
5 8 5
c c
C d Oz C
a b c a ac c
a
= = =

c a b
= Þ = - =
1
: 1 , .
2
x t
d y t R
z t
= -
ì
ï
Þ = Î
í
ï
= +
î

Với
5 3
a c
= -
. Chọn
1 3
5 3; 4 : 1 4 , .
2 5
x t
c a b d y t t R
z t
= -
ì

c C
a
= ị =
o

Vi
0
c
ạ
, t
a
t
c
=
ta cú
2
2
2
1 1 5
Cos
5 8 5 9
4 9
5
5 5
t t
t
a
= = Ê
+ +
ổ ử

5
c
=
4; 2.
a b
ị = - = -

Phng trỡnh
1 1 2
:
4 2 5
x y z
d
- - -
= =
- -
.
Bi tp:
Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng d qua
(
)
1;2;3
A v to vi cỏc trc Ox, Oy cỏc gúc ln
lt l
60
o
v
45
o
.

trỡnh ng thng d qua
(
)
3; 1;1
A - vuụng gúc vi
(
)
P
v to vi ng thng
D
mt gúc
45
o
.
ỏp s:
3
: 1
1
x t
d y t
z
= +
ỡ
ù
= - +
ớ
ù
=
ợ


u
D

=
r uuuur
r
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.
Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
18

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d qua
(
)
1;0;1
A vuông góc với
1 1 1
:
1 2 1
x y z
- + -
D = =
-
,
đồng thời d cách gốc tọa độ một khoảng bằng
2.

= +
. Ta có d qua
(
)
1;0;1
A
(
)
(
)
1;0;1 ; ;
d
OA OA u b a c b
Þ = Þ Ù = - -
uuur uuur uur

(
)
; 2 ;
b b b
= - -
( )
2 2
;
2 2 2 2 2
6 6
2
5 4 5
d
o d

- -

Bài tập:
Bài 1: Cho điểm
(
)
(
)
3;0;1 , 1; 1;3
A B- -
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 5 0
P x y z
- + - =
. Viết phương trình
đường thẳng d qua A song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d ngắn nhất.
Đáp số:
3 1
: .
26 11 2
x y z
d
+ -
= =
-

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
(

1 4 6
:
4 3 1
x y z
d
+ + +
= =
-
.
Bài toán 20: Một số bài toán lập phương trình đường thẳng khác.
Ví dụ 1: Cho điểm
(
)
1;0;2
A -
, đường thẳng
3 2 6
:
2 4 1
x y z
- - -
D = =
và mặt phẳng
(
)
:2 3 0
P x y z
- - + =
. Viết phương trình d qua điểm A, cắt d tại B và cắt
(

1 2
:
2 4 1
x y z
+ -
D = =
. Gọi N là giao điểm của
1
D
với
(
)
P
, suy ra
(
)
3; 4;1
N - - . Gọi C là điểm
trên
(
)
P
sao cho
(
)
2 0 19; 24; 11
NC NM C+ = Û - - -
uuur uuuur r
. Đường thẳng d cần tìm qua 2 điểm C và
A có phương trình là

+ - + =
. Gọi A là giao điểm của
D
và
(
)
P
. Viết phương trình chứa M, cắt
D

và
(
)
P
tương ứng tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại B.
Giải
Đường thẳng
D
có VTCP là
(
)
1; 1;1
u = -
r
, mặt phẳng (P) có VTPT là
(
)
1;1; 1
n
= -

C MB n
=
uuur r

(*)
. Vì
(
)
2;1 ;
B B t t t
ÎD Þ + -
(
)
1; ; 1
MB t t t
Þ = + - -
uuur
nên từ
(*)
có
5
6
t
=
(
)
6 11; 5; 1
MB
Þ = - -
uuur

= =
-
. Và mặt phẳng
(
)
:2 7 0
P x y z
+ + - =
. Đường thẳng
d
cắt
1
d
và
2
d
tại A và B, đồng thời khoảng cách từ d đến
mặt phẳng
(
)
P
bằng
6
. Viết phương trình đường thẳng d, biết rằng điểm A có hoành độ
dương.
Hướng dẫn: Chú ý rằng
(
)
/ /
AB P

:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
. Và mặt phẳng
(
)
: 2 3 0
P x y z
+ - + =
. Viết phương trình đường thẳng d song song với
(
)
P
và cắt
1 2
;
d d
lần
lượt tại
,
A

B
sao cho
29.
AB =


+ + + =
. Viết
phương trình
d
nằm trong mặt phẳng
(
)
P
sao cho cho
d
vuông góc với
D
và khoẳng cách
giữa hai đường
d
và
D
bằng
2 21
3
.
Đáp số:
5 2 5
:
2 3 1
x y z
d
- + +
= =
-