BÀI TẬP
HÌNH KHÔNG GIAN 11
Có lời giải
Trang 
Bài 1.
Trong mặt phẳng (
α
) cho tứ giác


có các cặp cạnh đối không song song và điểm

α
∉
.
a. Xác định giao tuyến của

và 
b. Xác định giao tuyến của  và 
c. Xác định giao tuyến của  và 




α
 
∩

•
∈


⇒

∈

•
∈

⊂

⇒

∈

⇒
!"#$#%
 !"#$%
2. Cho bốn điểm %%% không cùng thuộc một mặt phẳng .
Trên các đoạn thẳng %%
lần lượt lấy các điểm &%'%( sao cho &' không song
song với . Tìm giao tuyến của  và &'(
 
•(
∈

⊂

⇒
(
∈
 

a. mp % và mp 
b. mp % và mp 
c. mp % và mp 

 ,- %/ 

•

∈
 
⊂

⇒

∈

•

∈
%
⇒*%
&'(()
 
∩
 
•

∈

⊂

I
S
•

∈
%
⇒*%
!"#$#%*%
 ,- %/ *
 ,- %/ 
+*% 
* 0
∩

•
0
∈

⊂

⇒
0
∈

•
0
∈

⊂
%


∈

•

∈
&'&'
⊂
&'
⇒

∈
&'
•

∈

⊂

⇒

∈
 
2$#%*&'8
5. Cho tam giác  nằm trong mp ( và  là mộtđường thẳng nằm trong mp ( và không
song song với  và  .  là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( và 9 là một điểm thuộc  .
Xđ giao tuyến của các cặp mp sau
a. mp 9%
b. mp 9%
c. mp 9%

 
•
)
∈
9%
⇒)9%
!"#9)$#%9%
 9%
•
9
∈

⊂

⇒
9
∈

•
9
∈
9%
⇒99%
($&'(()
 :
∩

Trang 3
M
I

9%
⇒:9%
!"#9:$#%9%
 9%
 &
∩
9)
•
&
∈

⊂

⇒
&
∈

•
&
∈
9)9)
⊂
9%
⇒
&
∈
9%
⇒&*9%
 '
∩

∩

•
)
∈
&&
⊂
&'
⇒
)
∈
&'
•
)
∈

⊂

⇒
)
∈

⇒)*&' 
 :'
∩

•
:
∈
''

∈
&'
•
(
∈

⊂

⇒
(
∈

⇒(*&'
 ;'
∩

•
;
∈
''
⊂
&'
⇒
;
∈
&'
•
;
∈


a
A
β
α
> *β.67$8($#%
*α*β?@45$#%&'(()67$8
Bài tập :
1. Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy một điểm P
và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α)

 ,-5-!<=&'/->.=(
? ABC∩DE
•A∈CC⊂C⇒A∈C
•A∈DE
!"#ABDE∩C
@ • **F⊃DE
•∩CBC
• ABDE∩C
A∈DE 
A∈CC⊂C 
!"#ABDE∩C  
 ,-5-!<=&'/ 
α

?DE&'(()
 B∩DE
•∈⊂α⇒∈α 
 •∈DE

B
P
E
C
N
S
α
M
A
D
O
C
B
S
K
N
!"#EB∩D
3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một điểm M ,
Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) . 
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)

 ,-5-!<='/->.= 
• **F⊃E 
•:$#%
  CB∩  
⇒∩ BC 
•  JBE∩C  
J∈E 
J∈CC⊂⇒J∈  

•  AB∩NAM
A∈⊂⇒A∈
A∈NAMNAM⊂JNH⇒A∈JNH 
!"#AB∩JNH
6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA ,
Trang O
Q
A
C
P
D
N
I
B
M
S
E
E'
K
A
C
B
H
I
S
A
B
S
m
C

E∈⊂⇒E∈
ο
E∈PDPD⊂AP⇒E∈AP
⇒EAP
∩APBAE
•  HBAE∩
H∈
H∈AEAE⊂AP⇒H∈AP ,@
!"#HB∩AP
7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên
SA, SB ,SD.
a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )
b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )

 ,-5-/->.=&'(
• **F⊃G
•:$#%DEC
 E∈DEDE⊂DEC⇒E∈DEC
E∈ ⊂⇒E∈ 
⇒EDEC
C∈DCDE⊂DEC⇒C∈DEC 
C∈ ⊂⇒C∈ 
⇒CDEC
⇒DEC∩BEC
•  JBG∩EC
Trang Q
N
K
A
M

 ,-5-;/->.=&'(
• **F⊃
•:$#%DEC
 D∈DEDE⊂DEC⇒D∈DEC
D∈⊂⇒D∈
⇒DDEC
J∈DJDJ⊂DEC⇒J∈DEC
J∈G G⊂⇒J∈
⇒JDEC
⇒∩BDJ
•  KB∩DJ
K∈
K∈DJDJ⊂DEC⇒K∈DEC
!"#KB∩DEC
8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là
trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và
không trùng với trung điểm BD .
a. Tìm giao điểm của CD và (MNK )
b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )

 ,-5-&'+3
• **F⊃
•:$#%DEH
 E∈DEH
E∈ ⊂⇒E∈ 
⇒EDEH
H∈DEH
H∈ ⊂⇒H∈
⇒HDEH
⇒∩DEHBEH

a. MN và (ABO )
b. AO và (BMN )

 ,-5-&'3
• **F⊃DE
•:$#%G
 G
  CBG∩
C∈GG⊂G⇒C∈G
C∈ ⊂⇒C∈
⇒CG
⇒∩GBC 
•  KBC∩DE
K∈DE
K∈CC⊂G⇒K∈G
!"#KBDE∩G
 ,-5-&'3
• *C⊃G
•:$#%CDE
 CDE
K∈DE DE⊂DE⇒K∈DE
K∈C C⊂C⇒K∈C
⇒KCDE
⇒C∩DEBK
• C JBK∩G
J∈G
J∈KK⊂DE⇒J∈DE
!"#JBG∩DE
10. Trong mp (α) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB,
BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của :

M
Q
P
K
J
I
C
B
D
A
S
 ,-5- *+
• **F⊃
•:$#%JLH
KJLH
 DBLH∩
D∈LHLH⊂JLH⇒D∈JLH
D∈ ⊂⇒D∈
⇒DJLH
⇒JLH∩BKD
•  EBKD∩
E∈
E∈KDKD⊂JLH⇒E∈JLH
!"#EB∩JLH
 ,-5-*+3
• **F⊃
•:$#%JLH
JJLH
 AB∩LH
A∈LHLH⊂JLH⇒A∈JLH

P
I
Q
O
M
D
N
C
B
A
 ,-5-!<=&'/->.=
• **FDE⊃DE
•:$#%DE
DE
  DMBD∩
  EMBE∩
  JBDMEM∩
J∈DMEMDMEM⊂DE⇒J∈DE
J∈⊂⇒J∈
⇒JDE
⇒ DE∩BJ
• DE GBDE∩J
G∈DE
G∈JJ⊂⇒G∈
!"#GBDE∩
 ,-5-A/->.=&'
• **F⊃
•:$#%DE
 ∩DEBG
•  ABG∩

•:$#%
⇒ ∩BG
•  JBE∩G
J∈E
J∈GG⊂⇒J∈
!"#JBE∩
5-*&'
∩

• **FD⊃DE
•:$#%D
D
 ABD∩
⇒ ∩BA
• D LBDE∩A
L∈DE
L∈AA⊂⇒L∈
!"#LBDE∩
1-%*%=
E
•J∈GG⊂⇒J∈
•J∈EE⊂E⇒J∈E
⇒JE
•L∈AA⊂⇒L∈
•L∈DEDE⊂E⇒L∈E
⇒LE
!"#JL$8
2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và
OJ cắt SC tại M .
a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)

A
D
C
B
O
J
I
S
J
E
I
O
S
C
N
M
B
A
D
H∈AA⊂⇒H∈
!"#HBJL∩
5-0*
∩

• **F⊃L
•:$#%

 PB∩
⇒  ∩BP
•   XBL∩P

• **F⊃
•:$#%XDE
⇒  ∩XDEBEH
•  JBEH∩
J∈
J∈EHEH⊂XDE⇒J∈XDE
!"#JB∩XDE
,-5-* 
∩
0&'
• XE&'(()
 LBXE∩
L∈
L∈XEXE⊂XDE⇒L∈XDE
!"#LB∩XDE
Trang 3
K
J
I
S
C
M
L
N
B
A
1-&%%*=
 DJLXDE
!"#DJL$8
4. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.

Chú ý D9$*8α$YZ$V$([9$:*
Cách 1245$%$?W</4&-?4$#%
Trang =
R
H
S
A
O
J
N
M
D
C
B
Q
I
P
K
O
J
K
I
M
N
A
D
C
B
S
Bài tập

!"#$%$?W$.4NHDE
&BA
 XBHD∩
!"#$%$?W$4NHX
4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên
AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)

 KBAE∩
Trang I
M
L
N
B
C
D
A
K
H
M
L
H
K
A
D
C
B
N
Q
F
R


3
  JB∩
!"#JB
∩

CD->.=&'/,E.
  LBDE∩J
  HB∩L
!"#$%$?W$.4DEH
6. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M
trong tam giác SCD lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

 ,-5-!<=&'/->.=
• **FDE⊃DE
•:$#%DE
DE
 DMBD∩
 EMBE∩
 JBDMEM∩
J∈DMEMDMEM⊂DE⇒J∈DE
J∈⊂⇒J∈
⇒JDE
⇒ DE∩BJ
• DE GBDE∩J
G∈DE
G∈JJ⊂⇒G∈

C
B
S
!"#AB∩DE
 ,-CD->.=&'/,E.
 CBAD∩
 KBAE∩
!"#$%$?W$.4CAK
7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm
lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)

 GB∩
 GMBMM∩G
 MBMGM∩
$67`*
•E%M$V^$:$%$?W$.4MMMM
•E%M$V&'^$:
  AB∩MM
PB∩MM
⇒$%$?W$.4MMMAP





§1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Dạng 5.67$8<((
Trang Q
C'

Bài tập 
1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD

1-99998,,
$4$MM
gg
+


$4$MM
gg
+


D9$&4
gg

⇒ MM
gg
MM
!"#MMMM:<:
 ,-CD99&/,E.
hhMM  DMMD
$#%MMDD@((MM
 EBD@∩
!"# $%$?W:$MMDE
2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD).

B'
C'
D'
I
E
S
B
C
M
N
P
D
A





gggg
gg


J
⇒








3

==
)
)*
)
)
$bc$$ $0
!"#JLgg
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =
3
+
SB .
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD
Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành

 ,-*+
hhJL  KJLH
!"#$#%67$8H@((
 ,-CD*+/,E.
 XBH@∩
%$?W:$JLHX
JL67$<::$
⇒ JLB
+

j

B
J
I
K
D
A
J
I
E
C
D
B
A
Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.

1-3(;KK
2-$$4
 ECgg
⇒

'

'(
=

6k$l DEgg
⇒

&





gg





⇒ $#%67$8$n[5((
D H∈∩
⇒ H∈$[5
!"#H∈$[5&D?V$o^
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Dạng 6.67$8((9$*8C
Phương pháp .
α
α
α
gggg C

C
C
⇒





⊂

1-&'KK3

gg

gg

&'

&'
&'
⇒





⊂
⊄
6k$l
gg

gg

&'

&'
&'
⇒



C$
⇒K$
2-$∆ KEgg

gg

gg

&'(
&'(';
';
&'(
⇒





⊂
⊄
 1-
+
QQ
KK 
2-$∆J$
3

+
==


 ,-
α
/3
Trang +
Q
M
N
C
D
P
B
A
S
Q
G
1
I
G
2
S
D
C
M
N
P
A
B
N
S
M





⊂
∩∈

gg



R
α
α
⇒ α∩B\K)\Kgg
 CD,E./
α

%$?W$.4DCKE
 ,-PD&'55CD8,3
DCKE:$⇒
+

gg
gg



(;&'
;'&(



⊂
⊂
∩=
E6`^% DEgg$:
(;&'

&
(;
gg



⇒





⊂
⊂
∩=
α
α
!"#$%$?W:$$:DEggi
3. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ .
Gọi (
α
) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .


gg
';
'


⇒





∩∈
⊂
α
α
m+$6`DCggEK
!"#$%$?W:$DCEK
HV'HNICD8,,
 DCggEK
DCB
i
+

Trang ++
N
S
M
A
B



=
';&(
';&(
';&(
';&(
+

gg
gg
E$i
!"#E$$:DCEK:<:
4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang .
Gọi M là một điểm của CD ; (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC .
a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng (
α
) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ?
b. Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD).

ST,-CD->.=
α
/,E.3

gg


gg
&'
&

α
+gg


gg
(;
(


⇒





∩∈
⊂
α
α
m+$6`DEggCK
!"#$%$?W:$DECKi
 ,-
α
/->.=
  JB∩
⇒ Jα






gg
⇒





∩=
⊂
α
α
4APDU$V9$*8α
Trang +3
t
Q
I
P
N
M
C
B
D
A
S
K
J
I
M
O



∩∈
∩∈


*

α
α
⇒ JLα
!"#JL$8
6. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A ,

q
= 60
T
, AB = a .Gọi O là trung điểm của
BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là mọt điểm trên
cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q .
Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
b. Tính diện tích của hình thang theo a và x .
Tính x để diện tích này lớn nhất .

1-&'(;8,Y

gg



⊂
β
β
3gg


gg
'(
'(


⇒





∩=
⊂
β
β
m+3(# DKggECgg =
⇒ DECK :$
m=$



⊥
⊥
⇒

M
P
C
B
S



 =(
⇒



(
=
 +=⇒
⇒ GB




∆⇒



=
=
T
OT
q

'

'(
=
⇒
+
+
+
i+i
U


U


''(
−
=−==

3=i3i
+

=
3=
UU
UU

&'(;
−=
−

Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD cắt
SO , SB , AB tại N, P , Q .
a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất

 1&'(;8,,L3
B⇒ ∆B∆vv
 J$
2-$∆J∆J
 J^
B
⇒ ∆JB∆J
⇒ JBJ
⇒ ∆J0$^J
⇒ JG⊥
DGJgg ⇒ ⊥ w
Trang +I
M
N
I
P
Q
O
D
C
B
A
S
JBJ