BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Đỗ Thị Tú Anh ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO
NGUYÊN LÝ TÁCH CHO HỆ PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA


Đỗ Thị Tú Anh

ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO
NGUYÊN LÝ TÁCH CHO HỆ PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
Mã số: 62520216 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC


Lời cảm ơn Trong quá trình làm luận án, tôi đã nhận được rất nhiều góp ý về chuyên môn cũng như
sự ủng hộ về các công tác tổ chức của tập thể cán bộ hướng dẫn, của các nhà khoa học, của
các bạn đồng nghiệp. Tôi xin được gửi tới họ lời cảm ơn sâu sắc.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến tập thể cán bộ hướng dẫn đã tâm huyết hướng dẫn tôi
trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các đồng nghiệp, tập thể Bộ môn
Điều khiển Tự động đã có những ý kiến đóng góp quý báu, các Phòng ban của Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài
luận án.

Nghiên cứu sinh Đỗ Thị Tú Anh v
MỤC LỤC
tuyến 25

2.2.1 Điều khiển dự báo hệ phi tuyến sử dụng bộ quan sát High Gain 25
2.2.2 Điều khiển dự báo hệ phi tuyến sử dụng bộ quan sát mở rộng 29

vi
2.3 Đánh giá chung 34
2.3.1 Đánh giá các phương pháp điều khiển hiện có 34
2.3.2 Định hướng của luận án 35
CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ PHI TUYẾN 36

3.1 Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ phi tuyến 36
3.1.1 Phản hồi trạng thái với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi 36
3.1.2 Phân tích tính ổn định 41
3.2 Quan sát trạng thái hệ phi tuyến 45
3.2.1 Các vấn đề chung của quan sát trạng thái 45
3.2.2 Xây dựng bộ quan sát trạng thái tối ưu 47
3.2.3 Cài đặt thuật toán quan sát tối ưu 51
3.3 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi 57

3.4 Tóm tắt chương 62
CHƯƠNG 4: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ SONG TUYẾN 63

4.1 Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ song tuyến 63
4.1.1 Thiết kế bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến với
hàm mục tiêu có tham số biến đổi 63


…vv v
()diag M

Ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính
là
M

()
T
i
Chuyển vị của
(
)
i
M
Chuẩn của ma trận
M
0M >
M là ma trận xác định dương, tức là 0>
T
Mxx ,
0∀≠x

0≥M
M là ma trận bán xác định dương, tức là 0≥
T
Mxx ,
∀
x
k

γ
=

∞
K
Lớp các hàm
γ
∈
K
và không bị chặn
L
Lớp các hàm thực
(
)
k
β
, 0k ≥ đơn điệu giảm với
(
)
lim 0
k
k
β
→∞
=

KL
Lớp các hàm thực, liên tục
(
)

)
⋅
hf
1
0
{}
N
ki
−
+
v
Dãy có các phần tử là các vector
11
,, ,
kk kN
+
+−
…vv v
viii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

Co
Convex hull
CLF
Control Lyapunov Function
DMC Dynamic Matrix Control
FTO Finite Time Observer

Tín hiệu điều khiển
u khi const
k
R
=
và biến đổi
12
Hình 1.4
Tín hiệu ra
y ứng với cửa sổ dự báo khác nhau
13
Hình 1.5
Tín hiệu điều khiển
u
khi
k
R và cửa sổ dự báo thay đổi
13
Hình 3.1 Minh họa định lý 3.2 43
Hình 3.2 Nguyên tắc làm việc của bộ quan sát tối ưu 48
Hình 3.3

Đáp ứng thời gian của bộ quan sát trạng thái tối ưu ứng với
2M = khi
hệ có và không có nhiễu đo
55
Hình 3.4

Đáp ứng thời gian của bộ quan sát trạng thái tối ưu ứng với các giá trị
khác nhau của

Hình 4.4

Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ khi không có
nhiễu đo
83
Hình 4.5

Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ khi có nhiễu
đo với kỳ vọng bằng không
83
Hình 4.6

Sai lệch trạng thái của
1
x khi nhiễu có kỳ vọng bằng không so
với nhiễu có kỳ vọng bằng 0.1
84
Hình 4.7

Trạng thái quan sát được so với trạng thái thực của hệ không ổn
định
85
Hình 4.8
Đáp ứng thời gian của biến trạng thái
1
x
cho ví dụ 4.3
89
Hình 4.9
Đáp ứng thời gian của biến trạng thái

1
MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài luận án
Ba thập kỉ qua đã chứng kiến sự phát triển nhanh chóng của lĩnh vực điều khiển dự báo
trên cả khía cạnh nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng thực tế. Hơn 30 năm qua, điều khiển dự
báo cho các hệ tuyến tính đã được áp dụng rộng rãi, đặc biệt là trong lĩnh vực điều khiển quá
trình. Tuy nhiên, các ứng dụng hiện nay thường yêu cầu các quá trình vận hành trong một dả
i
làm việc lớn và gần với các điều kiện biên, đồng thời phải thỏa mãn các ràng buộc cũng như
phải đạt được chất lượng gần tối ưu. Kết quả là các phương pháp điều khiển tuyến tính không
phải lúc nào cũng đem lại chất lượng như mong muốn và do đó dẫn đến việc phải áp dụng các
phương pháp điều khiển phi tuyến.
Đây là một trong những lí do mà điều khiển dự báo phi
tuyến được quan tâm đặc biệt trong những năm gần đây với rất nhiều bước tiến ở cả lĩnh vực
lý thuyết và ứng dụng. Ngoài ra, năng lực ngày càng tăng của các máy tính hiện có cũng như
sự phát triển không ngừng của các phương pháp giải số dành riêng cho điều khiển dự báo phi
tuyến đã mang đến khả
năng ứng dụng của nó cả cho các hệ động học biến đổi nhanh. Điều
này dẫn đến một loạt các sự phát triển mới đầy hấp dẫn, bên cạnh các thách thức mới trong
lĩnh vực điều khiển dự báo hệ phi tuyến, trong đó phải tính tới cả việc đưa ra được lời chứng
minh tính thỏa mãn nguyên lý tách của hệ kín phản hồi đầu ra khi ghép chung bộ
điều khiển
dự báo phản hồi trạng thái phi tuyến với bộ quan sát trạng thái, cũng như phải xây dựng được
thuật toán để giải bài toán tối ưu khi có ràng buộc về tín hiệu điều khiển, …. Các thách thức
này cũng chính là động cơ thúc đẩy đề tài nghiên cứu của luận án.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận án

Luận án được bố cục với 4 chương chính. Sau phần giới thiệu chung về điều khiển dự
báo và những khái niệm lý thuyết cơ bản trong chương 1, chương 2 sẽ trình bày tổng quan về
các kết quả đã có của điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái, để từ đó
làm rõ hơn được những kết quả chính của luận án ở các chươ
ng sau. Các kết quả lý thuyết
phát triển thêm của luận án được trình bày ở hai chương 3 và 4. Cụ thể, chương 3 khảo sát
tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái với hàm mục tiêu của bộ điều khiển
có cấu trúc biến đổi và đề xuất sử dụng bộ quan sát tối ưu, từ đó phân tích tính ổn định theo
nguyên lý tách của hệ đi
ều khiển dự báo phản hồi đầu ra với bộ quan sát trạng thái tối ưu cho
hệ phi tuyến tổng quát. Các kết quả ở chương 3 sẽ được áp dụng cho riêng các hệ song tuyến
và được trình bày ở chương 4. Ngoài ra, trong chương 4 luận án cũng đưa ra một thuật toán
điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến mà có thể kết hợp với bộ quan sát
trạng thái tối ưu
để tạo thành hệ phản hồi đầu ra ổn định theo nguyên lý tách. Để làm rõ hơn
cho các đóng góp của luận án, một số ví dụ mô phỏng cũng sẽ được trình bày ở các chương 1,
3 và 4. Cuối cùng là các kết luận về kết quả đạt được của luận án và hướng phát triển tiếp
theo.
Luận án đã có các đóng góp cụ thể như sau:
− Phát biểu được một tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái hệ
phi tuyến mà ở đó hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong cửa sổ dự báo cũng như
theo sự dịch chuyển của cửa sổ dự báo trên trục thời gian.
− Xây dựng được bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến và chứng
minh được tính ổn định tiệm cận của hệ kín thu được.
− Xây dựng được thuật toán quan sát trạng thái tối ưu cho hệ phi tuyến và điều kiện đủ để
bộ quan sát đó trở thành bộ quan sát có khoảng thời gian quan sát hữu hạn FTO (
Finite
Time Observer
).

Hình 1.1: Nguyên lý làm việc của bộ điều khiển dự báo.

Hình 1.1 mô tả cấu trúc bên trong (hình 1.1a) và nguyên lý hoạt động (hình 1.1b) của hệ
điều khiển dự báo. Như vậy bộ điều khiển dự báo gồm có ba khâu chính:
− Khâu mô hình dự báo. Khâu này có nhiệm vụ xác định được dãy các giá trị đầu ra
tương lai thuộc cửa sổ dự báo hiện tại, tức là cửa sổ dự báo
[
)
,kk N+
tính từ thời điểm
hiện tại
k . Kết quả đầu ra của khâu dự báo này là giá trị đầu ra tương lai
, 0,1, , 1
ki
iN
+
=−…y dưới dạng các hàm phụ thuộc tín hiệu đầu vào tương lai trong
cùng cửa sổ dự báo , 0,1, , 1
ki
iN
+
=
−…u :
Khoảng dự báo tiếp theo
Khoảng dự báo hiện tại

= …
ki ki k k kN
yyuu u
(1.1)
−
Khâu hàm mục tiêu. Đây là khâu xây dựng hàm mục tiêu:
()
J U với
(
)
11
,, ,
kk kN
col
+
+−
=U …uu u

cho bài toán tối ưu hóa, phục vụ việc xác định tín hiệu điều khiển tối ưu
*
k
u
. Nguyên
tắc xây dựng hàm mục tiêu này là khi có được nghiệm tối ưu của:
*
arg min ( ),
∈
=
N
U

JQRU ee uu (1.3)
trong đó
ki ki ki+++
=−ewy
và ,QR là các ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn.
− Khâu tối ưu hóa là khâu thực thi bài toán tối ưu (1.2) nhờ một phương pháp tối ưu hóa
cụ thể. Trong số các giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu tìm được trong cửa sổ dự báo hiện
tại:
()
*** *
11
,, , ,
++−
= …
kk kN
colU uu u

thì chỉ có phần tử đầu tiên của nó:
(
)
**
,, ,
k
I= ΘΘU…u
được sử dụng, trong đó I là ký hiệu của ma trận đơn vị và
Θ
là ma trận có tất cả các
phần tử bằng 0. Tại thời điểm 1k
+
tiếp theo, chu trình trên được thực hiện lặp lại (hình

rộng (
Long Range Predictive Control - LRPC) của De Keyser năm 1988, bộ điều khiển dự
báo bền vững của Garcia năm 1989, điều khiển dự báo khoảng trượt với cực tiểu hóa hàm
mục tiêu toàn phương (
receding horizon predictive control) của Scattolini và Clarke năm
1991, điều khiển dự báo khoảng rộng toàn phương (
Long Range Quadratic Programming -
LRQP) của Sandoz năm 2000, điều khiển dự báo có ràng buộc (constrained predictive
control
) của Grim năm 2003, hay điều khiển dự báo nhiều chiều có ràng buộc cho tín hiệu đầu
vào của Warren và Marlin năm 2006, Một tổng quan tương đối đầy đủ về các phương pháp
điều khiển dự báo tuyến tính này đã được nghiên cứu sinh trình bày trong tài liệu [3].
Tuy nhiên, có thể thấy các phương pháp điều khiển dự báo nêu trên đều tập trung chủ
yếu cho bài toán điều khiển dự báo tuyến tính, trong khi các đối tượng trong thự
c tế đều ít
nhiều mang tính phi tuyến và hàm mục tiêu thường không ở dạng toàn phương cũng như các
ràng buộc thường gặp là phi tuyến. Bởi vậy, điều khiển dự báo hệ phi tuyến đã được đặc biệt
quan tâm và nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây. Đó cũng chính là một trong những
động cơ thúc đẩy nghiên cứu đề tài "
Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
cho hệ phi tuyến
" của luận án.
1.1.2 Các hướng nghiên cứu của luận án
Để thực hiện đề tài "Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách cho hệ phi
tuyến
", luận án đã đặt ra hai hướng nghiên cứu chính, gồm:
−
Xây dựng bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ
quan sát trạng thái và khảo sát tính ổn định của hệ thu được.
−

trên ba xu hướng thiết kế sau:
1. Tách (
separation): Với xu hướng này, bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái tĩnh vả bộ
quan sát trạng thái được thiết kế độc lập với nhau và việc ghép chung bộ điều khiển và bộ
quan sát này sẽ đảm bảo cho hệ kín ổn định.
2. Bộ điều khiển tách (
controller separation): Bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái tĩnh
được thiết kế trước. Sau đó chọn một bộ quan sát thích hợp để khi ghép chung nó với bộ
điều khiển đã có thì hệ kín sẽ ổn định.
3. Bộ quan sát tách (
observer separation): Bộ quan sát trạng thái được thiết kế trước. Sau đó
chọn một bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái tĩnh thích hợp sao cho khi ghép chung
nó với bộ quan sát đã có thì hệ kín sẽ ổn định.
Việc lựa chọn một trong ba xu hướng thiết kế nêu trên nhằm tạo ra
tính ổn định cho hệ
thống điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
cũng chính là một trong những
động cơ thúc đẩy đề tài.
B) Về hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
Thứ hai là về khả năng chuyển bài toán điều khiển dự báo có ràng buộc thành bài toán
điều khiển dự báo không ràng buộc nhờ sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi.
Xét lại hàm mục tiêu (1.3), nay được viết lại thành:

,()=+
TT
J UEEUUQR (1.4)
với

(
)

u hoặc trạng thái
k
x .
Tuy nhiên, nếu nhìn lại cấu trúc hàm mục tiêu (1.4) ta sẽ thấy:
−
Khi R càng lớn, sự tham gia của thành phần
T
UUR
trong hàm mục tiêu ( )J U càng
cao, kéo theo khi có được ( ) minJ →
U , giá trị của U sẽ càng giảm. Điều đó đồng
nghĩa với việc càng tăng
R
, điều kiện ràng buộc:
maxk
u≤u (1.5)
càng dễ được thỏa mãn.
−
Nhưng nếu càng tăng R , gián tiếp sẽ càng làm cho sự tham gia của thành phần thứ
hai là
T
EEQ trong ( )J U lại càng giảm, kéo theo càng khó có được
0→E
, tức là chất
lượng bám tín hiệu mẫu
k
w đặt ở đầu vào càng xấu.
Tất nhiên ta càng không thể vừa tăng
R vừa tăng Q , vì như vậy tương quan về sự
tham gia của hai thành phần

hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi như sau:

1
0
() ( , ).
−
++ +
=
∑
=
N
ki ki ki
i
JgU eu (1.7)

9
Với hàm mục tiêu (1.7) có cấu trúc hàm
(, )
ki ki ki
g
+
++
eu
dưới dấu tổng thay đổi theo
k
một
cách thích hợp, thì thay vì tìm nghiệm bài toán tối ưu có ràng buộc (1.2), nghiệm bài toán tối
ưu không ràng buộc:

*

Để minh họa ý nghĩa việc thay thế hàm mục tiêu cố định (1.4) bằng hàm mục tiêu có
tham số biến đổi (1.6) hoặc có cấu trúc biến đổi (1.7), nhằm chuyển bài toán điều khiển dự
báo có ràng buộc thành bài toán không bị ràng buộc, từ đó sử dụng được các phương pháp tối
ưu động thay vì quy hoạch phi tuyến, ta xét ví dụ ứng dụng sau. Đây cũng là một ứng dụng
thực tế của phương pháp đề xuất trong luận án đã được nghiên cứu sinh trình bày trong công
trình [CT5].
Ví dụ 1.1: Xét hệ truyền động qua một cặp bánh răng, mô tả bởi mô hình liên tục:

22
11 1 1 12 2 1
22
22 2 2 211 2
cos ( )
cos ( )
LL dms
LL cms
Jcr i MM
Jcr i MM
ϕαϕϕ
ϕαϕϕ
⎧
++=−
⎪
⎨
−+=−
⎪
⎩




=
⎨
⎩

ë chÕ ®é ¨n khíp
ë chÕ ®é khe hë,−
12
,,
d
JJJ lần lượt là moment quán tính của động cơ, bánh răng 1 và bánh răng 2 và
11
,=+
d
JJJ
−
c
M là moment cản, bao gồm cả moment tải,
d
M là moment đặt ở đầu vào,
−
12
,
ms ms
MM là moment ma sát trong các ổ trục bánh răng,
−
12
,

kkk
kk
Au
y
+
=+
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
xxb
cx

và mô hình này sẽ được ta sử dụng làm mô hình dự báo, trong đó:

222 2
col( , , ), , ,
ϕ
ϕϕ ϕ
===
   
d
uMyx

0
,
a
a

θαθ αθθθθ
θθ
θθ θθθ
θθ
θθ
−
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
===
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
=−=−
====
−
⎛
==− +−
+



được viết lại thành:

()()
()
,
()
2
=+
=− − +
−+
T
T
kk
TT TT
kk kk
J UU UUU
UU U
AQ A R
QQA AQAR
υυ
υυυ

trong đó:

11

()
11 1122
,, , , ( , , , ),
(), (),

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠





T
T
T
TT
TT T
k
k
N
kN
NN
wA
w
A

=+−
⎣⎦
−
=+
k
TT T
kk k
TT
kk k
JUU
UAQARU QAU
AQA R AQ
υ
υ

Các hình từ hình 1.2 đến hình 1.5 là kết quả mô phỏng tín hiệu đầu ra và tín hiệu điều
khiển thu được với tín hiện đặt 1,
k
wk
=
∀ , chu kỳ trích mẫu 0.2
a
T
=
, các tham số
2
11a
=
− ,
13

R
=

(đường nét gạch) thì
k
R phải được chọn đủ nhỏ nhằm tạo ra tín hiệu điều khiển đủ lớn mới có
thể đưa hệ thống bám được tín hiệu đặt. Điều này dẫn đến việc ở những thời điểm đầu tiên,
điều kiện ràng buộc của
k
u bị vi phạm.

12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time, sec
OutputR=0.01(0.5)
k
R=0.0003

Hình 1.2: Tín hiệu ra

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time, sec
OutputR=0.01(0.5)
k
, N=5
R=0.01, N=5
R=0.01, N=50

Hình 1.4: Tín hiệu ra y ứng với của sổ dự báo khác nhau.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
ControlR=0.01(0.5)
k

k
u thì việc giữ nguyên const
k
R = lại không thể
đem lại chất lượng bám tốt, kể cả khi tăng cửa sổ dự báo. Cụ thể, ở hình 1.4 sai lệch bám của
hệ thống ứng với
2
10 ,
k
R
−
= 50N
=
(đường chấm gạch) tuy nhỏ hơn sai lệch bám ứng với
2
10 ,
k
R
−
= 5N =
(đường nét gạch) nhưng vẫn không thể tốt bằng trường hợp
2
10 2
k
k
R
−
=

và

kk
k
+
=xfx với ( , ) ,k
=
00
f

0.
∀
≥k
(1.9)
Khi đó hệ sẽ được gọi là:
a)
Ổn định tại
0
k , nếu với mọi 0
ε
> bao giờ cũng tồn tại
(
)
0
,k
δε
sao cho quỹ đạo
trạng thái tự do
(
)
0
,

k→∞
=
0x
.
Trước khi đưa ra điều kiện đủ để hệ (1.9) ổn định, ta cần có một số khái niệm sau.
Định nghĩa 1.2:
a) Một hàm thực
(
)
r
γ
với 0r ≥ được gọi là thuộc lớp K nếu nó đơn điệu tăng và
(
)
00.
γ
= Nếu còn có
(
)
lim
r
r
γ
→∞
=
∞ thì hàm
(
)
r
γ

Định lý 1.1 [23]: Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc mô tả bởi (1.9). Ký
hiệu
(
)
,Vkx là hàm trơn thỏa mãn:

(
)
(
)
(
)
12
,
kk k
Vk
γγ
≤≤xx x
với
12
,
γ
γ
∈
K
,
0
,
∀
≥kk

∀
≥
thì hệ sẽ ổn định tại
0
.k

b)
Nếu
(
)
(
)
3
,
kk
Wk
γ
≥xx,
k
∀
∈Ox ,
0
kk
∀
≥ và
3
γ
∈
K thì hệ sẽ ổn định tiệm cận
tại

d là tín hiệu bất định, tác động không mong muốn vào hệ. Khái niệm này được
hiểu như sau:
Định nghĩa 1.3: Xét hệ phi tuyến không dừng (1.10) cân bằng tại gốc, tức là:
(,,) , 0.
=∀≥00 0kk
f

Hệ sẽ được gọi là ổn định ISS nếu tồn tại một hàm
(
)
,zk
β
thuộc lớp KL và một hàm
()
z
γ
thuộc lớp
K
sao cho với mọi tín hiệu bất định
k
d thỏa mãn
k
∞
<∞d và mọi trạng
thái đầu
0
x tùy ý, được hiểu là giá trị trạng thái của hệ khi
0
kk
=

thể thấy ngay được rằng trong trường hợp
k
d không phải là tín hiệu bất định, mà lại là tín
hiệu vào
k
u của hệ, tức là:

1
(,,),
+
=
kkk
kxfxu (1.11)

Trích đoạn Túm tắt chương

---