A/. MỞ ĐẦU
A/. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó được vận
dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trước hết
Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và
tư duy cao,… Do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCS được nâng cao
thì có nghĩa là chúng ta đưa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện
đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công
nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường
THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của học sinh, khơi dậy
và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức
một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình là nội
dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng
toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh nắm được
khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là yêu cầu hết
sức cần thiết đối với người giáo viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như
qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang
giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh
mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn nhiều sai sót, rập khuôn
máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ
năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán về phương trình.
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất
lượng bộ môn toán nên bản thân đã chọn đề tài: “Rèn kỹ năng giải phương trình
cho học sinh lớp 8”.
2. Đối tượng nghiên cứu:
Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh.

nhà trường phổ thông. Muốn vậy trước hết giáo viên là người định hướng và giúp
đỡ học sinh của mình lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học,
tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, yêu
thích bộ môn, phát huy tư duy sáng tạo của học sinh, thì môn toán là môn học đáp
ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Học toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài
tập hoặc những cách giải do Thầy, Cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu
suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra được những cách giải
hay, những điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phương trình của môn đại số 8 đáp
ứng yêu đầy đủ cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chương trình
sau này, như giải bất phương trình của chương trình lớp 9 … Tuy nhiên, vì lý do sư
phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng
phương trình và các phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một
cách nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần
xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là
kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận
dụng vào thực tiễn. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho
phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
2. Cơ sở thực tiễn
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét,
nhận dạng phương trình và biến đổi trong thực hành giải toán còn yếu, phần lớn do
rơi rụng kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ
đầu chương trình lớp 8, do còn lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý
thức học tập, trong nhờ vào kết quả người khác. Đa số các em sử dụng các loại sách
bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập mới các em thường lúng túng,
không tìm được hướng giải thích hợp.
Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen
học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ
năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng

≠
0, phương trình có nghiệm x =
c
a
Nếu a = 0, c
≠
0, phương trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
⇔
5 – x + 6 = 12 – 8x
⇔
– x + 8x = 12 – 11
⇔
7x = 1
⇔
x =
1
7
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
1
7
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
⇔
x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
⇔

2 3 6
x x x− − −
+ − =
(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai:
1 1 1
2
2 3 6
x x x− − −
+ − =

⇔

3( 1) 2( 1) 1 12
6 6
x x x− + − − −
=
(sai ở hạng tử thứ ba)
⇔

3( 1) 2( 1) 1 12x x x− + − − − =
(sai từ trên)
⇔

4 18x =
(sai từ trên)
⇔

4,5x =

=
Vậy: S =
{ }
4
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu
khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 1: (3)
⇔

1 1 1
( 1) 2
2 3 6
x
 
− + − =
 ÷
 

⇔

4
( 1) 2
6
x − =

⇔

1 3x − =

4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x
+ −
− = +
(4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4)
⇔

4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0,25x x x+ − × = − + ×

⇔

8 4 10 5 10 5x x x
+ − = − +

⇔
4x = 2

⇔
x = 0,5
Vậy: S =
{ }
0,5


⇔
0,2 0,1x =
 Phương trình tích
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0
⇔
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0…
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích.
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)

= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5)

= 0
⇔
3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5

= 0
⇔
3x = 2 hoặc 4x

= – 5
⇔
x =
2


(



ky ùhieäu thay cho chö õhoaëc)
* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải
biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x
2
– x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:
(6)
⇔
x
2
– x + 2x – 2 = 0
⇔
x
2
+ x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về
phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định
hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6)
⇔
x
2
– x + 2x – 2 = 0


⇔

1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 

Vậy S =
{ }
1 ; 2 −
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x
2
+ 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
- Trong ví dụ trên học sinh thơng thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế
các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
(7)
⇔
–4x
2
– 5x + 6 – x
2
– 4x – 4 = 0
⇔
–5x

+ =


⇔


− + =
=



Vậy S =
1
2 ;
5
 
−
 
 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình
và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta
sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy khơng thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên
rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.

⇔
là khơng chính xác)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔
x(x + 1) = 0
⇔

0
0 (
1 0
1
x
x
x
x
=
 =

⇔


+ =
= −

+ 2x x + 2 = 2

x
2
+ x = 0

x(x + 1) = 0


0 0 (
1 0
1 (
x x
x
x
= =





+ =
=


khoõng thoỷa ủieu kieọn)
thoỷa ủieu kieọn)
Vy S =
{ }
1

= Suy ra: 1 + 3(x 2) = 3 x


1 + 3x 6 = 3 x


4x = 8


x = 2 (khụng tha món iu kin)
Vy phng trỡnh vụ nghim
Qua vớ d ny giỏo viờn cng c li hc sinh v rốn cỏc k nng sau:
- Tỡm KX ca phng trỡnh:
* Tỡm cỏc giỏ tr ca n cỏc mu u khỏc 0. (Cho cỏc mu thc khỏc 0)
* Tỡm cỏc giỏ tr ca n cỏc mu bng 0, ri loi giỏ tr ú. (Cho cỏc mu
thc bng 0)
- Khi gii phng trỡnh cha n mu khụng sút iu kin ca phng trỡnh nờn
cho hc sinh tỡm trc mu thc chung (MTC) v cho MTC khỏc 0, õy l iu kin
xỏc nh (KX) ca phng trỡnh.
- Rốn cho hc sinh v k nng thc hin cỏc bc gii phng trỡnh, k nng v
phõn tớch a thc thnh nhõn t tỡm MTC, cỏc quy tc du nh quy tc i du, quy
tc du ngoc v vic trin khai tớch cú du tr ng trc.
- Rốn hc sinh v k nng nhn dng cỏc phng trỡnh cú mu l cỏc a thc dng x
2
+ 1; 3x
2
+ 2; x

=
+ + + +

Suy ra: 3x
2
+ x 4 = 4x 4

3x
2
3x = 0

3x(x 1) = 0


3 0 0 (
1 0
1 (khụng
x x
x
x
= =





=
=



Hng dn: (11)


3 4 9 3
15 15 15
5 2
x x
x x x

= +


10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x = +
(hc sinh gii tip)
Vớ d 12: Gii phng trỡnh
1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
(12) (BT 53-Sgk-tr34)
- Thụng thng hc sinh thc cỏch gii quy ng kh mu nh sau:
Cỏch 1: (12)


56.( 1) 63.( 2) 72.( 3) 84.( 4)x x x x+ + + = + + +


56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336



⇔

10 10 10 10
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +

⇔

1 1 1 1
( 10) 0
9 8 7 6
x
 
+ + − − =
 ÷
 ⇔
x + 10 = 0

⇔
x = –10 Vậy S =
{ }
10 −
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó
giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta
đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:

⇔

2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x+ + + + +
+ + + − =
3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + = −

⇔

2011 2011 2011 2011 2011
0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + =
 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x
2
– 5x) – x
3
= 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x
3
và 8

2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành
b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0
Ví dụ 14: Giải phương trình
3 2 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x
+ =
− − − − − −
(14) (BT.31.b/23)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x
≠
1; x
≠
2; x
≠
3

Hướng dẫn:
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
= −
− − − −
;
1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
= −
− − − −
; …
(*)
⇔
1 1 1
6 1 10x x
− =
− −
 Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phương trình
2
2
3 1
3 4 0x x
x x
− + − + =
(15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải
phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng
dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x

y = 1 hoặc y = 2
Khi đó
1
1x
x
+ =

⇔
x
2
– x + 1 = 0 (vô nghiệm)

1
2x
x
+ =
⇔
x
2
– 2x + 1 = 0
⇔
(x – 1)
2

⇔
x = 1 (nhận)
Vậy S =
{ }
1
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc

-Khi đã thu gọn hai vế của phương trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố
gắng tìm cách chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích.
-Khi biến đổi phương trình nếu nhận thấy hai vế của phương có nhân tử chung
hoặc hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
-Khi khử mẫu hai vế của phương trình ta cần lưu ý đây là phương trình hệ quả của
phương trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
-Khi biến đổi phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phương
trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý như nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, … cho
thích hợp.
3.3.2: Kết quả:
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng
học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thông kê, đánh giá qua hai lớp 8A, 8B
ở năm học 2009 – 2010 như sau:
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp) 73 37 50,68%
* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng phương
trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng được các hằng
đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử,
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)

Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho
phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai
lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các
bước giải phương trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận dụng
tốt các cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương
tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội
dung sách giáo khoa.

Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng
phương trình phương pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong
việc vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả
năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc
tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp giải cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập
dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề
để việc giải phương trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi
sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách
toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.

Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận
dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong
chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất
lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh
khá giỏi, đồng thời tạo sự hứng thú và niềm vui trong học tập.
 Hướng phổ biến áp dụng