I.ĐỀ TÀI: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH LỚP
10 KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
II.ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài toán của học
sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn
học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc
phải sai lầm là cần thiết và phù hợp .
Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình
thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm
vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một
phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm
điều kiện nào.Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương
trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn
hoặc bỏ mẫu được
Vì lí do trên tôi chọn đề tài : Khắc phục một số sai lầm cho học sinh lớp 10
khi giải phương trình và bất phương trình.
III. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ở trường phổ thông,dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác
nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới,
để củng cố hoặc kiểm tra …
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng
những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức
năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc
thực hiện các mục đích dạy học.
1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
+ Lời giải không có sai lầm;
+ Lập luận phải có căn cứ chính xác;
+ Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài ba yêu cầu nói trên,trong dạy học bài tập,cần yêu cầu lời giải ngắn gọn,

một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập.
Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và
các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi
giải một bài toán có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển
từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa
đựng tập hợp ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài
toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau.
Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của
nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho
việc giải bài toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức
tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi
giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách
giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ
hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu
ích để giải bài toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động:
hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo
sát lời giải đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là
qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình
thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo.
IV. CƠ SỞ THỰC TIỂN
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi học sinh giải các bài toán về
phương trình hoặc bất phương trình thì học sinh vận dụng thường biến đổi
tương đương mà không chú ý đến điều kiện xác định . Từ thực trạng trên nên
trong quá trình dạy tôi đã dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên
học sinh cần nắm vững lý thuyết về phương trình tương đương và bất phương

Sai lầm thường gặp :

2
2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
2
2
6 0
3
x
x x
x
= −

⇔ − − = ⇔

=

Nguyên nhân sai: x=-2 thì 2x
2
+3x-2=0 nên loại nghiệm x=-2
Lời giải đúng:




− − =
  = −

⇔ ⇔ ⇔ =
 
+ − ≠



≠ − ≠


KẾT LUẬN:
( ) 0
( )
0
( ) 0
( )
f x
f x
g x
g x
=

= ⇔

≠



− =

⇔ ⇔ = −


− + =



=

Nguyên nhân sai lầm:với x=-2 thì
2x −
vô nghĩa.
Lời giải đúng: pt(2)
2
x 2 0
x x 6 0
x 2 0

− =

⇔

− + =



− ≥

( ) 0
( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

với x thuộc tập xác định của phương
trình f(x).g(x)=0.
Bài tâp tương tự: Giải phương trình
(x+1)
2
2 2 2x x x+ − = +

3.DẠNG :

( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )f x g x f x h x g x h x= ⇔ =
?
Ví dụ: Giải phương trình:
f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=

⇔

)=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

⇔
4x-3=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

2
2 2
2 2
4 3 0
3
3 2 0
4
3 2 1 1(*)
3 2 1 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
 − =


=


x
x x x
⇔ − + = − + + − + +
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=
− + = −


Vậy phương trình (3)có nghiệm: x=
3
4
Nguyên nhân sai lầm:
Thử lại : x=
3
4
không thỏa mãn phương trình (3)
Lời giải dúng:
Pt(3)
2 2
4 3
1
3 2 1
x
x x x x
−

2 2 2
3 2 1 1
3 2 ( 1 1)
3 2 1 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + + − + +

2
2 2
0
0
1 ( )
1
1 ( )
x
x
x x x vn
x
x x x
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=

(4)
Sai lầm thường gặp: Pt (3)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +

2
( 1) ( 2) 1
1 2 1
1 0
2 0
2 1
1 0
x x x
x x x
x
x
x
x
⇔ + − = +
⇔ + − = +
 + =



− ≥


⇔


− =

B
B
= =
?

2
( 1) ( 2) 1
1 0
1 2 1
1 0
1
1
2 1
3
1
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
⇔ + − = +
+ =



⇔

3
9 ( 5)
3
x
x x
x
+
− = +
−
(5)
Sai lầm thường gặp:
pt (5)
3
2 ( 3)( 3) ( 5)
3
x
x x x
x
+
⇔ − + = +
−

3
2 3 3 ( 5)
3
x
x x x
x
+
⇔ − + = +

x x
x x
+
⇔ − − + =
−
+
⇔ − =
−
− > >
 
 
⇔ ⇔ ⇔ =
− = =
 
 
 
 
+ = =−
 
 
Nguyên nhân sai lầm:x=-3 là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất
nghiệm x=-3
Lời giải đúng:
3
(5) 2 ( 3)( 3) ( 5)
3
x
pt x x x
x
+


⇔ ⇔
>




= −



≤ −




= −

KẾT LUẬN:
ê 0, 0
. ê , 0
. ;
. ê , 0
ê 0, 0
A
n uA B
A Bn uA B
A
B
A B

−
− = −
+
b.
2
2
2 6 ( 5)
3
x
x x x
x
+
− − = +
−
c.
2
(3 1)(3 4 1) 1x x x x− − + = −
d.
2
(2 3)(2 3) 1x x x x− − − = +
5.DẠNG:
. .
0
A C
A B AC
A

=
= ⇔


3 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
+ + + +
⇔ − = + ⇔ − = +
− −
− −
+
⇔ − − + =
−

 − − + = − ≥


 − − + =



=


−

+ =


2
2
2
( 2 3 2) 0
0
0
2 3 2
2 3 2 0
x x x
x
x
x x
x x
⇔ − − − =

=

=
⇔ ⇔


 
 
≥ ≥
⇔ ⇔
 
 
 
 
− = − − − =
 
 0
2
0
1
1
2
x
x
x
x
x
=


≥



2 1 0
2 3 2
1
2
( 2) 0
2
0
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
=

=


=


− − =



⇔ ⇔ ⇔


A A B
=


= ⇔
=




≠ ≥

II.SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI
SỐ LỚP 10

( ) 0
( )
. ( ) . ( )
( )
g x
f x a
b f x a g x
g x b
≠

≥ ⇔


2
2
2
4; 3
12 0
3 10 0
2( 1) ( 12)
x x
x x
x x
x x x
≠ − ≠

+ − =


⇔ ⇔
 
+ − ≥
+ ≥ − + −




4; 3
2
5 3
2
5
x x

2 2
2 2 2
1 1 2( 1) ( 12) 3 10
0 0 0
12 2 12 12
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + − + −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x
−∞
-5 -4 2 3
+∞
2
3 10x x+ −
+ 0 - - 0 + +
2
12x x+ −
+ + 0 - - 0 +
VT + 0 -
P
+ 0 -
P
+
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình:
S=(
−∞
;-5]


 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
  
+ ≤ −

 
≥ ≥
 

Nguyên nhân sai lầm:Với x
3
( 3; )
2
∈ −
thì x+3>0>4x-6 và bất phương trình
nghiệm đúng.Cách giải trên đã làm mất nghiệm.
Lời giải đúng:
Bpt(8)
1 1 4 6 ( 3) 3( 3)
0 0 0
3 4 6 ( 3)(4 6) ( 3)(4 6)
x x x
x x x x x x
− − + −
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x -
∞

2.DẠNG:

Ví dụ: Giải bất phương trình:x
2
(2x
2
-3x+1)
≥
0 (9)
Sai lầm thường gặp:Bpt(9)
2
1
2 3 1 0
1
2
x
x x
x
≥


⇔ − + ≥ ⇔

≤

Nguyên nhân sai lầm: Với x=0 thì x
2
(2x
2
-3x+1)=0 nên (9) thỏa mãn.Cách giải

 
2 2
( ) ( ) 0 ( ) 0; ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x g x f x g x g x≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ ≤
?
Bài tập tương tự: Giải bất phương trình:

2 4 2
(2 1) (4 3) (3 5 2) 0x x x x− + − + ≤
3.DẠNG

Ví dụ: Giải bất trình :
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − − ≥
(10)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(10)
2
2
2
1
3
2 3 2 0
2
1
3 0
3
2
0
x
x




≤



Nguyên nhân sai lầm: x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình(10)
Lời giải đúng:Bpt(10)
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0 3 0
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0
2 3 2 0
3 0
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x


− − =

2
2
3 3
1
3
2
1
2
x
x
x
x x
x
x
x
 =






= −

=




⇔ = ⇔ ≥ −

( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
g x
f x x D
f x g x
g x
f x g x
f x
f x g x
f x
g x


= ∈



=
=


≥ ⇔ ⇔


≥

(11)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(11)
2 2
2 2
2
(2 4 )
4 4
x x
x x x
x
+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −



2
0

2 2
2 2
2
(2 4 )
4 4
x x
x x x
x
+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x h x g x h x
f x h x g x h x f x g x
≥ ⇔ + ≥ +
+ ≥ + ⇔ ≥

 
− ≤ ≤
− − ≤


KẾT LUẬN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x≥ ⇔ + ≥ +
;h(x)
∈
D với D là tập xác
định của
( ) ( )f x g x≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x f x g x
+ ≥ + ⇔ ≥
;với x thuộc tập
xác định của
( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x+ ≥ +
Bài tập tương tự:Giải bất phương trình:

2
2 2
2
3 2 1 25
5 25
x
x x x
x
− + − − ≥
+ −


1. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng
Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD.
2.Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường,Đỗ Mạnh Hùng,Nguyễn Tiến
Tài (2006), Đại số 10 cơ bản, NXBGD.
3.Nguyễn Huy Đoan,Phạm Thị Bạch Ngọc,Đoàn Quỳnh,Đặng Hùng Thắng,
Lưu Xuân Tình.(2006),Bài Tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD.
4.Nguyễn Thái Hòe (1998), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán,
NXBGD.
5.G.Polia (1975), Giải một bài toán như thế nào, NXBGD.
6.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng
tạo khi giải toán, NXB Hà Nội.

MỤC LỤC

Trang
I.Đặt vấn đề 1
II.Cơ sở lí luận. 1-3
III.Cơ sở thực tiễn. 3
IV.Nội dung nghiên cứu
1.Sai lầm thường gặp trong giải phương trình ở lớp 10 3-8
2.Sai lầm thường gặp trong giải bất phương trình ở lớp10 8-11
V.Kết quả nghiên cứu 11
VI.Kết luận 12
VII.Tài liệu tham khảo 13