Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 1 -
HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
2
22
2
Chương Bài 1:

LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC  
1. Kiến thức cơ bản

Gọi
a
và
b


 
.
x y x y
a a a
+
=


x
y
x
y
a a
=


1
x
x y n
y n
a
a a
a a
− −
= ⇒ =


)
(
)
.
y x
x y x y
a a a
= =


.
n n n
a b ab
=


(
)
. .
x
x x
a b a b
=


(
)
m
n
n

0 1
a
< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
.

( )
n
1
lim 1 2,718281828459045
n
x
e
n
→∞
 



= + ∈





 

2
s
b
.
 Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì
⇒
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)
là:
(
)
1
N
C A r
= +
.

3. Bài tập áp dụng

Bài 1. Với
,
a b
là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau:

1/
9 2
6 4
7 7
5 5
8 : 8 3 .3
A

2 .2 5 .5
10 : 10 0,25
B
− −
− −
+
=
−

3/
( )
4
2
3
5
4
5 0,2C
−
−
 
 








= +

 
 
   

5/
(
)
(
)
1 2 2
2
2
0
3 3 3
0, 001 2 .64 8 9
E
−
−
= − − − +
6/
2 3 5 5
2 .8
F
−
=

n
số
a


10
2 .5
H
+
+ +
=

9/
(
)
(
)
2
1,5
3
0, 04 0,125
I
− −
= −
10/
( )
0,75
5
2
1
0,25
16
J
−
−

−
−
− −
− −
−
 
 
 
   
 
 
 
 
 
+ −
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
=
 
     

L a b
a a
a a b b
−
−
 
 

 

 


 
 − −










= − + − −
 




   
 
 
   
 
 
= +
 
   
 
 
 
 
   
   
   
14/
(
)
3 5
3 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2
2 5 1 5
6
4 .2 .2 : 25 5 .5
2 .3
N
+
+ − − − + − −
+ +
 

)
3 3
2 2
1
6 6 6
3 3 3 3
3
2 2 2 2
2
a b ab a b
P a b a
a ab b a b
−
 
− +
 
= − − +
 
 
− + −
 Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:

1/
3
4
−
và








 
và
2
1
2
 








 
6/
1
9
π
 







 
và
3
1
3
 








 
8/
3
10
và
5
20

9/
4
5
và
3

−
14/
2
4
π
 








 
và
6
4
π
 








 
15/

0,125
−
17/
(
)
3
2
−
và
(
)
5
2
−
18/
4
4
5
−
 








 
và






 
và
10
3
2
π
 








 
21/
2
3
5
−
 




3 1
−
và
(
)
2
2
3 1
−Bài 3. So sánh hai số
,
m n
nếu:
1/
3,2
m
<
3,2
n
2/
(
)
2
m
>
(
)
2

3
2
m
 










 
>
3
2
n
 











nếu:
1/
(
)
(
)
2 1
3 3
1 1
a a
− −
− < −
2/
(
)
(
)
3 1
2 1 2 1
a a
− −
+ > +
3/
0,2
2
1
a
a
−
 

− > −
5/
(
)
(
)
3
2
4
2 2
a a
− > −
6/
1 1
2 2
1 1
a a
−
   
 
 
 
>
 
 
 
 
 
   


  
  
  
= − − − − −
  
  
  
  
  
     
2/
(
)
(
)
(
)
(
)
2 6
4
6 4
2
3 . 15 .8
9 . 5 . 6
B
− −
=
− −


(
)
(
)
(
)
7 3
4
4 5
18 .2 . 50
25 . 4
E
− −
=
− −
6/
(
)
(
)
( )
3 3
6
4
2
3
125 . 16 . 2
25 . 5
F
− −

3 3 3 3 3
4 10 25 2 5
H
  
 
 
 
 
= − + +
 
 
 
 
 
  

9/
4
3
5 4
3
4. 64. 2
32
I
 






. , 0
A x x x= ≥
2/
( )

5
3
. , , 0
b a
B a b
a b
= ≠
3/
5
3
2. 2 2
C
=

4/
3
3
2 3 2
. .
3 2 3
D =
5/
4
3
8

−
+
= +
−
+
2/
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
1
2 1
a a a
B
a
a a a
 
+ − +



= −





−
+ +
 

= +



−

 









−











 
 

+ −
 

5/
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
.
E a b a a a b
   
 
 
 
 
= − + +
 
 
 
 
 
   
6/
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
. .
F a b a b a b
     
  
  
  
  

G
a
a a a
 




+ − +



= −




−


 

+
 
8/
(
)
(
)
( )

 
− +

9/
3 3
6 6
a b
I
a b
−
=
−
10/
4
:
ab ab b
J ab
a b
a ab
 
−



= −






2 2
3 3 3 3
3
2 2 2 2
6
6 6
2
a x ax a x
a x a ax x
L x
a x
+ −
+
− − +
= −
−

13/
3
4 4
3 3
4 4
1 1
1 1
x x x
M
x x
x x
x x
 

2 2 2 2
3
3 3
3
3
2
2
:
a a a b a b a b ab
N a
a b
a ab
 
− + −
 
= +
 
 
−
−
 

15/
5
3 3
2 5
5 2
10
2 27.
3. 32 2 .3

 
16/
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
P
a b a a b b
− − − − −
 




− −



= +








 

= + +
 

 
 

 

 


 
 
 
 
   
 
 
18/
( ) ( )
1
2
2
1
1
2
1
2 1

x
=
2/
1
5 2 8
.
2 5 125
x +
 



=





 
3/
1 3
1
8
32
x−
=

4/
( )
2

 
 
 
   
6/
2
5 6
3
1
2
x x− +
 



=





 

7/
2 8
1 0,25
.32
0,125
8
x

 
 
 
 
   

10/
5 .2 0, 001
x x
=
11/
(
)
(
)
1
12 3
6
x x
=
12/
1 1
1
7 .4
28
x x
− −
=
2
7 . 49
x
+
5/
2
1 1
9
3 27
x +
 



<





 
6/
1
3
9 3
x
<

7/
(
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 5 -
Bài 10
. Giải các phương trình sau:

1/
2
2 2 20
x x +
+ =
2/
1
3 3 12
x x +
+ =
3/
1
5 5 30
x x −
+ =


+ − =

Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 6 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
Bài 2: LOGARIT

  
1. Kiến thức cơ bản

a/ Định nghĩa
 Với
0, 1, 0
a a b
> ≠ >
ta có:
log
a
b a b
α
α

b b
=b/ Tính chất

Cho
0, 1
a a
> ≠
và
, 0
b c
>
. Khi đó:
Nếu
1
a
>
thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ >
Nếu
0 1
a
< <
thì
log log


Cho
0, 1
a a
> ≠
và
, 0
b c
>
. Ta có:


(
)
log . log log
a a a
b c b c
= +


log log log
a a a
b
b c
c
 



= −

, 1
a b
≠
. Ta có:

log
log log . log log
log
a
b a b a
a
c
c b c c
b
= ⇒ =


1
log
log
a
b
b
a
=
,
ln
log
ln
a

log log
ab
a b
c
c c
=
+
log log
c a
b b
a c
=2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
1/
2 1
4
log 4. log 2
A
=
2/
5 27
1
log . log 9

3 4
1
3
7
1
log .log
log
a a
a
a a
G
a
=
8/
3 8 6
log 6.log 9. log 2
H
=
9/
3 81
2 log 2 4 log 5
9
I
+
=

Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn

9 4
M
= +
14/
9 2 125
1 log 4 2 log 3 log 27
3 4 5
N
+ −
= + +

15/
(
)
(
)
(
)
0 0 0
lg tan1 lg tan2 lg tan89
P = + + +
16/
(
)
(
)
8 4 2 2 3 4
log log log 16 .log log log 64
Q
   

log 16
theo
a
.
2/ Cho
2
log 14
a
=
. Tính
49 7
log 32
và
49
log 32
theo
a
.
3/ Cho

2 2
log 5 ; log 3
a b
= =
. Tính
3
log 135
theo
,
a b

1
lg 9000; lg 0,000027 ;
log 100
.
7/ Cho
log 5
a
b =
. Tính
log
ab
b
a

8/ Cho
7
log 2
a
=
. Tính
1
2
log 28
theo
a
.
9/ Cho
log 13
a
b =

theo
,
a b
.
12/ Cho
30 30
log 3 ;log 5
a b
= =
. Tính
30
log 1350
theo
,
a b
.
13/ Cho
14 14
log 7 ; log 5
a b
= =
. Tính
35
log 28
theo
,
a b
.
14/ Cho
2 3 7

theo
, ,
a b c
.
17/ Cho

49 2
log 11 ; log 7
a b
= =
. Tính
3
7
121
log
8
theo
,
a b
.
Bài 3. Cho
0, 1
a a
> ≠
. Chứng minh rằng:
(
)
( )
(
)

a
a a a
A a a
a
+ + +
+ +
+ + +
= = + ≤
+( )
(
)
( )
(
)
2
1 1
log 2 log 1
1
2 2
a a
a a a
+ +
 
+ +
 
 
= < = ⇒

log 0, 34
3/
3
4
2
log
5
và
5
2
3
log
4

4/
1
3
1
log
80
và
1
2
1
log
15 2
+
5/
13
log 150

10
log 11

HD: 4/ CM:
1 1
3 2
1 1
log 4 log
80
15 2
< <
+

5/ CM:
13 17
log 150 2 log 290
< <

7/ Xét
7 7 7
7 11
7
log 10.log 11 log 13
log 10 log 13
log 11
A
−
= − =

2/
( )
log log
log
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+

3/
log .log
log log
log
a b
a b
ab
c c
c c
c
+ =

4/
log

2
a a a a
x y x y
+ − = +
với
2 2
4 12
x y xy
+ =

7/
( )
a
3 1
lg lg lg
4 2
b
a b
+
= +
, với
2 2
9 10
a b ab
+ =

8/
( ) ( ) ( ) ( )
log log 2 log .log
b c c b c b c b

abc
N N N
N N N N N N
N
+ + =

11/
1
1 lg
10
z
x
−
=
với
1
1 lg
10
x
y
−
=
và
1
1 lg
10
y
z
−
=

a b c
lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 10 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

  
1. Kiến thức cơ bản

1.1/ Khái niệm
a/ Hàm số lũy thừa
y x
α
=
(
α
là hằng số) Số mũ α

n
=
)
n
y x
=

{
}
\ 0
D
=
ℝα
là số thực không nguyên
y x
α
=

(
)
0,D
= +∞

Lưu ý: Hàm số
1
n
y x

= +∞ Tính đơn điệu  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Dạng đồ thị:
c/ Hàm số logarit
(
)

log , 0, 1
a
y x a a
= > ≠

 Tập xác định:
(
)
0,D

< <
: hàm số nghịch biến.
1
a
>

x

y

x

y

1
1
x
y a
=

x
y a
=

O O

0 1
a
< <


x

y0 1
a
< <

O
1
Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 11 -

1.2/ Giới hạn đặc biệt
( )
1
0
1
lim 1 lim 1



0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=1.3/ Đạo hàm

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp

(
)
(
)

'
1
. , 0
x x x
α α
α
−



(
)
'
x x
e e
=

(
)
'
. '
u u
e e u
⇒ =


(
)
'
1
log
ln
a
x
x a
=

(

Lu
Lu Lu
Lu ý
ýý
ý:

(
)
'
1
1
.
n
n
n
x
n x
−
=

(
)
'
1
'
.
n
n
n
u

1
1
lim 1
x
x
x
x
+
→+∞
 



+





 
3/
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
−







+
 
5/
1
lim
2 1
x
x
x
x
→+∞
 
+








−
 
6/

8/
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
→
−
9/
1
lim
1
x
x
e e
x
→
−
−

10/
0
lim
sin
x x
x




 

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1/
2
4 3 1
y x x
= − −
2/
(
)
1
2
4
4
y x x= + −
3/
(
)
3
2
3 2
y x x= − +

4/
3

4
1
1
x
y
x
+
=
−
9/
2
5
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+

10/
(
)
3
sin 2 1
y x
= +
11/

lẻ.
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 12 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
13/
3
3
sin
4
x
y
+
=
14/
11
5
9
9 6
y x
= +
15/

= +
3/
2
sin
x
y e x
−
=

4/
2
2
x x
y e
+
=
5/
1
3
x x
y xe
−
=
6/
2
2
x x
x x
e e
y

(
)
2
ln 2 3
y x x= + +
2/
(
)
2
log cos
y x
=
3/
(
)
.ln cos
x
y e x
=

4/
(
)
(
)
2
2 1 ln 3
y x x x
= − +
5/

ln 2 1
1
x
y
x
+
=
+
9/
(
)
2
ln 1
y x x
= + +Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1/
(
)

2
2
2
. ; ' 1
x
y x e xy x y
−
= = −

y e x y y y
−
= + + =
6/
(
)

4
cos ; 4 0
x
y e x y y
−
= + =

7/

sin
; ' cos sin '' 0
x
y e y x y x y
= − − =
8/

2
sin 5 ; '' 4 29 0
x
y e x y y y
= − + =

9/

= + =





+
 
2/
( )

1
; ' ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= = −
+ +

3/
(
)
(
)

2
sin ln cos ln ; ' '' 0
y x x y xy x y
= + + + =
4/

)

2 2
2
2
1 2010 ; ' 1
1
x x
xy
y x e y e x
x
= + + = + +
+Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra:
1/
(
)

2
'( ) 2 ( ) ; ( ) 3 1
x
f x f x f x e x x
= = + +
2/

3
1
'( ) ( ) 0 ; ( ) ln

+
< = = +Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1/
4
y x
−
=
2/
1
4
y x
=
3/
1
2
y x
−
=
4/
5
y x
=

Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn

2
log
y x
=
10/
1
2
log
y x
=
11/
(
)
ln 1
y x
= +
12/
(
)
ln 1 3
y x
= −

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

  
1. Cơ sở lý thuyết

1.1/ Phương trình mũ cơ bản



Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)

3
0,04 625. 5 1
x
=

1
3 4 4 4
2
5
2 1 9
2 2 . 2 2 2 4 4
2 8
2
x
x
x x
−
−
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =

3/ Giải phương trình:
(
)
2 2
1
8 8 5
2 .5 0, 001. 10
x
x x
−
− −
=

(

thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =

 Trường hợp cơ số
a
có chứa ẩn thì:

( )( )
1
1 0
M N
a
a a a M N
M N

=

= ⇔ − − = ⇔

=



 Logarit hóa:
(
)

2

3/
(
)
2 2
1
8 8 5
2 .5 0, 001. 10
x
x x
−
− −
=

(
)
3
4/
3
2 1 3 3
3 .15 .5 9
x x x− −
=

(
)
4

5/

4/ Giải phương trình:
3
2 1 3 3
3 .15 .5 9
x x x− −
=

(
)
4

( )
( )
2 2
2 1 3 3 3 5 1
3 3
2 1
4 3 .3 . 5 .5 3 3 3 5 1
3 3
x x x x x
x x
− − −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

5/ Giải phương trình:
5.3 3.2 7.2 4.3
x x x x
+ = −

(


(
)
6

( )
( ) ( )
2 0
2 2 2 3
5 5
6 5 5 5 1 3 3 3 1 1 2
3 3
x
x x
x
−
− −
   
 
 
 
⇔ + + = + + ⇔ = = ⇔ =
 
 
 
 
 
   
x
 









 
 



⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =





 

2/ Giải phương trình:
(
)
3
1 1
x

2 2
x x
x x
− −
+ = +

(
)
3

Điều kiện:
0 2 1 2 1
1
1 0 1
x x
x
x x
 
 
< + ≠ − < ≠ −
 
⇔ ⇔ ≥
 
 
− ≥ ≥
 
 

( ) ( ) ( )
(

 

 

 
 

− = −





− = −




2
3
3
2
5
7 10 0
5
x
x




4/ Giải phương trình:
(
)
(
)
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
− + +
+ = +

(
)
4

( )
( )
( )
(
)

2
2 2
2

3 2
x x
−
=

(
)
2

3/
(
)
(
)
1 3
2 2
x x
x x
− −
+ = +

(
)
3
4/
(
)
(
)
2

2
1;4
1;4
5 4 4 0
0; 6
;1 4;;1 4;
0; 6
5 4 4 0
x
x
x x x VN
x x
xx
x x
x x x






∈
∈












= =
− + − − =










(
)
(
)

2
2
1 3 5.3 6 0 3 5.3 6 0 1'
x
x x x
⇔ − + = ⇔ − + =

Đặt
3 0
x
t
= >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)2
2
1' 5 6 0
3
t N

+ − =

(
)
2

(
)
(
)
(
)

2
2
2 2.2 15.2 8 0 2. 2 15.2 8 0 2'
x x x x
⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt
2 0
x
t
= >
. Khi đó:
( )
( )
(
)


f x
f x
t a t
P a
P t


= >


= ⇔


=




 Dạng 2:
(
)
( )
2 ( ) 2 ( )
. . 0
f x
f x f x
a ab bα β λ
+ . + =

⇒

a b
=
. Đặt
( ) ( )
1
f x f x
t a b
t
= ⇒ =
.
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn)
1/
9 5.3 6 0
x x
− + =

(
)
1
2/
1 2
2 15.2 8 0
x x
+
+ − =

(
)
2


1
5 25 6
x x−
+ =

(
)
6

7/
3 3 3 3 4 4 3
3 3 3 3 10
x x x x+ − + −
+ + + =

(
)
7
8/
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =

(
)
8

- 16 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
Với
2
1 1 1
2 log 1
2 2 2
x
t x x
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = −3/ Giải phương trình:
1 2
5 5 124
x x+ −
− =

(
)
3

( ) ( )

25
3 5.5 124 0 3'
5


= −



Với
5
25 5 25 log 25 2
x
t x
= ⇒ = ⇔ = =4/ Giải phương trình:
1
5 5 4 0
x x−
− + =

(
)
4

Điều kiện:
0
x
≥

( ) ( )


=

⇔ − + = ⇔ + − = ⇔

= −



Với
0
1 5 1 5 5 0 0
x x
t x x
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

5/ Giải phương trình:
2 2 2
3 2.3 27 0
x x− −
− − =

(
)
5

(
)
( )
(
)

5 ' 6 27 0
9
t L
t t
t N

= −

⇔ − − = ⇔

=



Với
1 1 2
9 3 9 3 3 1 2 1
x x
t x x
− −
= ⇒ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

6/ Giải phương trình:
(
)

1
5 25 6 6
x x−
+ =

3 2
2
5
25 1 21
6 ' 6 0 6 25 0 5 5 0
2
1 21
2
t N
t t t t t t t N
t
t L


=


+

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ =



−

=


7/ Giải phương trình:
3 3 3 3 4 4 3
3 3 3 3 10
x x x x+ − + −
+ + + =

(
)
7

Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 17 -
( ) ( )

3 3 3 3
3 3
27 81 1 1
7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7 '
3 3 3 3
x x x x
x x x x
   
 




⇒ = + = + + + ⇔ + = −





 

Khi đó:
( )
( )
( )

3
3 3 3
10 10
7 ' 27 3 81 10 2
27 3
t t t t t N
⇔ − + = ⇔ = ⇔ = >

Với
( )

10 1 10
3 7 ''
3 3



⇔ + = ⇔ − + = ⇔

=



Với
3 3 3 1
x
y x
= ⇒ = ⇔ =

Với
1 1
3 1
3 3
x
y x
= ⇒ = ⇔ = −

8/ Giải phương trình:
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =

2 3 0
x
t
= + >
. Khi đó:
( )
(
)
(
)2
2
8 ' 6 0
3
t N
t t
t L

=

⇔ + − = ⇔

= −



Với
(

x x x
x
−
⇔ + = ⇔ + − =

Đặt
(
)

2
cos
9 , 1 9
x
t t
= ≤ ≤
. Khi đó:
( )
2
9
9 ' 6 0 6 9 0 3
t t t t
t
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ =

Với
( )

2 2
cos 2 cos 1 2
3 9 3 3 3 2 cos 1 0 cos 2 0 ,

≤ ≤


=



. Khi đó:
2 2 2 2
sin cos sin cos
6
. 9 .9 9 9
x x x x
u v
u v
+


+ =




= = =




Theo định lí Viét, thì
,

x x x
k
x k
π π
⇔ = = ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ

Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy).
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2 2
sin cos sin cos
9 9 2 9 .9 2. 9 6
Côsi
x x x x
+ ≥ = =

Dấu “=” xảy ra khi:
( )

2 2
sin cos 2 2
9 9 sin cos cos2 0 ,
4 2
x x
k
x x x x k
π π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
ℤ


4
4
x
x x
x
− + −
⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt
(
)

2
2 cos
4 , : 1 16
x
t ÐK t= ≤ ≤
.
Khi đó:
( )
(
)
(
)2
18
9
10' 5 0 20 36 0

ℤ Bài giải tham khảo

1/ Giải phương trình:
25 15 2.9
x x x
+ =

(
)
1

( ) ( )

2
15 9 3 3
1 1 2. 2. 1 0 1'
5 5
25 25
x x
x x
x x




 
. Khi đó:
( )
(
)
( )2
1
1' 2 1 0
1
2
t N
t t
t L

=


⇔ − − = ⇔

= −


. Với
3

2 9.9 13.6 4.4 0 9. 13. 4 0 9. 13. 4 0 2'
4 4 2 2
x x x x
x x x
 
       
 
   
   
   
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + =
   
 
   
   
   
   
       
 
 

Đặt:
3
0
2
x
t
 






Với
3
1 1 0
2
x
t x
 



= ⇒ = ⇔ =





 

Với
4 3 4
2
9 2 9
x
t x
 



   
   
   
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − =
   
 
   
   
   
   
       
 
 

Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)
1/
25 15 2.9
x x x
+ =

(
)
1
2/
1 1
9 13.6 4 0
x x x+ +
− + =

(

www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
Đặt:
7
0
5
x
t
 



= >





 
. Khi đó:
( )
(
)
(
)2




 

4/ Giải phương trình:
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =

(
)
4

Điều kiện:
0
x
≠

( ) ( )

2
1 1 1
4 6 2 2
4 2. 1 0 2. 1 0 4 '
9 9 3 3
x
x x x
 




 
. Khi đó:
( )
(
)
( )2
1
4 ' 2 1 0
1
2
t L
t t
t N

= −


⇔ + − = ⇔

=



Với

(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =

(
)
1

Nhận xét:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 . 2 3 1 2 3 . 2 3 1 1 2 3 . 2 3 1
x
x x
x
 

)2
2 3 0
1
1 4 4 1 0
2 3 0
t N
t t t
t
t N

= + >

⇔ + = ⇔ − + = ⇔


= − >


Với
(
)
2 3 2 3 2 3 1
x
t x
= + ⇒ + = + ⇔ =

Với

)
( )

3 3
2 5 2 6 5 2 6 10 0 2'
x x
⇔ + + − − =

Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3)
1/
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =

(
)
1
2/
3 3
5 2 6 5 2 6 10
x x
   
 
 
+ + − =
 

8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =

(
)
4

Phân loi và phng pháp gii toán 12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 21 -
Nhận xét:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3
3
5 2 6 . 5 2 6 1 5 2 6 . 5 2 6 1 1
x

5 2 6 0
t N
t t t
t
t N

= + >

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔


= − >


Với
(
)
3
5 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3
3
x
x
t x
= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ =

Với
(
)
3
5 2 6 5 2 6 5 2 6 1 3

(
)
(
)
(
)
4
5 21 . 5 21 4 5 21 . 5 21 4 5 21
5 21
x
x x x
x
x
+ − = ⇔ + − = ⇔ − =
+

Đặt:
(
)
(
)
4
5 21 0 5 21 0
x
x x
t
t
= + > ⇒ − = >

( )

+

= = >

∆ = − = = ⇒


= >




Với
( )
2
2 5 21 2 1 0
5 21
x
x
x x
t x
 



= ⇒ + = ⇔ = ⇔ =







= ⇒ + = ⇔ = ⇔ =





 
+

4/ Giải phương trình:
(
)
(
)
sin sin
8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =

(
)
4

Nhận xét:
(
)
(
)

(
)2
8 3 7 0
1
4 16 16 1 0
8 3 7 0
t N
t t t
t
t N

= + >

⇔ + = ⇔ − + = ⇔


= − >


Với
(
)
( )

sin
8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin 1 2 ,
2

- 22 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit


ℝ
và
(
)
5 2
g x x
= −
đồng biến trên
ℝ
.
⇒
Phương trình
(
)
1
có một nghiệm duy nhất là
1
x
=
.
2/ Giải phương trình:
4 3 5
x x x
+ =

(
)
2

Ta có:

y f x
   
 
 
 
= = +
 
 
 
 
 
   
,
x
∀ ∈
ℝ

( ) ( )
4 4 3 3
' ' .ln .ln 0,
5 5 5 5
x x
y f x x y f x
   
 
 
 
= = + < ∀ ∈ ⇒ =
 
 

(
)
2 2 1 2 '
x f x f
< ⇔ > = ⇒
: vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là:
2
x
=

3/ Giải phương trình:
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +

(
)
3

(
)
2 1 2 2 1 1 2
3 2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
⇔ + + = + +
2

Ệ
U
CỦ
A
HÀ
M S
Ố

Xét phương trình:
(
)

( ) ( ) 1
f x g x
=

 Đoán nhận
o
x
là một nghiệm của phương trình
(
)
1
(thông thường là những số lân cận số 0).
 Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của
( )
f x
và
( )
g x

)

, 0
y ax b a
= + ≠

+ Đồng biến khi:
0
a
>

+ Nghịch biến khi :
0
a
<

 Hàm số mũ:
x
y a
=

+ Đồng biến khi:
1
a
>

+ Nghịch biến khi:
0 1
a
< <
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
www.mathvn.com
- 23 -
Xét hàm số:
(
)
2 2.3 10.5 ,
t t t
f t t
= + + ∀ ∈
ℝ

Ta có:
(
)
(
)
' 2 .ln 2 2.3 .ln 3 10.5 .ln 5 0
t t t
f t f t
= + + > ⇒
đồng biến trên
ℝ
.
Phương trình
(
)
3'

⇔ + = + ⇔ + = +
dạng
(
)
(
)
v
f u f
=

Xét hàm số
(
)
2 3 ,
t t
f t t
= + ∀ ∈
ℝ

Ta có:
(
)
(
)
' 2 .ln 2 3 .ln 3 0,
t t
f t t y f x
= + > ∀ ∈ ⇒ =
ℝ
đồng biến trên

Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)
4 .9 5 .3 1 0
x x
x x
+ − + + =

(
)
1

Đặt:
3 0
x
t
= >
. Khi đó:
(
)
(
)
(
)
2
1 4 . 5 . 1 0
x t x t

∆ = + − + = + + = + ⇒

+ − −

= =

+
+



Với
1 3 1 0
x
t x
= ⇒ = ⇔ =

Với
( ) ( )

4 0
4
1
0
1
3 . 4 1 1'
4
3
4
x


Phương trình
(
)
1'
có một nghiệm là
1
x
= −
.
Xét hàm số:
(
)
(
)
(
)
3 . 4 , 4;
x
f x x x
= + ∀ ∈ − +∞

Ta có:
(
)
(
)
(
)
(

)
1'

Vậy phương trình
(
)
1
có hai nghiệm là

0; 1
x x
= = −

2/ Giải phương trình:
(
)
2 2
2 2
4 7 .2 12 4 0
x x
x x
+ − + − =

(
)
2

Đặt:
2
2 0

x x
+ − + − =

Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com
www.MATHVN.comwww.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Phân loi và phng pháp gii toán 12
- 24 -
www.mathvn.com
www.mathvn.comwww.mathvn.com
www.mathvn.com
Chng II. Hàm s m  Hàm s ly tha  Hàm s Logarit
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
7 1
4
2
7 4 12 4 2 1 1
7 1
3
2
x x
t


2
2
2
2
2
2
3 0
3; 3
3 0
2 3
2 3 2 '
x
x
x
x
t x
x
x




− >
∈ −


 
= − > ⇔ ⇔
 

.
Cho
( )
(
)

2 2
2 0
' 0
2 .ln 2 2 0 : 2 .ln 2 2 0,
x x
x
f x
VN do x

=

= ⇔

+ = + > ∀ ∈


ℝ
0
x
⇔ =

Bảng biến thiên:

x
1 Với
(
)
3;0
x
∈ −
(
)
' 0
f x
⇒ <
:
(
)
f x
nghịch biến.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2' :
x f x f

(
)
0; ' 0 :
x f x
∈ +∞ ⇒ >

(
)
f x
đồng biến.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2 ' :
x f x f
< ⇔ < = ⇒
vô nghiệm.
Nếu
(
)
(
)
(
)
1 1 3 2 ' :
x f x f

ĐƯA V
Ề
PHƯƠNG
TRÌ
NH
TÍ
CH
,
T
Ổ
NG HAI S
Ố
KHÔNG ÂM
VÀ
NGHI
Ệ
M PHƯƠNG
TRÌ
NH B
Ậ
C 2

 Phương trình tích:
0




 Phương pháp đối lập: Xét phương trình:
(
)

( ) ( ) 1
f x g x
=

Nếu ta chứng minh được
( )
( )
f x M
g x M


≥



≤


thì
( )
( )
1
( )
Bài giải tham khảo1/ Giải phương trình:
25.2 10 5 25
x x x
− + =

(
)
1

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1 25.2 25 2 .5 5 0 25 2 1 5 2 1 0 2 1 25 5 0
2 1 0 2 1 0
2
25 5 0 5 25
x x x x x x x x x

(
)
(
)
(
)
( )( )3
2 12.3 3.3 .5 5.5 20 0 3.3 4 5 5 5 4 0
5 4 0 : 5 4 0,
5 5
5 4 3.3 5 0 3 log
3.3 5 0
3 3
x x x x x x x
x x
x x x
x
VN do x
x
⇔ + − − = ⇔ + − + =

+ = + > ∀ ∈

⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

− =


)
2
1 2 3 1 4.3 . 6.3 1 0
x x
x x
⇔ − − − + =

(
)
(
)
(
)
2
9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1
x x x x x x
∆ = − + − − + = − + = −

( )

3 12.3 12.3 1 1
1
4 2
3 12.3 12.3 1
1
1 6.3
3 1'
4
6 6
x x

1
x
= −
là một nghiệm của phương trình
(
)
1'

Hàm số
(
)
3
x
f x
=
đồng biến
x
∀ ∈
ℝ

Hàm số
1
6 6
x
y
= −
nghịch biến
x
∀ ∈
ℝ

25.2 10 5 25
x x x
− + =

(
)
1
2/
1
12.3 3.15 5 20
x x x
+
+ − =

(
)
2

Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc nghiệm của phương trình bậc 2)
1/
(
)
(
)
2 1
2 3 3 1 4.3 1
x x
x x
+
− = − −