Tuyển Chọn Các Bài Toán Hệ Phương Trình Hay Và Khó Phần 1
Câu 1: Giải hệ phương trình:
1
8 5
8 5 1 3 2
xy x y
x
x y x y x
Lời Giải Full HD Không Che
Điều kiện
0, 0,8 5 0, 1 0
x y x y x y
. Ta có:
2 8 5 2 1 3 0
8 1 8 1
0
8 5 2 1 3
8 1
1 1
5 0
1 2 3 8 5
8 1
5
y x
x y
thay vào phương trình 1 của hệ ta có:
2
2
1
5 8 5 5 5 1 3 5 3 1
5 3 1
1 4
1
3
x x x x x x x x x x
x
x x x
x y
x
TH2: Với
8 1y x
Thay vào phương trình 1 ta có:
Lời Giải Full HD Không Che!
2 2
2
2 2
2
1
1 1 1 1 1 , 3
1
y y
PT x x x x y y
y y
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
. Ta dùng máy tính casio thấy phương
trình trên có nghiệm duy nhất
3
x
do vậy ta tiến hành làm như sau:
Ta sẽ cố gắng đưa về dạng
2
3 0
x
. Cụ thể:
Giả sử
2 2
11 21
2 11 21 . 2 0
2 2
a b
x x a x b x x
2
2 11 21 3 2 3 0
x x x x
. Để có được ta tiến hành :
2
3
3
2
2 11 21 3 4 4 3 2.2. 1 2 2 1 3
2 3 0
x x x x x x
x
Đẳng thức xảy ra khi
3
x
. Do đó nghiệm của hệ là
; 3; 3
x y
.
Câu 3: Giải Hệ Phương Trình
2
5
1
4
1 1
2 1
2
x x y
x y
y
Với hình thức này thì có lẽ đặt ẩn phụ là cách tốt nhất
Đặt
2 2
1, 0
t x x u y
vậy lượng
2
2 1
x
Tới đây dễ rồi: Đặt
,
a t u b tu
Giải ra được
3
; ; 1
4
x y
Câu 4: Giải Hệ Phương Trình
3
4 4
7
2 2
x y x y
x y b a
Ki đó PT2
2 2 2 2 3 3
7 1 0 1
ab a b b a ab a b a b a a b b
Với
1b
ta có hệ mới
3
3
3
7 1
7
2
1
7 1
2
x
x y
x y
y
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện
0, 0
x x y
. Từ phương trình 1 ta có:
x y x y x y x y x x
.
Xét hàm số
2
f t t t
trên
0 :
' 2 1 0
f t t
nên suy ra
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 4;2
x y
Câu 6: Giải Hệ Phương Trình
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
xy y x
x y
x
x y
2 2
2
3
3 7
1
3
x y x y
x y
x y x y
x y
Đặt
1
, , 2
a
x
x y
a x y
b
x y
b x y
y
x y
a Loai
x y xy y x x
xy y x x xy y x x x
Lời Giải Full HD Không Che!
Điều kiện
0
y x
Ta có:
Nhận thấy
0
x y
không là nghiệm của hệ nên ta xét TH
0
y x
:
y x
x xy
y x x
xy y x x xy x
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
4
4
2 2
1 1
2 4 . .2 . 4 2 4
3 2 4 0
x x y x x x y x
y x x y x x
x xy
Do đó phương
trình to đùng trong ngoặc vô nghiệm!
Với
2y x
thay vào PT1 ta có:
2 4
2 2 .2 2 1 1 1x x x x x x x x x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
0, 1, 1, 0
x x y y
Ta có
Pt1
2
2 2
2 2
2
2
4 3 4 1 0 2 4 3 4 . 1 0
1 2 2 2 2 1 2 . 1 0
1 2 1 0, 3
x y y x y x xy y y x y
x y xy y x y x y x
x y y x
Vì
2
2 2
2
2
2 3
4 1 1 1 1 1 4 4
3( )
1 4 4 3 0
0( )
y y y y y y y y
y Nhan
y y y y y y
y Loai
Sở dĩ dám bình phương ra bậc 4 là vì ta dùng casio thấy có nghiệm đẹp!
Vậy hệ có nghiệm
; 4;3
x y
Câu 9: Giải hệ
7
0 3 10 7 0 1
3
x
y y y
Làm tương tự như trên ta có:
10
2
3
x
Phương trình 1 của hệ
1 1 7
2 2
2
x y
x y
Xét hàm số
1 2 1 2
3 21
f y f y
y y
Suy ra
1 1 7
2 2
2
x y
x y
Đẳng thức xảy ra khi
2, 1x y
thay ngược
vào PT2 Thấy không thỏa nên kết luận hệ vô nghiệm!
Câu 10: Giải Hệ Phương Trình
. Ta sẽ đánh giá VT
12
vì VP
12
.
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schawrz ( Bunhia ) ta có:
2 2
2 2
4 4
4 4
32 1 1 32 8
32 1 1 32 2.8 4
32 32 12
x x x x
x x x x
x x x x
Đẳng thức xảy ra khi
16, 3
x y
5
y
( Vô Lý )
Xét
0
x
, ta chia hai vế của từng phương trình cho
2
0
x
ta được:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 6 1 1
6 12 6 12 0
, 1
1 5 1 1
5 11 5 11 0
x x y y x x y y
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
6 2 12 0
6 0
, 3
5 1 0
5 2 11 0
t ty y
t ty y
t t y
t t y
Xét
0t
, 4
1 1
1
5 0 5
2 5
y
y y y y
y
t t
t t t t
y
y y
y
t t
t t
3
4
2
2
2 5
5 12 0
a
ab
a
b
b
a b
a a
.
Với
2
1 1
1 1 1 0 1 5
2
t x x x x
x
.
Với
.
Lời Giải Full HD Không Che
Ở phương trình hai đã thể hiện rõ sự đối xứng hai biến
,x y
cho nên có thể
dự đoán con hệ này giải bằng phương pháp đánh giá và giá trị đó
1x y
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho phương trình thứ hai của hệ:
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 6 3 6 2 3 6 . 3 6
2 9 18 36 2 9 36 36 6
x x xy y y xy xy x xy y xy
xy x y xy x y x y xy xy xy xy xy
Suy ra được
1xy
.
2 2
2
x y
. Mặt khác từ phương
trình 1 ta có:
4 4
4 2 4 2 4 1xy x y xy xy xy xy
.
2
.
Từ
1 , 2
suy ra
1xy
. Các bất đẳng thức xảy ra khi
1x y
.
Câu 13: Giải Hệ Phương Trình
2
6 3 3 8 3 9
8 24 417 3 1 3 17
x y xy y y x y
x x y y y y
Khi đó ta có:
2 2 2 2 2
3 2 3 2
2
2 2 2
0,( )
1 6 8 3
6 8 3
15
2 4 0 2 0 2
2 4
b Loai
PT a b ab b b a
a ab b a b
b
a b a ab b a b a b a b
y y
. Bây giờ ta sẽ chứng minh
* 20
VP
.
Mặt khác
3 1 3 17 3 17 20
y y y y
( Do
1y
). Đẳng thức xảy ra
khi
1 1y x
. Vậy
; 1;1
x y
là nghiệm của hệ. Câu 14: Giải Hệ Phương Trình
2 2 2
6 3
2
2
6 3
2
2
3 3
1 1
, 1
2 4 2 2
1
2 1, 2
2 2
x xy
y y
x
xy y x y
.
Dễ Thấy :
2 2
x x
y y xy y y xy x y x x y
Vậy hệ đã cho tương đương với
3
2 2
1
1
4 2 1
x y
x y
x y
xy
x x x
.
Vậy nghiệm của hệ là
; 1; 1
2 2 3 2
2 2
2 3 2 2
1 3 6 3 5 3 5 0, 3
3 6 4 3 5 3 5 3 4 0
y
PT y x x y x x x
x x x x x x x
Do đó phương trình 3 có nghiệm
2
3 5
1
y x
y x
.
Với
3 5y x
thay vào phương trình 2 ta có:
2
4
4 4
2
4 2 2
5
3 3 2 1.1.1. 2
4
4 12 7 0 1 2 7 0 1
x
x x x x
x x x x x x x
Với
1 0
x y
. Vậy nghiệm của hệ là
; 0;1
x y
.
Câu 16: Giải Hệ Phương Trình
Đã gọi là hệ phương trình thì giữa hai phương trình sẽ có ít nhất một điểm
tương đồng! Tất nhiên ta không khai thác được gì từ phương trình 1.
nhưng quan sát thấy ngay điểm chung ở cả hai phương trình là đại lượng
1x
. Cụ thể phương trình 1 xuất hiện hai lần! phương trình 2 xuất hiện
đến 3 lần!. Chắc chắn sẽ phải liên quan đến thằng
1x
. Chuyển sang
phương trình 2!. Hai biến
,x y
rời rạc cho nên khả năng cao là hàm!.
Ta tìm điều kiện cho các biến trước!
1x
. Còn y thì sao nhỉ??
2
2
2
2 2 4 1
1
2 0 0
1
1 1 1
y
PT y
y x
x x
1
1 1 1
1 1 1
2 2 4 1 1, *
1 1
1
y
PT
y x
x x
y y y
x x
x
Xét hàm
2
1, 0;f t t t t t
.
2
2
2
ta có:
2
2
2 2
1
2 1 2 0 1 2 0
1
1
1 0
1 1
2
1
2
2 0
y x x x x
x
x
x
x
x
x
x
Câu 17: Giải Hệ Phương Trình
2 6
4 4 2 2
4 4 2 2
8 6 0, 1
2, 2
x y x
x y x y x y
y x y x y x
.
Lời Giải Full HD Không Che!
Ở phương trình số 2 chúng ta dễ dàng nhận thấy điều đặc biệt là sự có
mặt của đại lượng
n
x y
3 2
' 4 10 1, '' 12 10 0, ; 2 2;f t t t f t t t
.
Suy ra hàm số
f t
đồng biến trên mỗi khoảng
;2
và
2;
.
Do đó với
2 ' ' 2 0
t f t f
và với
2 ' ' 2 0
t f t f
.
thì
*
vô nghiệm.
. Với
0
x
ta xét hàm số
6 2
8 6
f x x x x
5
' 6 2 8, '' 30 2 0, 0;f x x x f x x x
.
Suy ra
'f x
đồng biến trong khoảng
0;
và
' 1 0
To be Continue
Copyright: Tài liệu đại học ©