Các chuyên đề
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 07 - 2015
1
2
4
1 2 4
y =
1
x
y = x
2
y =
8
x
y =
x
2
8
y
x
O
Copyright
c
2015 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.
Nguyễn Minh Hiếu
2
Mục lục

§5. Tích Phân Của Các Hàm Số Thường Gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chuyên đề 6. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chuyên đề 7. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§1. Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§2. Phương Trình Mặt Phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
Nguyễn Minh Hiếu
§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§4. Phương Trình Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§5. Bài Toán Tổng Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chuyên đề 8. Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§1. Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§2. Công Thức Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§3. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§4. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§5. Phương Trình Lượng Giác Khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Chuyên đề 9. Tổ Hợp - Xác Suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§3. Nhị Thức Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chuyên đề 10. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§3. Tam Giác Và Tứ Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§4. Phương Trình Đường Tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§5. Phương Trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2. Sơ đồ Horner.
Khi chia đa thức f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ + a
k
x
n−k
+ + a
n
cho x − c ta được thương h(x) =
b
0
x
n−1
+ b
1
x
n−2
+ + b
k
x
n−k−1
+ + b
n−1

+ a
k
(k  1)
.
3. Định lý về dấu tam thức bậc hai.
Định lý 1.3. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a = 0) có ∆ = b
2
− 4ac.
• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R;
• Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x = −
b
2a
;
• Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x
1
và x
2
(x
1
< x
2
). Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x
nằm trong khoảng (x
1
; x
2
) (tức là với x
1

i+1
).
• Tích thương các nhị thức, tam thức : Lập bảng xét dấu chung cho các nhị thức, tam thức.
5
Nguyễn Minh Hiếu
C. Bài Tập
1.1. Thực hiện chia các đa thức sau :
a) f(x) = x
3
+ 3x
2
− 4x + 5 cho x + 2; b) f(x) = −3x
3
+ 5x
2
− 8x + 6 cho x −1;
c) f(x) = −x
4
− 3x
2
− 5x + 9 cho x −1; d) f(x) = x
4
− 3x
3
+ x + 2 cho x
2
− x + 1.
1.2. Xét dấu các biểu thức sau :
a) f(x) = 1 − 4x;
b) f(x) = x

1.4. Xét dấu các biểu thức sau :
a) f(x) =
(x −1)(3 − 4x)
x + 2
; b) f(x) =
(x −2)(3 − x)
x
2
+ 4x −5
;
c) f(x) =
(x −1)(x
2
+ 4x + 4)
x
2
− 4x −5
;
d) f(x) =
2x + 3
x −1
−
x −6
x + 2
.
§2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.4. Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.
• Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀x
1

(x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) đồng biến trên I;
• Nếu f

(x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) nghịch biến trên I;
• Nếu f

(x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) không đổi trên I.
Lưu ý.
• Nếu f

(x)  0, ∀x ∈ I và f

(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : "Hàm số
y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó".
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định D
f
.
• Tính y

và chỉ ra y

2
+ 3x; f) y = x
4
− 6x
2
+ 8x + 1;
g) y =
x + 2
x + 1
;
h) y =
x
2
− 2x + 2
x −1
;
i) y =
√
x
2
+ 6x −7.
6
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
1.6. Tìm m để hàm số y = −x
3
+ (m −1)x
2
− (m −1)x + 9 luôn nghịch biến trên R.
1.7. Tìm m để hàm số y = mx
3

được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x
0
sao cho
(a; b) ⊂ D và f (x) < f(x
0
), ∀x ∈ (a; b)\{x
0
}. Khi đó f(x
0
) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f;
• x
0
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x
0
sao cho
(a; b) ⊂ D và f (x) > f(x
0
), ∀x ∈ (a; b)\{x
0
}. Khi đó f(x
0
) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được
gọi chung là cực trị.
Định lý 1.7. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì
f

0
; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x
0
.
Định lý 1.9. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại
x
0
. Khi đó :
• Nếu

f

(x
0
) = 0
f

(x
0
) < 0
thì hàm số đạt cực đại tại x
0
;
• Nếu

f

(x
0
) = 0

; ∆
y

.
• Hàm số có cực trị ⇔ ∆
y

> 0; hàm số không có cực trị ⇔ ∆
y

 0.
3. Điều kiện để hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a = 0) có k cực trị.
• Tính y

= 4ax
3
+ 2bx = 2x

2ax
2
+ b

; y

= 0 ⇔


vào y

để kết luận.
Lưu ý. Nếu y

(x
0
) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y

để kết luận.
7
Nguyễn Minh Hiếu
C. Bài Tập
1.12. Tìm cực trị của các hàm số sau :
a) y = x
3
− 3x + 1; b) y = −2x
3
+ 3x
2
+ 1; c) y = −x
3
+ 3x
2
− 3x + 1;
d) y = x
3
+ 3x
2
+ 4x −2; e) y = x

3
(m −1)x
3
+ (m −2)x
2
− 4x + 1 không có cực trị.
1.15. Tìm m để hàm số y = −x
4
+ 2(2m −1)x
2
+ 3 có đúng một cực trị.
1.16. Tìm m để hàm số y = x
4
+ 2(m
2
− 1)x
2
+ 2 có ba điểm cực trị.
1.17. Tìm m để hàm số y = x
3
− (m −1)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2.
1.18. Tìm m để hàm số y =
1
3
x
3
− mx
2
+ (m
2

.
Lưu ý.
• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].
• Tính y

, y

= 0 ⇒ x
i
∈ [a; b].
• Tính y(a), y(b), y(x
i
); so sánh và kết luận.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
• Tính y

, y

= 0 ⇒ x
i
∈ D.
• Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
C. Bài Tập
1.20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y = −x
3
+ 3x


;
b) y = 2 sin x −
4
3
sin
3
x trên [0; π];
c) y = sin
4
x −4 sin
2
x + 5; d) y = sin
4
x + cos
4
x.
8
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
1.22. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :
a) y = x
3
− 6x
2
+ 1 trên (1; 5);
b) y =
x −1
x + 3
trên [−1; 2);
c) y = x − 5 +

3
mx
3
− (m −1)x
2
+ 3(m −2)x +
1
3
đồng biến trên nửa khoảng [2; +∞).
§5. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.11. Đường thẳng y = y
0
được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x)
nếu lim
x→+∞
f(x) = y
0
hoặc lim
x→−∞
f(x) = y
0
.
Định nghĩa 1.12. Đường thẳng x = x
0
được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)
nếu lim
x→x
+
0

0
thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.
• C1 : Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim
x→±∞
[y −(ax + b)] = 0 ⇒TCX.
• C2 : Tính a = lim
x→±∞
f(x)
x
và b = lim
x→∞
[f(x) − ax] ⇒TCX.
C. Bài Tập
1.26. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau :
a) y =
2x −3
x + 2
; b) y =
3 −4x
x + 1
; c) y =
x + 2
1 −x
;
d) y =
√
x
2
+ x

2
+ m −2
x + 2
có tiệm cận xiên qua A(−1; −3).
1.28. Tìm m để hàm số y =
2x
2
+ (m + 1) x −3
x + m
có giao hai tiệm cận nằm trên (P ) : y = x
2
+ 2x −1.
9
Nguyễn Minh Hiếu
1.29. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =
mx
2
+

1 −m
2

x −1
x −m
bằng 45
0
.
1.30. Tìm m để đồ thị hàm số y =
x
2

0
thì U (x
0
; f(x
0
)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
2. Sơ đồ khảo sát tổng quát.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).
• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).
3. Đồ thị.
• Tương giao với các trục.
• Tính đối xứng (nếu có).
• Điểm đặc biệt (nếu cần).
B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
1. Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0). 2. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a = 0)
O O
y y
x x
U U
O O

c) y =
1
3
x
3
− x
2
− 3x −
5
3
;
d) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1; e) y = x
3
+ x −2; f) y = −2x
3
− x −3.
1.32. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a) y = −x
4
+ 2x
2
− 2; b) y = 2x
4
− 4x
2
+ 1; c) y = x

x + 1
; e) y =
2 −x
x + 1
; f) y =
−x + 2
2x + 1
.
1.34. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a) y =
x
2
+ 2x + 2
x + 1
; b) y =
2x
2
− x + 1
1 −x
;
c) y = x − 1 +
1
x + 1
;
d) y =
x
2
− 2x
x −1
; e) y =

2
− 1.
1.41. (CĐ-2014) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2
√
x +
√
5 −x.
1.42. (A-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x
3
+ 3x
2
− 1.
1.43. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3mx −1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
1.44. (B-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
− 6x.
1.45. (D-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
− 3x
2
+ 1.
1.46. (D-2013) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
2x
2
− 3x + 3
x + 1

11
Nguyễn Minh Hiếu
1.52. (A-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
−x + 1
2x −1
.
1.53. (B-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
− 4x
2
.
1.54. (D-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
2x + 1
x + 1
.
1.55. (D-2011) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
2x
2
+ 3x + 3
x + 1
trên đoạn [0; 2].
1.56. (CĐ-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −
1
3
x
3
+ 2x
2
− 3x + 1.
1.57. (A-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x

2
.
1.64. (CĐ-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 2.
ĐÁP SỐ
[1.6] 1  m  4 [1.7] 6 − 3
√
3  m  6 + 3
√
3 [1.8] 1 < m < 2 [1.9] m > 3 [1.10] m = 1; x  −2
[1.11] m =
9
4
[1.13] m < 4 [1.14] m = 0 [1.15] m 
1
2
[1.16] −1 < m < 1 [1.17] m = 3 [1.18] m = 2
[1.19] m  0 [1.23] M(−1; 1) [1.24] m  10 [1.25] m 
2
3
[1.27] m = −
3
2
[1.28] m = 1; m = −2 [1.29]
m = −1 [1.30] m = −1 ± 2
√
3 [1.36] max

• Tìm các điểm cực trị.
• Chỉ ra điều kiện để cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lưu ý. Nếu phương trình y

có nghiệm phức tạp thì gọi nghiệm là x
1
, x
2
và sử dụng Định lý Vi-ét.
B. Bài Tập
2.1. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3 (m + 1) x
2
+ 9x −m đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa |x
1
− x
2
|  2.
2.2. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3 (m + 1) x
2
+ 3m (m + 2) x + 1 đạt trị tại các điểm có hoành độ dương.
2.3. Tìm m để hàm số y = x
3

m
3
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
2.8. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
− (m + 1)x + 2 có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng qua hai
điểm cực trị tạo với đường thẳng d : y = 2x + 3 một góc 45
0
.
2.9. Tìm m để hàm số y = x
4
− 2m
2
x
2
+ 1 có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông.
2.10. Tìm m để hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ 2m + m
4
có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
2.11. Tìm m để hàm số y =
1
2
x
4

) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
• Hoành độ điểm tiếp xúc của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của hệ phương trình

f(x) = g(x)
f

(x) = g

(x)
.
B. Bài Tập
2.13. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
− 3x −2 và parabol y = x
2
− 4x + 2.
2.14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 8x
2

+ 9(2 −m)x −2 tại ba
điểm phân biệt A(0; −2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng
√
13.
2.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ (3 − m)x + 3 − m cắt đường thẳng y = −14 tại ba điểm
phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn −9.
2.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
−3x
2
+ 3(1 −m)x + 1 + 3m cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành
độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn điều kiện x
1
< 1 < x
2
< x
3
.
2.23. Tìm m để đồ thị hàm số y = (m −1)x
4

2x + 1
x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB vuông tại O.
14
Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x
0
; y
0
) là k = y

(x
0
).
• Phương trình tiếp tuyến tại M (x
0
; y
0
) là y = y

(x
0
) (x − x
0
) + y
0
.

0
) và giải phương trình y
0
= y(x
0
) ⇒ x
0
.
∗ Nếu đề chưa cho x
0
, y
0
thì gọi điểm tiếp xúc là M(x
0
; y
0
) và lập phương trình tiếp tuyến theo x
0
.
2. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.
• Gọi điểm tiếp xúc M(x
0
; y
0
); Tính y

; Giải phương trình y

(x
0

2.32. Cho hàm số y =
x + 2
x −1
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C)
và đường thẳng y = −x + 6.
2.33. Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm
có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2).
2.34. Cho hàm số y = x
3
+ 1 −m (x + 1) có đồ thị (Cm). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm)
tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có
diện tích bằng 8.
2.35. Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
− 9x + 1 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến qua điểm M(−1; 6).
2.36. Cho hàm số y =
x + 2
x −2
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến qua
điểm A(−6; 5).
2.37. Cho hàm số y =
x −1
2(x + 1)

x
x −1
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến và hai
tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
2.44. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba
điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
2.45. Cho hàm số y =
2x + 3
x −2
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị
A. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Dựa vào đồ thị (C) : y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x, m) = 0.
• Đưa phương trình về dạng f(x) = k(m).
• Vẽ đường thẳng y = k(m) bất kỳ song song với trục Ox.
• Số nghiệm phương trình g(x, m) = 0 là số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k(m).
• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.
2. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|).
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy.
• Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy.
3. Vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|.
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x).
• Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox.

+ m −1 = 0.
2.49. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
−4x
2
+3. Tìm m để phương trình
1
2
x
4
−2x
2
+m = 0
có bốn nghiệm phân biệt.
2.50. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x
3
+ 3x
2
− 2. Tìm m để phương trình 2|x|
3
−
3x
2
+ 2 (m + 1) = 0 có đúng bốn nghiệm.
2.51. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
− 3x − 1. Tìm m để phương trình sau có ba
nghiệm phân biệt |x|
3
− 3|x|+ (m − 1)

−4x
2
+3. Tìm m để phương trình


x
4
− 4x
3
+ 3


=
m có đúng tám nghiệm.
2.55. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
− 4. Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình (x + 2)
2
=
m
|x −1|
.
§5. Điểm Thuộc Đồ Thị
2.56. Tìm m để đồ thị hàm số y =
m
2
x −2

m
2
− 4m + 1

x −2

m
2
+ 1

.
2.62. Tìm trên đồ thị hàm số y =
3x + 1
x −2
hai điểm đối xứng nhau qua M (−2; −1).
2.63. Cho hàm số y =
x + 1
x −1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua
đường thẳng d : x + 2y −3 = 0.
2.64. Tìm trên đồ thị hàm số y =
x
x + 1
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
d : 3x + 4y = 0 bằng 1.
2.65. Cho hàm số y =
4x + 1
x + 1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
2.66. Cho hàm số y =

2.71. (B-2014) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
− 3mx + 1 có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác
ABC cân tại A, biết A(2; 3).
2.72. (D-2014) Cho hàm số y = x
3
− 3x − 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.
2.73. (CĐ-2014) Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
− 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x = 1.
2.74. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3mx −1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
2.75. (B-2013) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x
3
−3(m + 1)x
2
+ 6mx có hai điểm cực trị A và B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
2.76. (D-2013) Tìm m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số y = 2x
3
−3mx
2
+ (m − 1)x + 1 tại


3m
2
− 1

x +
2
3
có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho
x
1
x
2
+ 2 (x
1
+ x
2
) = 1.
2.81. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =
2x + 3
x + 1
, biết d vuông góc với đường
thẳng y = x + 2.
2.82. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =
−x + 1
2x −1

(C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2.86. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x
3
−2x
2
+ (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
< 4.
2.87. (B-2010) Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y =
2x + 1
x + 1
tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
√
3, O là gốc tọa độ.
2.88. (D-2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x

x
2
− 2


= m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.
2.92. (B-2009) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =
x
2
− 1
x
tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho AB = 4.
2.93. (D-2009) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x
4
− (3m + 2) x
2
+ 3m tại bốn điểm
phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
2.94. (CĐ-2009) Tìm m để hàm số y = x
3
− (2m −1)x
2
+ (2 −m)x + 2 có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực trị có hoành độ dương.
ĐÁP SỐ
[2.1] −3 < m < −1 −
√
3; −1 +
√

1
2
, m = 0
[2.17] m > −3 [2.18] −2 + 4
√
2 < m < 4 [2.19] m = 4 [2.20]m = 14; m =
14
3
[2.21] 12 < m < 62
[2.22] m > 1 [2.23] 1 < m <
3
2
[2.24] m = 1; m <
1
2
[2.25] m = 12; m = −
12
19
[2.26] m > 5;
m < 1 [2.27] m < 0 [2.28] m = 3 [2.29] m = −
5
3
[2.30] y = 9x − 26 [2.31] y = 4x − 3 [2.32]
y = −3x + 10; y = −
1
3
x + 4 [2.33] m =
5
8
[2.34] 9 ± 4

√
5; y = −x −
√
5 [2.42] y = −6x + 10 [2.43] y = −x; y = −x + 4 [2.44]
m =
9 ±
√
65
8
[2.45] m = −2 [2.47] −2 < m < 0 [2.49] 0 < m < 2 [2.50] −1 < m < −
1
2
[2.51]
m = 1 [2.52] −4 < m < 0 [2.53] m = −1; m = 0; m =
1
2
; m =
3
2
[2.54] 0 < m < 1 [2.56]
m = ±2 [2.58] m = 1 [2.59] M(0; 1); M(2; 3) [2.60] M(0; 1); M (2; 1) [2.61] M(2; 0) [2.62] M(1; −4);
M(−5; 2) [2.63] A (0; −1) , B (2; 3) [2.64] M

1;
1
2

; M

−


; M

−5 ±
√
21
2
;
5 ±
√
21
2

[2.66] M

1 ±
1
4
√
2
; 1 ±
4
√
2 ±
1
4
√
2

[2.67] M(3; 4);

3
< m < 1; m = 0 [2.94]
5
4
< m < 2.
19
Nguyễn Minh Hiếu
20
Chuyên đề 3
Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm
Số Lôgarit
§1. Lũy Thừa
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Các định nghĩa.
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương : a
n
= a.a a
  
n thừa số
(a ∈ R, n ∈ N
∗
).
• Lũy thừa với số mũ 0 : a
0
= 1 (a = 0).
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm : a
−n
=
1
a

2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Cho hai số thực a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có
• a
α
.a
β
= a
α+β
.
•
a
α
a
β
= a
α−β
.
• (a
α
)
β
= a
αβ
.
• (ab)
α
= a
α
.b
α

α
.
B. Bài Tập
3.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau :
a) (0, 04)
−1,5
− (0, 125)
−
2
3
;
b) 27
2
3
+

1
16

−0,75
− 25
0,5
;
c) 81
−0,75
+

1
125


3
√
b + b
1
3
√
a
6
√
a +
6
√
b
;
b)
√
a −
√
b
4
√
a −
4
√
b
−
√
a −
4
√

√
3
− a
√
3
;
d)

a +
b
3
2
a
1
2

2
3

a
1
2
− b
1
2
a
1
2
+
b

400
;
d)
3
√
7 +
√
15 và
√
10 +
3
√
28.
21
Nguyễn Minh Hiếu
§2. Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Định nghĩa. α = log
a
b ⇔ a
α
= b (a, b > 0; a = 1).
2. Tính chất.
• log
a
1 = 0. • log
a
a = 1.
• a
log

a
b −log
a
c.
• log
a
1
b
= −log
a
b.
• log
a
b
α
= αlog
a
b.
• log
a
n
√
b =
1
n
log
a
b.
• log
a

√
3;
b) log
25
8.log
8
5;
c) 3log
2
log
4
16 + log
1
2
2;
d) log 72 −2 log
27
256
+ log
√
108.
3.5. Đơn giản biểu thức :
a) log
a

a
2
.
3
√

√
10
log
2
20 + log
2
8
;
d)
log
2
24 −
1
2
log
2
72
log
3
18 −
1
3
log
3
72
;
e) 16
1+log
4
5

3.6. So sánh các cặp số sau :
a) log
3
6
5
và log
3
5
6
;
b) log
1
2
e và log
1
2
π;
c) log
2
10 và log
5
30; d) log
3
10 và log
8
57.
3.7. Tính log
140
63 theo a, b, c, biết a = log
2

O O
y y
x x
α > 0 α < 0
22
Chuyên đề 3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
2. Hàm số mũ.
• Dạng : y = a
x
(0 < a = 1).
• Tập xác định : D = R.
• Đạo hàm : y

= a
x
ln a.
• Tính chất :
a > 1 : Hàm số luôn đồng biến.
a < 1 : Hàm số luôn nghịch biến.
O O
y y
x x
a > 1 0 < a < 1
1 1
3. Hàm số lôgarit.
• Dạng : y = log
a
x (0 < a = 1).
• Tập xác định : D = (0; +∞).
• Đạo hàm : y

x
)

= e
x
. • (e
u
)

= u

e
u
. • (a
x
)

= a
x
ln a. • (a
u
)

= u

a
u
ln a.
• (ln x)


a) y = (x
2
− 3x + 2)
−4
;
b) y =

2 −x
2

2
7
;
c) y =

x
2
− x −2

√
2
;
d) y = (3x − x
2
)
π
.
3.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) y = log
2

d) y = ln
e
x
1 + e
x
;
e) y =
2 ln x + 1
4 ln x − 5
;
f) y = ln

2e
x
+ ln

x
2
+ 3x + 5

.
3.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y = x − e
2x
trên [0; 1]; b) y = e
2x
− 2e
x
trên [−1; 2];
c) y = (x + 1) e

• Cách giải :
b  0 : Phương trình vô nghiệm.
b > 0 : a
x
= b ⇔ x = log
a
b.
2. Bất phương trình mũ cơ bản.
• Dạng : a
x
> b (0 < a = 1).
• Cách giải :
b  0 : S = R.
b > 0, a > 1 : a
x
> b ⇔ x > log
a
b.
0 < a < 1 : a
x
> b ⇔ x < log
a
b.
Lưu ý. Các dạng a
x
 b; a
x
< b; a
x
 b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

2
−x+8
= 4
1−3x
;
b) 25
x
2
+1
<

1
5

5x
;
c)
1
8
.16
2x−5
 4.

1
32

x+3
;
d)
4

;
c)

3 + 2
√
2

x+1


3 −2
√
2

2x+8
;
d)

√
5 + 2

x−1
=

√
5 −2

x−1
x+1
.

a)

2 +
√
3

x
+

2 −
√
3

x
> 4;
b)


5 + 2
√
6

x
+


5 −2
√
6



x
+ 2 = 0.
3.18. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) 3.4
x
− 2.6
x
= 9
x
;
b) 2.16
x+1
+ 3.81
x+1
 5.36
x+1
;
c) 5.2
x
= 7
√
10
x
− 2.5
x
;
d) 27
x
+ 12

√
9
x
− 3
x+1
+ 2 > 3
x
− 9;
d)
4 −5
x
5
2x
− 5
x+1
+ 6
 1.
3.20. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) 3
x
= 11 −x; b) 2
x
> 6 −x;
c) 2
√
3−x
= −x
2
+ 8x −14;
d) 2

x
.
3.22. Giải các phương trình sau :
a) 4
x
+ (2x −17) .2
x
+ x
2
− 17x + 66 = 0;
b) 9
x
+ 2 (x −2) .3
x
+ 2x −5 = 0;
c) 3
2x
+
√
3
x
+ 7 = 7;
d) 27
x
+ 2 = 3
3
√
3
x+1
− 2.

a) 12 + 6
x
= 4.3
x
+ 3.2
x
;
b) 2
x
2
−5x+6
+ 2
1−x
2
= 2.2
6−5x
+ 1;
c) 4
x
2
+x
+ 2
1−x
2
= 2
(x+1)
2
+ 1;
d) x
2

x > b ⇔ x > a
b
.
0 < a < 1 : log
a
x > b ⇔ 0 < x < a
b
.
Lưu ý. Các dạng log
a
x  b; log
a
x < b; log
a
x  b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.
B. Bài Tập
3.25. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) log
3
(x −2) = 2;
b) log
3
(x
2
+ 2x) = 1;
c) log
1
2
(x
2

2
− 1

= 2;
c)
log
2

3.2
x−1
− 1

x
 1;
d)
x −1
log
3
(9 −3
x
) −3
 1.
3.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) log
2
log
4
(x
2
+ 15x) = 1;

x
2
+ 1 + x

> log
3
log
1
5

√
x
2
+ 1 −x

.
3.28. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) log
3
(5x + 3) = log
3
(7x + 5);
b) log
1
2
(2x
2
− x)  log
1
2

2

x
2
− 1

= log
1
2
(x −1);
d) log
1
2
(x −1) + log
1
2
(x + 1) − log
1
√
2
(7 −x) = 1.
3.30. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) log
√
2
√
x + 1 − log
1
2
(3 −x) − log

x
− 3
= 0;
d) log
2

8 −x
2

+ log
1
2

√
1 + x +
√
1 −x

− 2 = 0.
3.31. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) log
2
2
x −3log
2
x + 2 = 0;
b) log
1
2
x + log


= 3;
b) log
4
(19 −2
x
) log
2
19 −2
x
8
 −1;
c)

log
2
√
2
x + log
2
x
4
− 8 > log
√
2
x
2
4
;
d)


+ x = log
2
[8 (x + 2)]; d) 4 (x −2) [log
2
(x −3) + log
3
(x −2)] = 15 (x + 1).
3.34. Giải các phương trình, bất phương trình sau :
a) x
2
+ 3
log
2
x
= x
log
2
5
; b) x
log
2
9
= x
2
.3
log
2
x
− x