SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI
* * *
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
TĂNG CƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Môn: Toán
Người thực hiện : Vũ Thị Liên
Giáo viên môn Toán
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Năm học : 2011 – 2012

Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Chuyên đề:
" Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác "
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản của chương trình Đại
số và giải tích 11 nói riêng và chương trình Toán phổ thông nói chung. Có nhiều cách
để giải một phương trình lượng giác - một trong những cách thường sử dụng là:
Phương pháp đặt ẩn phụ. Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành,
chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ khi giải các phương trình lượng giác
nên học sinh bước đầu còn khó khăn khi vận dụng. Song một số bài toán lượng giác
giải bằng phương pháp này sẽ đơn giản và tối ưu hơn các phương pháp khác, hơn nữa
trong các đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất hiện các loại toán này. Vì vậy, tôi viết
đề tài này để giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng
phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính cần làm rõ sau:

* Các công thức biến đổi lượng giác.
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
±
± =
m
b) Công thức nhân đôi:
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a ; sin2a = 2sinacosa

2
2tan
tan 2 ,
1 tan 2 4 2
a


[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= + + −[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +

[ ]
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
- Tổng thành tích:

cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =cos cos 2sin sin

- Trường hợp
1a ≤
:
Phương trình có các nghiệm là:
2
( )
2
x k
k Z
x k
α π
π α π
= +

∈

= − +

với
sin a
α
=
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
2 2
sin a
π π
α
α

b) Phương trình
cosx = a
:
- Trường hợp
1a >
: Phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp
1a ≤
:
Phương trình có các nghiệm là:
2x k
α π
= ± +

( )k Z∈
với
c a
α
=os
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
0
c a
α π
α
≤ ≤


=

tan a
α
=
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
2 2
tan a
π π
α
α

− < <



=

thì ta viết
arctana
α
=
. Khi
đó, phương trình có các nghiệm là:
x k
π
= +arctana

( )k Z∈
d) Phương trình


=

thì ta viết
arccota
α
=
. Khi đó,
phương trình có các nghiệm là:
x k
π
= +arccota

( )k Z∈
2. Cơ sở thực tiễn.
Phần lý thuyết về cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn
phụ trong sách giáo khoa hiện hành được viết lồng vào cách giải của một phương trình
lượng giác cụ thể nên chưa được tách biệt rõ. Các kiến thức có liên quan về phương
pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được trình bày khá đơn giản, hệ thống
ví dụ chưa phong phú. Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải
phương trình lượng giác các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng còn gặp
nhiều khó khăn. Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít và không đa dạng nên gây khó
khăn cho học sinh khi ôn tập về dạng toán này đặc biệt là ôn thi Đại học – Cao đẳng.
Qua khảo sát thực tiễn đối với 40 học sinh lớp 11, kết quả đạt được như sau:
Kết quả Số học sinh Tỷ lệ
Điểm giỏi 1 2,5%
Điểm khá 5 12,5%
Điểm trung bình 13 32,5%
Điểm yếu 10 25%
Điểm kém 11 27,5%

≠
⇔









≠
≠
≠
≠−
≠+
1cot
02sin
02sin
0cos
0sin
01cot
02cottan
x
x
x
x
x
x
xx

−
=−
Do đó:
2
2
cos
sincos
sin).sin(cos2
2sin)1( =⇔
−
−
=⇔ x
xx
xxx
x
Kết hợp với điều kiện (*) ta được :
π
π
2
4
kx +−=
,
Zk
∈
Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
4
kx +−=

16
5210
1sin
−
±=
+
−±=x
7
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Vì
00
900 << x
nên
0sin
>
x
do đó
4
526
sin
−
=x
+,
4
5210
cossin22sin
−
== xxx
;

,
Zk ∈
Vì
00
900 << x
nên




=
=
0
0
30
18
x
x
Nhận thấy:
≠=
2
3
30cos
0
4
5210 +
nên
0
30=x
không thoả mãn.

lượng giác, người giải chỉ cần nắm rõ quy tắc biểu diễn cung lượng giác trên đường
tròn lượng giác.
8
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Ví dụ 3: Giải phương trình:
03sincos =+ xx
(2)
Giải:
+, Trường hợp 1:
0cos ≥x

π
ππ
π
2
22
2 kxk +<<−⇔
(*) ,
Zk ∈

Với điều kiện (*), phương trình (2) trở thành :







−−=

x
x
xxxx
,(
Znl ∈,
)
Kết hợp với (*) ta được









+=
+−=
+−=
π
π
π
π
π
π
2
8
3
2
8





+=
+=
⇔






=+
=−
⇔=+−⇔=+−
28
4
0)
4
cos(
0)
4
2sin(
03sin)
2
sin(03sincos
ππ
π
π

2
8
10
2
8
9
2
8
5
mx
mx
mx
,
Zm ∈

Kết Luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
4
kx +−=
,

π
π
2
8
kx +−=
,
π

Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
*, Qua bài tập này ta thấy việc định hướng và tìm ra lời giải tương đối dễ dàng song
việc tìm ra nghiệm của phương trình thì phức tạp hơn nhiều và ta phải sử dụng đường
tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trong từng trường hợp và tìm ra nghiệm cuối cùng
của phương trình.
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC.
Khi giải phương trình lượng giác ta thường gặp một số các phép đặt ẩn phụ sau:
1. Đặt
2
tan
x
t =
khi phương trình có dạng
0)cos,(sin =xxf
2. Đặt
xt tan=
khi phương trình có dạng
0)2sin,(sin
2
=xxf
3. Đặt
xxt cottan +=
,
2≥t
khi phương trình đã cho là phương trình đối xứng của
xtan
và
xcot

1
(
2
=x
x
f
8. Đặt
x
t
sin
1
=
,
1≥t
khi phương trình có dạng
0)cot,
sin
1
(
2
=x
x
f
9. Đặt
xxt cossin
±=
,
2≤t
khi phương trình có dạng
0)2sin,cos(sin =± xxxf

2≤t
thì
1cos.sin2
2
−= txx
Khi đó : phương trình (3) trở thành




−=
=
⇔=−−−
2
1
02)12(
2
t
t
tt
( thoả mãn )
10
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Với
1
=
t
ta có :


4
cos(22cossin kxxxx +=⇔−=−⇔−=+
,
Zk ∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +=
2
,
ππ
kx
+=
,
π
π
2
4
5
kx +=
,
Zk
∈
*, Qua ví dụ trên ta thấy với phương pháp đặt ẩn phụ , đặt
xxt cossin +=
(
2≤t
) thì
bài toán trở nên đơn giản và dễ giải hơn.
Tuy nhiên: Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thì một số phếp biến đổi là không


+=
−=
1
1
at
at
Phương trình (4) có nghiệm
1212
212
212
2 +≤≤−−⇔




≤+≤
≤−≤−
⇔≤⇔ a
a
a
t
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm khi
1212 +≤≤−− a

*, Qua ví dụ trên ta thấy, điều kiện của ẩn phụ có vai trò rất lớn trong quá trình giải
quyết bài toán, nó giúp ta có lời giải chính xác và đầy đủ. Như vậy: nếu ta không đưa
ra điều kiện
2≤t
thì việc trả lời câu hỏi “điều kiện để phương trình có nghiệm?”

2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
Khi đó: phương trình đã cho trở thành







+
=
−
=
⇔=−−
3
323
3
323
0163
2

3 2 3
2arctan 2
3
x k
π
−
= +
,
3 2 3
2arctan 2 ,
3
x k k Z
π
+
= + ∈
2,
3)sin(cos3)1(tansin
2
+−=+ xxxx
(2)
Giải:
Điều kiện :
0cos
≠
x

π
π
kx +≠⇔
2

sin
.3)1.(tan
cos
sin
+−=+

)tan1(3)tan1(tan3)1(tantan
22
xxxxx ++−=+⇔
(2’)
Đặt
xt tan=
thì phương trình (2’) trở thành






−=
=
−=
⇔=−−+
3
3
1
033
23
t
t

π
π
π
nx
nx
nx
x
x
x
3
3
4
3tan
3tan
1tan
,
Zn
∈
( thoả mãn điều kiện (*) )
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +−=
4
,
π
π
kx +=
3
,

=
⇔=−
2
1
2
1
014
2
t
t
t
( thoả mãn )
Khi đó :






+±=
+±=
⇔






−=
=

π
π
2
3
2
kx +±=
,
Zk ∈
4,
03)cos(sin222sin =−−+ xxx
(4)
Giải:
Đặt
xxt cossin −=
,
2≤t
thì
2
12sin tx −=
Khi đó : phương trình (4) trở thành
20222
2
=⇔=+− ttt
Với
2=t
thì
π
ππ
2
4

Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Đặt
xt 2cos
=
,
1≤t
thì phương trình (5’) trở thành





−=
−=
⇔=++
2
3
1
0352
2
t
t
tt

Với
1
−=
t
ta có :
π

022sin2sin0
2
3
)4cos2(sin
2
1
cossin21)6(
222
=−+⇔=−−+−⇔ xxxxxx
(6’)
Đặt
xt 2sin
=
,
1≤t
thì phương trình (6’) trở thành




−=
=
⇔=−+
2
1
02
2
t
t
tt

kx ≠
(*)
Đặt
xxt cottan +=
,
2≥t
thì
2cottan
222
−=+ txx
Khi đó : phương trình (6) trở thành




−=
−=
⇔=++
2
1
023
2
t
t
tt
Với
2−=t
ta có :

π

8,
17)sin1(sin
44
=−+ xx
(8)
Giải:
Đặt
2
1
sin −= xt
,
2
1
2
3
≤≤− t
thì
2
1
sin += tx
Khi đó : phương trình (8) trở thành







−=
=

1
sin kxxx +−=⇔−=⇔−=−
,
Zk ∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
2
kx +−=
,
Zk
∈
Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm trên khoảng
)
12
;0(
π
:

xaxx
22
sin3cos4cos +=
(1) (a là tham số)
Giải:
Ta có :
032cos)3(2cos42cos4)1(
23
=++++−⇔ axaxx
(1’)

: Phương trình (1) không có nghiệm
∈x
)
12
;0(
π
Với
4
3
2
+
=
a
t
: Ta thấy
∈x
)
12
;0(
π
thì
)1;
2
3
(2cos ∈x

do đó: Phương trình (1’) có nghiệm trên khoảng
)
12
;0(

Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai

012)cos(sin222sin2 =+++− mxxmx
(1) (m là tham số)
Giải:
Đặt
)
4
sin(2cossin
π
+=+= xxxt
,
2≤t
thì
12sin
2
−= tx
Khi đó : phương trình (1) trở thành







−=
=
⇔=−+−
)12(
2

+x
=
⇔− )12(
2
2
m
)
4
sin(
π
+x
=
)12(
2
1
−m
(1’)
Như vậy: phương trình (1) có đúng 3 nghiệm trên
);0(
π

⇔
phương trình (1’) có đúng 2 nghiệm khác
12
7
π
trên
);0(
π
Ta thấy :







≠
≤<
−
⇔





≠−
≤−<−
⇔
1
2
3
2
21
112
1)12(
2
1
2
2
m

điểm kém.
Cụ thể kết quả kiểm tra của 40 em học sinh như sau:
Kết quả Số học sinh Tỷ lệ
Điểm giỏi 8 20%
Điểm khá 15 37,5%
Điểm trung bình 13 32,5%
Điểm yếu 4 10%
17
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Trên đây là một vài trao đổi nhỏ của tôi về phương pháp đặt ẩn phụ khi giải
phương trình lượng giác thông qua một số ví dụ và bài tập. Qua đó học sinh đã phần
nào nắm được lý thuyết và hình thành được kỹ năng giải phương trình lượng giác bằng
phương pháp đặt ẩn phụ để từ đó vận dụng tốt vào việc giải quyết các bài tập. Tuy
nhiên, để làm tốt dạng toán này học sinh cần nắm vững lý thuyết, có kỹ năng biến đổi
lượng giác nhằm đưa phương trình về dạng quen thuộc có thể đặt được ẩn phụ. Hy
vọng chuyên đề này có thể đóng góp một phần vào việc ôn tập có hệ thống và phát huy
được khả năng sáng tạo của các em học sinh .
- Trên đây là một vấn đề trong lượng giác mà tôi muốn đề cập đến và điều mà tôi
muốn làm rõ là phương pháp tìm lời giải cho một bài toán giúp cho các em học toán
nhẹ nhàng hơn, thú vị hơn và sáng tạo hơn.Qua đúc rút những kinh nghiệm trong
giảng dạy các đối tượng học sinh tôi đã áp dụng và chủ quan đánh giá là học sinh tiếp
nhận tương đối tốt và phần nào đã đạt được những kết quả nhất định. Tuy nhiên, với
kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều và kiến thức là vô tận nên trong khuôn khổ hạn
hẹp của chuyên đề này chắc chắn sẽ còn thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng
góp của tổ chuyên môn, các bạn đồng nghiệp và cả các em học sinh.
Xin cảm ơn mọi ý kiến phê bình và đóng góp.
Tôi sẽ vẫn tiếp tục hoàn thiện các vấn đề đã nêu và sẽ có các ý tưởng mới.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

C. Kết luận và kiến nghị 18
D. Tài liệu tham khảo 18
Lào Cai, ngày 20 tháng 12 năm 2011
Người viết
Vũ Thị Kim Oanh

19