THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
1 Đường tròn
Mục lục Loại 1. Phương trình đường tròn 2
Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8
Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung 18
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
2
Loại 1. Phương trình đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình chính tắc: Phương trình
2 2
2
x a y b R
(
C
có tâm
I
, bán kính
R
và đường thẳng
. Khi đó:
C
tiếp xúc với
R d I,
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
3
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn
.
Giải
1)
C
có tâm
I 1; 2
, bán kính bằng
5
2 2
C : x 1 y 2 25
.
2) Gọi
R
là bán kính của
C
.
3.1 2. 2 12
19
2 2 13
3 2
R d I,
.
Vậy
2 2
361
13
C : x 1 y 2
.
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
A 2;0
,
B 3; 1
,
C
2 2
2 2
IA IB
IB IC
2 2 2
2
2 2 2 2
a 2 b a 3 b 1
a 3 b 1 a 3 b 3
R
là bán kính của
C
2 2
R IA 5
. Vậy
2 2
C : x 1 y 2 5
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
4
Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm
A 1;4
,
B 1;6
và có tâm thuộc
Ta có
IA 2a 3; a 4
2 2
2 2
IA 2a 3 a 4 5a 20a 25
.
IB 2a 5; a 6
2 2
2 2
IB 2a 5 a 6 5a 32a 61
.
Từ
I 2;3
.
Lại có
2 2 2 2
R IA 3 1 10
. Vậy
2 2
C : x 2 y 3 10
.
Cách 2: Gọi
M
là trung điểm của
AB
IM AB
(bán kính đi qua trung điểm của dây cung
thì vuông góc với dây cung).
Ta có
M
là trung điểm của
AB
qua
IM : x y 5 0
IM : x y 5 0
.
I IM
x y 5 0
I :
x 2y 4 0
Giải
Giả sử
C
là đường tròn cần lập phương trình và
C
có tâm
I a;b
, bán kính
R
.
Ta có
IA 2 a;9 b
2 2
2
IA a 2 b 9
,
2
R
)
2 2 2 2
a 2 b 9 a 3 b 10
b 5a 12
1
.
Lại có
2 2
IA d I,
(cũng cùng bằng
2
R
)
2 2 2
a 2 5a 3 13 a 2
2
a 2a 3 0
a 1
a 3
.
+) Thay
a 3
vào
1
ta có
b 27
I 3;27
.
2 2 2 2
R IA 1 18 325
. Vậy trong
trường hợp này
C
có phương trình
2 2
x 3 y 27 325
1)
C
có tâm
I 1;3
, bán kính
R 4
.
2)
C
có tâm
I 2;3
,
A 1; 2 C
.
3)
C 2; 2
.
5)
C
Có đường kính là đoạn thẳng
AB
với
A 3;4
,
B 2;7
.
6)
C
có tâm
I 1;2
, tiếp xúc với đường thẳng
d : 3x 4y 1 0
5y x 2
,
y x 2
và
y 8 x
.
10)
C
nội tiếp tam giác
OAB
với
A 4;0
,
B 0;3
.
Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác
ABC
có
N
.
Bài 3. Cho
ABC
có
AB : x y 2 0
,
AC:2x 6y 3 0
và
M 1;1
là trung điểm cạnh
BC
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho
2
2
4
5
C : x 2 y
và hai đường thẳng
A 2;0
và
B 6;4
. Viết phương trình đường tròn
C
tiếp xúc
với trục hoành tại điểm
A
và khoảng cách từ tâm của
C
đến điểm
B
bằng
5
.
Bài 6. Cho
A 3;1
,
2
d : 3x y 0
. Gọi
T
là
đường tròn tiếp xúc với
1
d
tại
A
, cắt
2
d
tại hai điểm
B
và
C
sao cho tam giác
ABC
vuông
tại
B
. Viết phương trình của
T
, biết tam giác
IMO 30
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
8
Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn
C
có tâm
I
, bán kính
R
và
điểm
M
. Đặt
d IM
. Ta có
+)
M
nằm ngoài
C
C
có tâm
I
, bán kính
R
và đường thẳng
. Đặt
d d I,
. Ta có
+)
không có điểm chung với
C
d R
.
+)
tiếp xúc với
C
và điểm
M
. Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa
M
và
C
với số tiếp tuyến qua
M
của
C
:
+)
M
nằm ngoài
C
: qua
M
tồn tại hai tiếp tuyến của
C
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn
2 2
C : x 1 y 2 16
và điểm
A 1;6
. Chứng minh
A
nằm
ngoài
C
và viết phương trình các tiếp tuyến qua
A 1;6
của
C
.
Giải
Ta có
là đường thẳng qua
A
phương trình
có dạng:
:a x 1 b y 6 0
:ax by a 6b 0
(
2 2
a b 0
).
Có
a 2b a 6b 2 a 2b
2 2 2 2
a b a b
d I,
4
2
3a 4ab 0
4b
3
a 0
a
.
+)
a 0
:4x 3y 22 0
Vậy
: y 6 0
hoặc
:4x 3y 22 0
.
Ví dụ 2. Cho
2 2
C : x y 2x 6y 9 0
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C)
biết:
1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : x y 0
.
2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
d : 3x 4y 0
.
1)
d
phương trình
có dạng
: x y c 0
.
Ta có
1 3 c c 2
2 2
d I,
. Do đó:
là tiếp tuyến của
C
khi và chỉ khi
10
c 2 2 2
c 2 2 2
: x y 2 2 2 0
: x y 2 2 2 0
.
Vậy
: x y 2 2 2 0
hoặc
: x y 2 2 2 0
.
2)
d
5
1
c 13 5
c 13 5
c 13 5
c 8
c 18
) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có
,d 45
cos ,d cos45
2a b
2
2
2 2
5 a b
1
a 0
(loại).
*
b 0
: chia cả hai vế
1
cho
2
b
, đặt
a
b
t
ta được
2
3t 8t 3 0
a 3
Phương trình
có dạng
: 3x y c 0
.
3 3 c c 6
10 10
d I,
.
Do đó:
là tiếp tuyến của
C
khi và chỉ khi
c 6 10
c 6 10
: x 3y 6 10 0
: x 3y 6 10 0
.
+)
1
3
t
a
d I,
.
Do đó:
là tiếp tuyến của
C
khi và chỉ khi
d I, R
c 8
10
1
c 8 10
12
.
Vậy
: 3x y 6 10 0
, hoặc
: 3x y 6 10 0
,
hoặc
: x 3y 8 10 0
, hoặc
x 3y 8 10 0
.
Ví dụ 3. Cho
A 0; 3
và đường tròn
2 2
C : x y 6x 6y 7 0
E
M
A
I
N
là đường thẳng qua
A
phương trình
có dạng:
:ax b y 3 0
hay
:ax by 3b 0
(
2 2
a b 0
).
Giả sử
1
.
Lại có
3a 3b 3b 3 a 2b
2 2 2 2
a b a b
d I,
2
.
Từ
1
,
2
suy ra
3 a 2b
* Thay
b 0
vo
3
a 0
(loi).
*
b 0
: chia c hai v
3
cho
2
b
, t
a
b
t
ta c
b 3a
. Cho
a 1
b 3
: x 3y 9 0
.
+)
t 3
a
b
3
2 2
C : x y 2x 4y 5 0
. Vit PTT
ct
C
ti hai im
M
v
N
sao cho tam giỏc
AMN
vuụng cõn ti
A
.
Gii
Ta cú
2 2
C : x 1 y 2 10
C
cuứng baống
giaỷ thieỏt
IA
l ng trung trc ca
MN
IA 0;2
phng trỡnh
cú dng
y m
.
Trc ht ta tỡm iu kin
ct
C
2 2
x 2x m 4m 5 0
4
(
2
' m 4m 6
).
Do ú:
1
4
cú hai nghim phõn bit
' 0
6
.
14
Khi đó
1
2
M x ;m
N x ;m
7
.
Thay
6
vào
7
ta có
2 2 2
AM.AN m 4m 5 2 m 2m 4m 6
.
Do đó
AMN
vuông tại
A
AM.AN 0
(thỏa mãn
5
).
Vậy
: y 1
hoặc
: y 3
.
Ví dụ 5. [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng
: x y 2 0
và đường tròn
2 2
C : x y 4x 2y 0
. Gọi
I
là tâm của
C
,
M
là một điểm thuộc
Ta có
2 2
C : x 2 y 1 5
C
có tâm
I 2;1
, bán
kính
R 5
.
Đặt
x MA MB
. Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn
thì
MAI MBI 90
tọa độ
M
có dạng
M m; m 2
IM m 2; m 3
2 2
2 2
MI m 2 m 3 2m 2m 13
2
.
Từ
M 2; 4
M 3;1
.
Vậy
M 2; 4
hoặc
M 3;1
.
Ví dụ 6. [ĐHD07] Cho
2 2
C : x 1 y 2 9
và
d : 3x 4y m 0
C
có tâm là
I 1; 2
, bán kính
R 3
.
(
C'
)
(C)
d
60
o
30
o
B
A
I
P
Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ
một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường
tròn thì
PAB
là tam giác cân tại
P
IP 2AI 2R 6
P
thuộc đường
tròn
C'
có tâm
I
, bán kính
R' 6
.
Như vậy
P d C'
. Do đó
điểm
P
tồn tại duy nhất
11 m 30
11 m 30
m 19
m 41
.
Vậy
m 19
hoặc
m 41
.
,
2 2
C : x y 2x 4y 4 0
,
2)
M 0; 1
,
2 2
C : x y 2x 4y 4 0
,
3)
M 1;2
,
2 2
C : x y 2x 4y 20 0
.
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng
và đường tròn
2 2
(C) : x y 2x 8y 8 0
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C)
biết:
1) Tiếp tuyến đi qua
A 4;0
.
2) Tiếp tuyến đi qua
A 4; 6
.
Bài 4. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với
Ox
và đi qua điểm
0;1
. Tìm quỹ tích tâm
đường tròn đó.
18
Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến
chung
Vị trí tương đối Số tiếp tuyến chung
1 2
d R R
1
C
,
2
C
nằm ngoài nhau
4
1 2
d R R
1
C
,
2
C
tiếp xúc trong nhau
1
1 2
d R R
1
C
,
2
C
lồng nhau
019
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giao điểm
A
,
B
của hai đường tròn
2 2
2 2
2 2
x y 4x 6y 0 1
x y 4x 2y 0 2
.
Trừ từng vế
1
và
2
ta có
8x 8y 0
y x
.
Vậy các giao điểm của
1
C
,
2
C
là
A 0;0
và
B 1;1
.
*
3
C
C
đi qua
C
8m 24n 0
m 3n
4
. Từ
4
cho
n 1
m 3
.
2 2
3
C : x 1 y 2 5
.
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn
2 2
1
C : x y 4x 2y 5 0
,
2 2
2
C : x y 6x 8y 9 0
.
Chứng tỏ
1
C
,
2
1
I 2;1
, bán kính
1
R 10
.
20
2 2
2
C : x 3 y 4 16
1
C
có tâm
2
I 3;4
, bán kính
2
cắt nhau
tại hai điểm phân biệt.
*
0 0 1 2
M x ;y C C
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
x y 4x 2y 5 0
x y 6x 8y 9 0
.
Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của
1
C
,
2
C
là
5x 3y 2 0
.
Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho đường tròn
2 2
C : x y – 2x – 6y 6 0
và điểm
M 3;1
. Gọi
1
T
và
2
1 2
MT I MT I 90
1
T
,
2
T
thuộc đường tròn
C'
đường kính
MI
(
C'
là đường tròn tâm
I'
là trung điểm của
MI
, bán kính
MI
IM 16 4 2 5
R' 5
.
Do đó
2 2
C' : x 1 y 2 5
2 2
C' :x y 2x 4y 0
.
*
0 0 1 2
0 0
4x 2y 6 0
21
0 0
2x y 3 0
tọa độ điểm
M
thỏa mãn phương trình
2x y 3 0
.
Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của
1
C
,
2 2
2
143
C : x y 12x 0
4
,
2)
2 2
1
C : x y 4x 6y 3 0
,
2 2
2
C : x y 12x 35 0
,
3)
2 2
1
C : x y 4x 6y 4 0
,
. Tìm quỹ tích tâm
I
của đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn
2 2
1
C : x y 4x 3 0
,
2 2
2
C : x y 8x 12 0
.
ĐS:
x 3y 0
,
x 3y 0
,
x 35y 8 0
,
x 35y 8 0
.
2
2
C' : x 3 y 4
, các giao điểm của
C
và
C'
là
A 1;0
và
B 3;2
.
Copyright: Tài liệu đại học ©