ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
        
LÊ KHÁNH LUẬN
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH
Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN
Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. TS. TRẦN MINH THUYẾT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013
Danh sách ký hiệu
Ký hiệu tập hợp
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Tập hợp các số nguyên
R Tập hợp các số thực
Z
+
Tập hợp các số nguyên không âm
R
+
= [0; 1) Tập hợp các số thực không âm
 = (0; 1)
Q

1
x

2
2
:::x

N
N
Đơn thức bậc jj theo N biến, với x = (x
1
; x
2
; :::; x
N
)
Ký hiệu đạo hàm
u (t) = u (x; t)
_u (t)  u
t
(t) = u
0
(t) =
@u
@t
(x; t)
•u (t)  u
tt
(t) = u
00

k
i
D

f =
@
jj
f
@x

1
1
@x

2
2
:::@x

N
N
, với  = (
1
; 
2
; :::; 
N
) 2 Z
N
+
1

3.3 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé K,  . . 106
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Kết luận 118
Danh mục công trình của tác giả 121
Tài liệu tham khảo 122
Chương 1
Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến
tính và khai triển tiệm cận cho bài
toán biên hỗn hợp không thuần nhất
cho phương tr ình sóng phi tuyến
1.1 Giới thiệu
Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt

@
@x
( (x; t; u) u
x
) = f (x; t; u; u

yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần hai sẽ khảo sát bài toán khai
triển tiệm cận theo hai tham số bé mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương
này.
1.2 Các ký hiệu và giả thiết
Trong chương nầy, chúng ta sử dụng không gian hàm V = fv 2 H
1
: v (1) = 0g:
14
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 15
Ta cũng chú ý rằng V là không gian con đóng của H
1
, do đó V là không gian Hilbert
đối với tích vô hướng của H
1
: Mặt khác trên V các chuẩn v 7! kv
x
k và v 7! kvk
H
1
là
tương đương.
Bổ đề sau đây cũng được sử dụng trong suốt luận án.
Bổ đề 1.2.1. Phép nhúng V ,! C
0
([0; 1]) là compact và
kvk
C
0
([0;1])

+
 R) ; thỏa điều kiện  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1] R
+
 R:
Dùng phép đổi biến v = u  ' với ' (x; t) = (x  1) g
0
(t) + g
1
(t) thì bài toán (1.1.1)
trở thành bài toán
8
>
>
>
<
>
>
>
:
v
tt

@
@x
( (x; t; v + ') v
x
) =
~

>
>
>
>
>
>
>
:
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) = f (x; t; v + '; v
x
+ '
x
; v
t
+ '
t
)
 (x  1) g
00
0
(t)  g
00
1
(t) + g
0

1
(0) ;
(1.2.3)
và g
0
; g
1
; ~u
0
; ~u
1
thỏa điều kiện tương thích g
0
(0) = u
x
(0; 0) = ~u
0
0
(0) ; ~u
0
(1) = g
1
(0);
~u
0
1
(1) = g
0
1
(0):

3
) :
Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm nghiệm
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 16
yếu của bài toán (1.2.2):
Ta gọi một hàm v 2 L
1
(0; T ; V \ H
2
) thỏa điều kiện v
t
2 L
1
(0; T ; V ) ; v
tt
2
L
1
(0; T ; L
2
) là nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) nếu nó thỏa bài toán biến phân dưới
đây
8
<
:
hv
tt
(t) ; wi+ h (x; t; v + ') v
x
; w

~
K (M; ) = kk
C
2
(
~
A
M
)
;
(1.2.5)
trong đó
~
A
M
= f(x; t; u) 2 [0; 1]  [0; T

]  R : juj  M + M

g;
K
1
(M;
~
f) =



~
f

>
:
W (M; T ) = fv 2 L
1
(0; T ; V \ H
2
) : v
t
2 L
1
(0; T ; V ) và v
tt
2 L
2
(Q
T
) ;
với kvk
L
1
(0;T ;V \H
2
)
; kv
t
k
L
1
(0;T ;V )
; kv

@f
@x
;
D
2
f =
@f
@t
; D
3
f =
@f
@u
; D
4
f =
@f
@v
; D
5
f =
@f
@w
; và D

f = D

1
1
:::D

Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 17
Tìm v
m
2 W
1
(M; T ) (m  1) thỏa bài toán biến phân
8
<
:
hv
00
m
(t) ; wi+ h
m
(t) rv
m
(t) ; rwi = hF
m
(t) ; wi; 8w 2 V;
v
m
(0) = ~v
0
; v
0
m
(0) = ~v
1
;
(1.2.9)

Sự tồn tại dãy fv
m
g như thế sẽ được chứng minh trong Định lý 1.3.1 bằng cách sử
dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về
tính compact. Trong Định lý 1.4.1, ta sẽ chứng minh dãy fv
m
g hội tụ về nghiệm yếu của
bài toán (1.2.2) trong một không gian thích hợp.
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính
Định lý 1.3.1. Giả sử (H
1
) (H
3
) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0
sao cho, với v
0
= ~v
0
, tồn tại một dãy qui nạp fv
m
g  W
1
(M; T ) xác định bởi (1.2.9),
(1.2.10).
Chứng minh. Chứng minh gồm một số bước.
Bước 1: Xấp xỉ Faedo-Galerkin. Xét một cơ sở fw
j
g của V
w
j

(t) w
j
;
(1.3.2)
trong đó các hệ số c
(k)
mj
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính
8
<
:
D
•v
(k)
m
(t) ; w
j
E
+
D

m
(t) rv
(k)
m
(t) ; rw
j
E
= hF
m

j
w
j
! ~v
0
mạnh trong V \H
2
;
~v
1k
=
X
k
j=1

(k)
j
w
j
! ~v
1
mạnh trong V:
(1.3.4)
Hệ (1.3.3) được viết lại
•c
(k)
mi
(t) +
X
k

i
+ 
(k)
i
t 
Z
t
0
Z

0
X
k
j=1

(m)
ij
(s) c
(k)
mj
(s) dsd
+
Z
t
0
Z

0
hF
m

= (
(k)
1
; :::; 
(k)
k
); 
(k)
= (
(k)
1
; :::; 
(k)
k
):
Khi đó hệ (1.3.6) được đưa về phương trình điểm bất động
c = V [c]; (1.3.7)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

[c] (t)) ;
V
i
[c] (t) = U
i
[c] (t) + h
i
(t) ;
U
i
[c] (t) = 
X
k
j=1
Z
t
0
Z

0

ij
(s) c
j
(s) dsd;
h
i
(t) = 
i
+ 

kck
X
= sup
0tT
jc(t)j
1
; jc(t)j
1
=
X
k
j=1
jc
j
(t)j; c = (c
1
; :::; c
k
) 2 X:
Ta chứng minh phương trình (1.3.7) có điểm bất động trong X:
Với mọi c; d 2 X; ta có
jV
i
[c] (t)  V
i
[d] (t)j = jU
i
[c] (t)  U
i
[d] (t)j


0
X
k
j=1
j
ij
(s)jjc
j
(s)  d
j
(s)jdsd

X
k
j=1
sup
0sT
j
ij
(s)j
Z
t
0
Z

0
jc
i
(s)  d

t
0
Z

0
jc (s)  d (s)j
1
dsd  2k
~
K
t
2
2
kc  dk
X
: (1.3.10)
Bằng quy nạp ta chứng minh công thức sau đúng với mọi n:
jV
n
[c] (t)  V
n
[d] (t)j
1


2k
~
Kt
2


t
0
Z

0


V
n1
[c] (s)  V
n1
[d] (s)


1
dsd
 2k
~
K

2k
~
Kt
2

n1
[2(n  1)]!
kc  dk
X
Z


2k
~
KT
2

n
(2n)!
kc  dk
X
; 8c; d 2 X: (1.3.13)
Do lim
n!1
(
2k
~
KT
2
)
n
(2n)!
= 0, nên tồn tại n 2 N sao cho
(
2k
~
KT
2
)
n
(2n)!




2
+



p

m
(t)rv
(k)
m
(t)



2
;
Y
(k)
m
(t) =



r_v
(k)
m

(t) +
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds:
(1.3.14)
Với mọi j = 1; 2; :::; k; nhân (1.3.3) với _c
(k)
mj
(t), tổng theo j; và lấy tích phân theo thời
gian, ta có
X
(k)
m
(t) = X
(k)
m
(0) +
Z

(k)
m
(s)
E
ds = X
(k)
m
(0) + I
1
+ I
2
:
(1.3.15)
Thay w
j
trong (1.3.3) bởi w
j
, ta được


r•v
(k)
m
(t) ; rw
j



r(
m

E
+ 2 hF
m
(0) ; ~v
0k
i
+
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)



v
(k)
m
(x; s)



2
dx

(t) ; v
(k)
m
(t)
E
 2
D
F
m
(t) ; v
(k)
m
(t)
E
+2
Z
t
0
D
@F
m
@t
(s) ; v
(k)
m
(s)
E
ds
= Y
(k)

0
m
(x; t) =
@
m
@t
(x; t) = D
2
 (x; t; 
m
(x; t)) + D
3
 (x; t; 
m
(x; t)) ( _v
m1
(x; t) + _' (x; t)) ;
(1.3.18)
ta suy ra từ (1.2.5), (1.2.8) và (1.3.18), rằng
j
0
m
(x; t)j 
~
K(M; )(M + M

+ 1): (1.3.19)
Vậy, bởi (1.3.14), (1.3.19), ta được
I
1

Z
t
0
X
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ hai I
2
.
Từ (1.2.6), (1.2.8), (1.2.10) và (1.3.14), ta có
I
2
= 2
Z
t
0

F
m
(s) ; _v
(k)
m
(s)

ds  2
Z
t
0
kF

=
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)


v
(k)
m
(x; s)


2
dx (1.3.22)

1

0
~
K(M; )(M + M

+ 1)

m
(s)); v
(k)
m
(s)

ds




(1.3.23)

2
p

0
Z
t
0
I

4
(s)
q
Y
(k)
m
(s)ds;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 22




@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)




=



@
m
@x
(s) r_v
(k)
m
(s) +
@
2

r_v
(k)
m
(s)



+



@
2

m
@x@s
(s)






rv
(k)
m
(s)






@
2

m
@x@s
(s)




q
Y
(k)
m
(s):
(1.3.24)
Hơn nữa, do
@
m
@x
(x; s) = D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) + D
3
 (x; s; 
m

(s)k
C
0
(


)
+ M

+ 1

(1.3.26)

~
K (M; )

kv
m1
(s)k
C
0
(


)
+ M

+ 1



D
1
 (x; s; 
m
(x; s))
+D
3
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + r' (x; s))
+

@
@s
D
3
 (x; s; 
m
(x; s))

(rv
m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 

m1
(x; s) + g (s))
+D
2
3
 (x; s; 
m
(x; s)) ( _v
m1
(x; s) + _' (x; s)) (rv
m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (r_v
m1
(x; s) + r_' (x; s)) ;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 23
ta được




@
2

m
@x@s




@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)





(1.3.29)

~
K (M; ) (M + M

+ 1)

1 +
2 + M + M

p


Y
(k)
m
(s) ds: (1.3.30)
Tích phân thứ năm I
5
:
Do bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, kết hợp bất đẳng thức (28) với " =  > 0; ta có
jI
5
j =




2

@
m
@x
(t) rv
(k)
m
(t) ; v
(k)
m
(t)





2
;
với mọi  > 0:
Hơn nữa,




@
m
@x
(t) rv
(k)
m
(t)




=




@
m
@x
(0) r~v
0k





C
0
(


)
kr~v
0k
k +
Z
t
0
I

4
(s) ds:
Từ (1.3.29) và (1.3.32), ta suy ra rằng




@
m
@x
(t) rv
(k)

K (M; ) (M + M

+ 1)

1 +
2 + M + M

p

0

Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 24
Vậy từ (1.3.31) và (1.3.33), ta được
jI
5
j 


0
Y
(k)
m
(t) +

~
K
2
(M; ) (M + M

+ 1)
2

1 +
2 + M + M

p

0

2
Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds;
với mọi  > 0.
Tích phân thứ sáu I
6
:
Từ (1.3.14) cùng với bất đẳng thức (28) với " =  > 0; ta có
jI
6

2
(1.3.35)

1





F
m
(0) +
Z
t
0
@F
m
@s
(s) ds




2
+


0
Y
(k)



0
Y
(k)
m
(t) ;
với mọi  > 0:
Như đã biết
@F
m
@t
(t) = D
2
~
f [v
m1
] + D
3
~
f [v
m1
] v
0
m1
(t) (1.3.36)
+D
4
~
f [v

Do đó, từ (1.2.6), (1.2.8) và (1.3.36), ta có




@F
m
@t
(t)




 K
1
(M;
~
f)

1 +


v
0
m1
(t)


+


(t)



:
Vậy, từ (1.2.8), (1.3.35) và (1.3.37), ta suy ra
jI
6
j 
2

kF
m
(0)k
2
+
4

T K
2
1
(M;
~
f)
Z
T
0
h
(1 + 2M)
2

T K
2
1
(M;
~
f)

(1 + 2M)
2
T + M
2

+


0
Y
(k)
m
(t) ;
(1.3.38)
với mọi  > 0:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 25
Tích phân thứ bảy I
7
:
Do (1.2.8), (1.3.14) và (1.3.37), ta có được
jI
7
j = 2

@F
m
@s
(s)




ds +
Z
t
0




@F
m
@s
(s)






v
(k)
m
(s)

+
1

0
K
1
(M;
~
f)
Z
t
0
(1 + 2M +


v
00
m1
(s)


)Y
(k)
m
(s) ds
 K
1
(M;
~
f)

Ta còn đánh giá
Z
t
0
k•v
m
(s)k
2
ds:
Phương trình (1.3.3) có thể được viết như sau

•v
(k)
m
(t) ; w
j



@
@x


m
(t) rv
(k)
m
(t)

; w

t
0
D
@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s)); •v
(k)
m
(s)
E
ds
+2
Z
t
0
D
F
m
(s) ; •v
(k)
m
(s)
E
ds
 2

t
0
kF
m
(s)k



•v
(k)
m
(s)



ds
 2
Z
t
0



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m

2
ds +
1
2
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds:
(1.3.41)
Do đó
Z
t
0



•v
(k)
m

(s)k
2
ds
 2
Z
t
0



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s))



2
ds + 2T K
2
1
(M;
~
f):
(1.3.42)
Ta đánh giá số hạng


=



@
m
@x
rv
(k)
m
(s) + 
m
(s) v
(k)
m
(s)







@
m
@x
(s)



(k)
m
(s)




1
p

0
~
K(M; )(M + M

)
q
X
(k)
m
(s) +
1
p

0
~
K(M; )
q
Y
(k)
m



2
ds  2T K
2
1
(M;
~
f) +
2

0
~
K
2
(M; ) [1 + (M + M

+ 1)
2
]
Z
t
0
S
(k)
m
(s) ds:
(1.3.44)
Chọn  > 0; với
2

K
1
(M;
~
f) k•v
m1
(s)k

S
(k)
m
(s) ds;
(1.3.45)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

0k
i
+ 4
D
@
m
@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k
E
+
4

kF
m
(0)k +
4




@
m
@x
(0)




2
1
(M;
~
f)
+ 2

(1 + 2M)
p
T + M

p
T K
1
(M;
~
f);
~
D
2
(M; T; ) = 1 +
2

0
(M + M

+ 1)

2 +
p

p

0

2
T +
1+(M+M

+1)
2

0

~
K
2
(M; ) :
(1.3.46)
Do tính hội tụ của (1.3.4) ta có thể suy ra sự tồn tại M > 0 độc lập với k và m sao
cho
~
D
0k

1
2
M
2
: (1.3.47)
Chú ý rằng, từ (1.2.5), (1.2.6), (1.3.46)

2
+
~
D
1
(M; T; )

exp

2T
~
D
2
(M; T; ) +
2
p
T

0
K
1
(M;
~
f)M
!
 M
2
; (1.3.49)
và
k

exp[T (1 +
M+M

+1
2
0
~
K(M; ))] < 1:
(1.3.50)
Sau cùng, từ (1.3.45), (1.3.47) và (1.3.49), ta suy ra
S
(k)
m
(t)  M
2
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) 
2
p
T

0
K
1
(M;

(k)
m
(t)  M
2
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) 
2
p
T

0
K
1
(M;
~
f)M
!
(1.3.52)
exp

2
Z
t
0


0
K
1
(M;
~
f)M
!
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) +
2

0
K
1
(M;
~
f)
p
T k•v
m1
k
L
2
(Q
T

>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
v
(k)
m
! v
m
trong L
1
(0; T ; V \ H
2
) yếu*,
_v
(k)
m
! v
0
m
trong L
1

(
m
(t) rv
m
(t)) + F
m
2 L
1

0; T ; L
2

: (1.3.55)
Vậy v
m
2 W
1
(M; T ) và chứng minh của định lý 1.3.1 được hoàn tất .
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lý 1.4.1. Giả sử (H
1
)  (H
3
) thỏa. Khi đó
(i) Tồn tại các hằng số dương M và T thỏa (1.3.47), (1.3.49) và (1.3.50) sao cho bài
toán (1.2.2) có duy nhất nghiệm yếu v 2 W
1
(M; T ) :
(ii) Hơn nữa dãy quy nạp tuyến tính fv
m

L
1
(0;T ;L
2
)
 Ck
m
T
; với mọi m 2 N; (1.4.2)
trong đó k
T
2 (0; 1) được xác định trong (1.3.50) và C là hằng số chỉ tùy thuộc T; g
0
; g
1
;
~v
0
; ~v
1
và k
T
:
Chứng minh.
(i) Sự tồn tại nghiệm.
Trước hết, ta để ý rằng W
1
(T ) là một không gian Banach với chuẩn tương ứng (Lions
[28])
kwk

thỏa bài toán biến phân
8
>
>
>
<
>
>
>
:
hw
00
m
(t) ; wi+


m+1
(t) rw
m
(t) ; rw

+

(
m+1
(t)  
m
(t))rv
m
(t) ; rw

0
m+1
(x; s) jrw
m
(x; s)j
2
dx
+2
Z
t
0
hF
m+1
(s)  F
m
(s) ; w
0
m
(s)ids
+2
Z
t
0

@
@x


m+1
(s)  




q

m+1
(t)rw
m
(t)




2
 kw
0
m
(t)k
2
+ 
0
krw
m
(t)k
2
: (1.4.6)
và tất cả các tích phân bên phải của (1.4.5) được đánh giá như sau.
Tích phân thứ nhất J
1
:


+ 1)
Z
t
0
z
m
(s) ds:
(1.4.7)
Tích phân thứ hai J
2
:
Do (H
3
), ta có
kF
m+1
(t)  F
m
(t)k  K
1
(M;
~
f) [kw
m1
(t)k + krw
m1
(t)k + k _w
m1
(t)k](1.4.8)

jJ
2
j  2




Z
t
0
hF
m+1
(s)  F
m
(s) ; w
0
m
(s)ids




 4T K
2
1
(M;
~
f) kw
m1
k



m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)

; w
0
m
(s)

ds




(1.4.10)

Z
t
0





m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)

=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) +
@
@x


m+1
(s)  
m
(s)

rv

@
m+1
@x
 D
3
 [v
m1
]
@
m
@x
i
rv
m
(s)
=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) + (D
1
 [v
m
]  D

])
@
m
@x
i
rv
m
(s)
=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) + (D
1
 [v
m
]  D
1
 [v
m1
]) rv
m
(s)
+D

m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)







m+1
(s)  
m
(s)


C
0
(

)
kv
m
(s)k
+ k(D

0
(

)
krw
m1
(s)k
+ kD
3
 [v
m
]  D
3
 [v
m1
]k
C
0
(

)



@
m
@x




>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:



m+1
(s)  
m
(s)


C
0
(


0
(

)

~
K (M; ) kw
m1
k
W
1
(T )
; i = 1; 3;
krv
m
(s)k
C
0
(

)
 kv
m
(s)k  M;



@
m
@x


C
0
(

)
 k4v
m1
(s)k + M

 M + M

;
kD
3
 [v
m
]k
C
0
(

)

~
K (M; ) :
(1.4.13)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 31
Ta suy từ (1.4.12) và (1.4.13) rằng


k
W
1
(T )
 (3 + M + M

) M
~
K (M; ) kw
m1
k
W
1
(T )
:
(1.4.14)
Do đó, từ (1.4.10) và (1.4.14) ta suy được
jJ
3
j  T
h
M (3 + M + M

)
~
K (M; )
i
2
kw
m1

kw
m1
k
2
W
1
(T )
(1.4.16)
+

2 +
M + M

+ 1

0
~
K (M; )

Z
t
0
z
m
(s) ds:
Áp dụng bổ đề Gronwall, từ (1.4.16), ta suy ra
kw
m
k
W

W
1
(T )
(1  k
T
)
1
k
m
T
8m; p 2 N: (1.4.18)
Do đó fv
m
g là một dãy Cauchy trong W
1
(T ) ; nên tồn tại v 2 W
1
(T ) sao cho
v
m
! v mạnh trong W
1
(T ) : (1.4.19)
Ta cũng chú ý rằng v
m
2 W
1
(M; T ) ; do đó tồn tại một dãy con

v

v
0
m
j
! v
0
trong L
1
(0; T ; V ) yếu*,
v
00
m
j
! v
00
trong L
2
(Q
T
) yếu,
v 2 W (M; T ) :
(1.4.20)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 32
Mặt khác, đặt
~
f[v] =
~
f (x; t; v; v
x
; v

k
m
 [v]k
L
1
(Q
T
)

~
K(M; ) kv
m1
 vk
W
1
(T )
: (1.4.22)
Vậy từ (1.4.19), (1.4.21) và (1.4.22) ta được
F
m
!
~
f[v] mạnh trong L
1

0; T ; L
2

; (1.4.23)


1
: (1.4.26)
Mặt khác, từ các giả thiết (H
2
) và (H
3
), và từ (1.4.20 )
4
và (1.4 .25), ta được
v
00
=
@
@x
([v]v
x
) +
~
f[v] (1.4.27)
= [v]v
xx
+

@
@x
[v]

v
x
+

>
:
hv
00
(t) ; wi+ h
1
(t) v
x
(t) ; w
x
i + h(
1
(t)  
2
(t))rv
2
(t) ; w
x
i
= hF
1
(t)  F
2
(t) ; wi; 8w 2 V;
v (0) = v
0
(0) = 0;
(1.4.28)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 33
trong đó

0
1
(x; s) v
2
x
(x; s) dx + 2
Z
t
0
hF
1
(s)  F
2
(s) ; v
0
(s)ids (1.4.30)
+2
Z
t
0

@
@x
[(
1
(s)  
2
(s)) rv
2
(s)] ; v

0
(t)k
2
+ 
0
kv
x
(t)k
2
: (1.4.31)
Bây giờ ta đánh giá các số hạng bên phải của (1.4.30) như sau
jZ
1
(t)j 




Z
t
0
ds
Z
1
0
j
0
1
(x; s)jv
2




Z
t
0
hF
1
(s)  F
2
(s) ; v
0
(s)ids




(1.4.33)
 4K
1
(M;
~
f)
Z
t
0
(kv
x
(s)k + kv
0




Z
t
0

@
@x
[(
1
(s)  
2
(s)) rv
2
(s)] ; v
0
(s)

ds




(1.4.34)
 2
Z
t
0


= (
1
(s)  
2
(s)) v
2
(s) +

@
1
@x
(s) 
@
2
@x
(s)

rv
2
(s)
= (
1
(s)  
2
(s)) v
2
(s) + (D
1
 [v
1

trong đó ta ký hiệu
D
i
 [v] = D
i
 (x; t; v + ') ; i = 1; 3:
Do đó


@
@x
[(
1
(s)  
2
(s))rv
2
(s)]


 k
1
(s)  
2
(s)k
C
0
(

)

0
(

)
krv
1
(s) + r'k
C
0
(

)
krv
2
(s)k
+ kD
3
 [v
2
]k
C
0
(

)
kv
x
(s)kkrv
2
(s)k

>
>
:
k
1
(s)  
2
(s)k
C
0
(

)

~
K (M; ) kv (s)k
C
0
(

)

~
K (M; ) kv
x
(s)k;
kD
j
 [v
1

(s)k
C
0
(

)
 krv
2
(s)k  M;
krv
1
(s) + r'k
C
0
(

)
 krv
1
(s)k
C
0
(

)
+ kr'k
C
0
(


)
~
K (M; ) kv
x
(s)k
+M
~
K (M; ) kv
x
(s)k
 M (3 + M + M

)
~
K (M; ) kv
x
(s)k: