1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thế giới hôm nay đang chứng kiến những đổi thay có tính chất
khuynh đảo trong mọi hoạt động phát triển kinh tế - xã hội nhờ
những thành tựu của công nghệ thông tin. Công nghệ thông tin đã
góp phần quan trọng cho việc tạo ra những nhân tố năng động mới,
cho quá trình hình thành nền kinh tế tri thức và xã hội thông
tin. Công nghệ thông tin mở ra triển vọng to lớn trong việc đổi mới
các phương pháp và hình thức dạy học. Những phương pháp dạy học
theo cách tiếp cận kiến tạo, phương pháp dạy học theo dự án, dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề càng có nhiều điều kiện để ứng
dụng rộng rãi. Các hình thức dạy học như dạy học đồng loạt, dạy
theo nhóm, dạy cá nhân cũng có những đổi mới trong môi trường
công nghệ thông tin và truyền thông. Chẳng hạn, cá nhân làm việc tự
lực với máy tính, với Internet, dạy học theo hình thức lớp học phân
tán qua mang, dạy học qua cầu truyền hình. Nếu trước kia người ta
nhấn mạnh tới phương pháp dạy sao cho học sinh nhớ lâu, dễ hiểu,
thì nay phải đặt trọng tâm là hình thành và phát triển cho học sinh
các phương pháp học chủ động. Nếu trước kia người ta thường quan
tâm nhiều đến khả năng ghi nhớ kiến thức và thực hành kỹ năng vận
dụng, thì nay chú trọng đặc biệt đến phát triển năng lực sáng tạo của
học sinh. Như vậy, việc chuyển từ “lấy giáo viên làm trung tâm”
sang “lấy học sinh làm trung tâm” sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Toán học là có một vai trò rất quan trọng, là môn học nền tảng
cho các môn học khác: Vật lý, Hóa học, hay trong các bài toán kinh
tế… Nhưng việc dạy và học Toán là không phải dễ dàng. Vậy làm
sao để dạy và học môn Toán có hiệu quả hơn.
Trong giai đoạn hiện nay, có phần mềm Toán trong việc hổ trợ
dạy và học Toán trở nên phổ biến như Maple, Sketchpad,…
2

www.vntoanhoc.com. Đề cập đến các vấn đề ứng dụng của Maple để
giải quyết một số dạng toán của Đại số tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức
từ đó sắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các ứng
dụng theo đề tài đã chọn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về phần mềm
maple và các ứng dụng của nó.
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba
chương :
Chương 1: Giới thiệu tổng quát về phần mềm Maple
Trong chương này tôi trình bày cách sử dụng phần mềm Maple,
các câu lệnh toán tử, hàm, hằng, các phép toán cơ bản, giới hạn, đạo
hàm, tích phân, đồ thị hàm số và các phép tính toán trên ma trận.
Chương 2: Giới thiệu tổng quát về Đại số tuyến tính
Trong chương này tôi trình bày các định nghĩa, tính chất, định
lý, ví dụ về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không
gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, trị riêng và vectơ riêng.
Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple trong
Đại số tuyến tính
Trong chương này tôi trình bày một số ứng dụng của phần
mềm Maple để giải các bài toán trong ma trận, định thức, hệ phương
trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, trị riêng và
vectơ riêng.
Chương 4: Thực nghiệm sư phạm
4
Trong chương này tôi tiến hành tổ chức thực nghiệm trong

’ right single quote (apostrophe)
“ double quote
| vertical bar
& ampersand
_ underscore
% percent
\ backslash
# pound sign (sharp)
5
, comma ? question mark
6
1.1.3. Toán tử, hàm và hằng
Các phép toán Ký hiệu
Phép cộng. +
Phép trừ. -
Phép nhân. *
Phép chia. /
Lũy thừa. ^ hay **
Giai thừa. !
Lấy phần nguyên. iqua(a,b)
Chia module. irem(a,b)
Các hàm số cơ bản
Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa
abs(x)
x
sqrt(x)
x

exp(x)
x

nhất của
1 2
, , x x
sin(x)
( )
Sin x
cos(x)
( )
Cos x

tan(x)
( )
Tg x
arcsin(x)
( )
sinArc x

arccos(x)
( )
cosArc x
arctan(x)
( )
Arctg x

Các hằng số
TÊN HẰNG HẰNG
Pi
π

I

) Ước chung lớn nhất của
1 2
, , x x
ilcm(
1 2
, , x x
) Bội số chung nhỏ nhất của
1 2
, , x x
m mod n Số dư khi chia m cho n.
isprime(n) n có là số nguyên tố không? (True/
False)
nextprime(n) Số nguyên tố liền sau n.
prevprime(n) Số nguyên tố liền trước n.
8
1.3.2. Tính toán trên biểu thức
Hàm Ý nghĩa
expand(bt) Khai triển biểu thức.
simplify(bt) Lệnh đơn giản biểu thức.
factor(bt) Phân tích đa thức thành
nhân tử.
nomal(pt) Tối giản phân thức.
divide(bt1,bt2) Kiểm tra bt1 có chia hết cho
bt2 không?
subs([x1=a1,x2=a2, ],f(x1,x2,
))
Tính giá trị của
( )
1 2
, , f x x

limit(p,x=infinity,real)
Trả về giới hạn của p khi
x
tiến
+∞

Limit(p,x=a) Trả về biểu thức giới hạn.
value(…) Tính giá trị giới hạn.
1.4.2. Đạo hàm
1.4.3. Nguyên hàm và tích phân
1.4.4. Đồ thị hàm số
1.5. TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN
1.5.1. Khai báo ma trận
1.5.2. Các phép toán trên ma trận

CHƯƠNG 2
GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2.1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
2.1.1. Ma trận
2.1.2. Định thức
Phương pháp tìm hạng của ma trận
Trong thực hành ta thường dùng các phép biến đổi sơ cấp về
hàng (hoặc cột) của ma trận để đưa ma trận

A
về ma trận bậc thang
10

T

2.2.1. Không gian vectơ
2.2.2. Tổ hợp tuyến tính
Phương pháp xác định tổ hợp tuyến tính
Để kiểm tra vectơ

u∈V
có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
của
{ }
1 2
, , ,,
m
W u u u
=
hay không ta giải phương trình:
1 1 2 2

m m
u x u x u x u= + + +
với ẩn
1 2
, , ,
m
x x x R∈
. Phương trình
này tương đương với một hệ phương trình tuyến tính m ẩn trên
R
mà ta đã biết cách giải. Khi đó:
+ Nếu hệ có nghiệm thì
u

, , ,
n
p p p

Bước 2: Lập ma trận
P
có

p
1
, p
2
, , p
n
là các cột.
Bước 3: Ma trận
1
P AP
−
sẽ là ma trận chéo với
1 2
, , ,
n
λ λ λ
là
các phần tử chéo liên tiếp, trong đó
i
λ
là trị riêng ứng với
i


m danh sách n phần tử L
1
,L
2
, ,L
m
.
- Tạo ma trận cấp
m n
×
với các phần tử là giá trị của hàm
f
xác định trên các chỉ số hàng và cột của ma trận.
( )
, ,matrix m n f
- Tạo ma trận cấp
m n×
bằng lệnh tạo mảng với L là các phần
tử của ma trận.
( )
1 ,1 ,matrix m n L

Tạo vectơ với lệnh vector/ Vector.
- Tạo một vectơ cột có các thành phần được liệt kê trong danh sách
( )
Vector danhsách

3.1.2. Các phép toán ma trận
- Xác định hệ số dòng i cột j của ma trận A:

mulcol(A,i,c)
- Thay dòng i của ma trận A bởi dòng i cộng cho c lần dòng j
addrow(a,i,j,c)
- Thay cột i của ma trận A bởi cột i cộng cho c lần cột j
14
addcol(a,i,j,c)
3.1.4. Ma trận dạng bậc thang của ma trận
- Nếu hệ số ở vị trí i, j của ma trận A khác 0 thì sẽ đưa các hệ
số ở vị trí còn lại trên cột j về 0 bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng
loại 3. Ngược lại, báo lỗi thì ta nhập
pivot(a,i,j)
- Đưa ma trận A về dạng bậc thang
gausselim(A)
- Đưa ma trận A về dạng bậc thang rút gọn
gaussjord(A)
- Tính hạng của ma trận A
rank(A)
- Tính định thức của ma trận A
det(A)
3.1.5. Giải phương trình ma trận AX=B
Để giải phương trình ma trận
=AX B
với
X
là ma trận cần tìm
linsolve(A,B)
3.1.6. Giải hệ phương trình tuyến tính
- Để giải hệ phương trình eqns với các biến vars. Trong đó
eqns có dạng
{ }

4 25 1 7
2 11 8 2
 
− −
 
 
−
 
−
 
 

Bài 1.3.
Tính các định thức sau đây:
a.
3 2 0 2
2 0 5 4
1 30 7
5 1 3 0
−
−

b.
a x x x
x x b x
x x x c
+
+
+


+ + +
 
2 2 3 3 4
2 3 3 4 4 5
3 5 5 8 10 17
x x x
x x x
x x x

Bài 1.5.
Tìm ma trận nghịch đảo
2 1 1
1 0 3
3 2 2
A =
 
 
 
 
 
 

Bài 1.6.
Giải hệ phương trình sau:
a)

+ + =

− + = −



1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 1
2 2 1
4 10 5 5 7 1
2 14 7 7 11 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x

3.2. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ
KHÔNG GIAN VECTƠ
3.2.1. Tạo vectơ
- Tạo vectơ
vector(<danhsach>)
- Cộng hai vectơ
u
và
v
u+v
17
- Tích vô hướng của hai vectơ
u
và
v
dotprod(u,v)

Bài 2.1.
Hệ vectơ S sau đây phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính, biết
a)
S
=
α
1
=
5,4,3
( )
,
α
2
=
3,3,2
( )
,
α
3
=
8,1,3
( )
{ }
⊂
R
3

b)
( ) ( ) ( )
{ }

S
biết
( )
α
= −2,5,1,3
.
Bài 2.3.
Trong không gian vectơ
R
3
cho hai cơ sở
{ }
α α α
=
1 2 3
, ,S
,
{ }
β β β
=
1 2 3
, ,T

( ) ( ) ( )
α α α
= = =
1 2 3
1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0

( ) ( ) ( )

.
colspan(A)
Bài 3.1.
Cho
f : R
3
→ R
3
: ánh xạ tuyến tính
Tìm ma trận của
f
đối với cơ sở chính tắc của không gian
R
3
.
Bài 3.2.
Cho ánh xạ tuyến tính
f : R
3
→ R
3
xác định bởi:
( ) ( )
= − − −
1 2 3 1 2 2 1 1 3
, , , ,f x x x x x x x x x

Tìm ma trận của
f
đối với cơ sở



. Hãy tìm cơ sở cho
Im f
và
Kerf
.
3.4. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ
TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG
- Xác định ma trận đặc trưng của ma trận A theo
x
, đó là ma
trận dạng
( )
−A xI

charmat(A,x)
- Xác đinh đa thức đặc trưng của ma trận A theo
x
, đó là đa
thức
( )
−det A xI

charpoly(A,x)
20
- Xác định các trị riêng của ma trận A.
eigenvalues(A)
- Xác định các vectơ riêng tương ứng với từng trị riêng của ma
trận A






Bài 4.3.
Tìm ma trận
P
làm chéo hóa ma trận
A =
3 −2 0
−2 3 0
0 0 5









CHƯƠNG 4
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
21
4.1. MỤC ĐÍCH VÀ Ý NGHĨA CỦA THỰC NGHIỆM SƯ
PHẠM

α α α
= = =
1 2 3
1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0

( ) ( ) ( )
β β β
= = =
1 2 3
0,1,1 , 1,0,1 , 1,0,0

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
S
sang
T
.
22
Hình 4.2
Hình 4.3
23
Hình 4.4
24
Hình 4.5
4.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Đối với sinh viên
+ Khắc phục được tình trạng sai sót trong quá trình tính toán.
+ Với ứng dụng của phần mềm dạy học, trực quan sinh viên
thích thú và tiếp thu bài được tốt hơn.
Đối với giáo viên: Khắc phục được những khó khăn trong quá
trình xây dựng các đồ dùng học tập. Phương pháp này phù hợp với