LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ

ớ
i h
ạ
n.

Chú ý:
Quy t
ắ
c xét d
ấ
u c
ủ
a hàm
đ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c.

Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Xét s
ự

5 4 2
x
y x x x x
= − − + + −

Lời giải:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )
2
0
6 6 6 1 0 6 1 0
1
x
y x x x x y x x
x

3 6 3 3 1 0 0, .
y x x x y x D
′ ′
= − + = − ≥ → ≥ ∀ ∈

V
ậ
y hàm s
ố

đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
c)
4 2
2 1
y x x
= − −


T
ậ
p xác

đạ
o hàm:
x
−∞ −1 0 1 +∞
'
y

− 0 + 0 − 0 +

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; −1) và (0; 1).
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x


Do
( )
2
1 0,
x x
+ ≥ ∀
nên d
ấ
u c
ủ
a
'
y
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ể
u th
ứ
c (x − 1)(x − 2).
Tài liệu bài giảng:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Xét s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
cho d
ướ
i
đ
ây:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
b)
2
3 3
.
1
x x
y

x
+
=
−

Lời giải:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R=




y
x
+ +
=
+


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −



Đạ
o hàm:
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
2

ủ
a
đạ
o hàm:
x
−∞ −2 −1 0 +∞
'
y

+ 0 − || − 0 +
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−2; −1) và (−1; 0).
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +

luôn ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
d)
2
2 2.
y x x
= − +


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
( )
2
2
2 2 0 1 1 0, .
x x x x D R
− + ≥ ⇔ − + > ∀ → =


đạ
o hàm:
x
−∞ 1 +∞
'
y

− 0 +
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (1; +∞) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; 1).
e)
2
2 .
y x x
= −


Hàm s
ố
xác
đị

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x 0 1 2
'
y

+ 0
−

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (0; 1) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+

   
⇔ → = − + ∞
   
 
≠
   
 
≠






Đạ
o hàm:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 5 5 1
2 2 1
0
3 2
3 2 3 2 . 2 1 3 2 . 2 1

3
+∞
y’
− || −
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
1 2
;
2 3
 
−
 
 
và
2
; .
3
 
+∞
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1)
2 5.
y x
= − +
2)
3
3 2.

2
2 3 1.
y x x
= + +

9)
1
.
2
x
y
x
+
=
−
10)
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+

11)
1
.
3 2

= − −
+

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam th
ức bậc hai:
(
)
2
,
f x ax bx c
= + +
g
ọ
i x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình f(x) = 0, v
ớ
i x
1

2
1
0
0
f x x x x
x x
f x
x x
> ⇔ < <
>

< ⇔

<


+
( )
0
0,
0
a
f x x R
>

> ∀ ∈ ⇔

∆ <

+

x x
f x x
a x x
< < <

> →

< < <
> ∀ ∈

< → < < <
+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
0
α β
0,
α
;
β
:
α β
0
α β
a x x
f x x
x x
a

n trên R.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
b)
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
nghịch biến trên R.
c)
(
)
( )
3
2
1
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +

đồ
ng bi
ế

y hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi m
≥
2.
b)

( )
3 2 2
1
3 2 1 2 3 2.
3
y x mx m x y x mx m
′
= − + + − + → = − + + −

Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R khi
( )
2
3 17 3 17

3 2 2 1 2 3 2
3
m x
y mx m x y m x mx m
−
′
= + + − + → = − + + −

Để
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên R thì
0, .
y x R
′
≥ ∀ ∈


Khi
1 0 1 2 1.
m m y x
′
− = ⇔ = → = +

Ta th
ấ

m m m
m m
>
>


− >

 
′
− ≠ ⇔ ≠ → ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ ≤
− − − ≤
− + − ≤






1
2
2.
1
2
m
m
m

2) Tìm m để hàm số
(
)
3 2
3 3 2 1 1
y x mx m x
= − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
3)
Tìm m
để
hàm s
ố

( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R.

nh c
ủ
a hàm s
ố
.
+ Tính
'
y
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên và d
ự
a vào b

ớ
i m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng hàm
đặ
c bi
ệ
t (th
ườ
ng là hàm vô t
ỉ
) thì ta ph
ả
i tính gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ
i các
đ
i
ể
m biên
để
cho b

u và c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:

a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
2 4
2 .
y x x
= −
d)
4 3

x
−∞ −3 2 +∞
'
y

+ 0
−
0 +
y
71 +
∞−∞

−
54

T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y hàm s
ố

đồ

ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2; y =
−
54.
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
(
)
3 2
4 4 4 1 0 0.
y x x x x y x
′ ′

4 4 4 1 0 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

= ±


 Bảng biến thiên:

x
−∞ −1 0 1 +∞
'
y

+ 0 − 0 + 0 −
y
1 1

−∞ 0 −∞

T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm s
ố đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
x
−∞ 0 3 +∞
'
y−
0
−
0 +
y
+
∞
+
∞
15
4
−T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
Hàm s

1 .
y x x
= −


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
[
]
2
1 0 1 1 1;1 .
x x D− ≥ ⇔ − ≤ ≤ → = −


Đạ
o hàm:
2 2
2 2
2 2
1 2 1
1 0 1 2 0
2
1 1
x x
y x y x x
x x
−

− 0

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
1 1
;
2 2
 
−
 
 
; hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
1
1;
2
 
− −
 
 

i
1 1
; .
2 2
x y= − = −
b)
2
2 3 1.
y x x
= + +


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
2
2 2
2 2
3 2 1 3
2 0 2 1 3 0 2 1 3
1 1
x x x
y y x x x x
x x




Gi
ớ
i h
ạ
n:
(
)
2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1
x x x
x x x x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
   
+ + = + + = − + = +∞
   
   
   

(
)
2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1

− 0 +
0
y
+∞ +∞ 5
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
2
;
5
 
−∞ −
 
 
; hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế

x
+
=
+


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
[
]
3 0 3 3; .
x x D
+ > ⇔ > − → = − + ∞



Đạ
o hàm:
( )
( )
( )
( )
( )
1
3
2 3 1 3 2
5

'
y
+
y
+∞

−∞

Hàm s
ố

đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên mi
ề
n xác
đị
nh và không có c
ự
c tr
ị
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm c
ự
c tr
ị

2
x
y x
= − +
5)
4 2
4 5.
y x x
= − +
6)
4
2
3
.
2 2
x
y x
= − + +

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giải phương trình
' 0
y
=

Lời giải:
a)
sin 2 .
y x x
= −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
1
π π
2cos 2 1 0 cos 2 2 2
π π
2 3 6
y x y x x k x k
′ ′
= − → = ⇔ = ⇔ = ± + → = ± +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Đạo hàm bậc hai:
π π

 

Hàm số đạt cực tiểu tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
 
= − + = − + + − = − + −
 
 

b)
1
cos cos2 .
2
y x x
= +


Tập xác định: D = R.

Đạo hàm:
( )
2π1
2
π
cos
sin sin 2 sin 1 2cos 0
32

u
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4
π cos 4 π 2cos 8 π 0
3 3 3 2
2
2 π cos 2 π 2cos 4 π 3 0
y n n n
k n
y n n n
     
′′
± + = − ± + − ± + = >
     
= →
     
′′
= − − = − <

+ Nếu
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4
π 2π cos 4 π 2π 2cos 8 π 4π 0
3 3 3 2
2 1
π 2 π cos π 2 π 2cos 2π 4 π 1 0
y n n n
k n

− = +



Hàm số đạt cực tiểu tại
3
; 2
2π 2π 1 4π
4
π; cos π cos 2π
1
3 3 2 3
; 2 1
4
k n
x k y k k
k n

− =

   
= ± + = ± + + ± + =

   
   

= +





− − + −

′ ′
= + = → = ⇔ − + − ⇔ − = − ⇔

− = − +

− −


2
1
2 2 1
1
1
2 2
.
2
2
2
2 4 1 0
2 2 1
1
2
2
x
x
x
x




Đạ
o hàm b
ậ
c hai:
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
1
2
1 2 2 1 1
2
0
2
2 2 2 2 2
x
x x
x x x x x
x x
y
x x
x x x x x x x x x x
−

= −
2)
2
2 5.
y x x
= − +
3)
2
4sin .
y x x
= −

4)
2
cos 3 .
y x
=
5)
sin cos .
2 2
x x
y = − 6)
2
4
.
3 2
x
y
x
−


đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
;
x
2
thì khi
đ
ó x
1
;
x
2

0
0
0
y x
y x
′

=


′′
<



+ Hàm s
ố

đạ
t
cực tiểu
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x

3 2
3 2 3 1
y x mx x m
= − + − +
. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a m
để

a)
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự

m có hoành
độ
x = 2.
d)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = –1.
Lời giải:
a)
Ta có
2
3 6 2
y x mx
′
= − +


3
0 9 6 0
3
6
3
m
m m
m

>


′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ > ⇔

< −



V
ậy với
6 6
;
3 3
m m> < − thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự

ó x
1
; x
2
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
' 0
y
=
.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
2
2
3
x x m
x x
+ =



=

 
 
= − − =
 

2 2
29
8 18 0 24 54 29 0
3
m m m m
→ − + = ⇔ − + = →
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m th
ỏ
a mãn
đề
bài.
c)
Ta có
6 6

m
m
y
m

′
 =
− + =
=

 
⇔ ⇔ → =
  
− >
′′
>




<


Giá tr
ị

7
6
m
=

i t
ạ
i x = –1 khi
( )
( )
5
1 0
3 6 2 0
5
.
6
6 6 0
6
1 0
1
y
m
m
m
m
y
m

′
 − =
+ + =
= −

 
⇔ ⇔ → = −

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
Bài 2. Cho hàm số
( )
3 2
1
6 1
3
y x mx m x
= + + + −
. Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn
1 1
1 2

b)

2
ax
bx ab
y
bx a
+ +
=
+

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i x = 0 và x = 4.
c)

2
2
ax 2
1
x b
y
x
+ +
=

2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
= + − + − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
.
2
x x
x x
+ = +


c)

3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
= − − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho x
1
+ 2x
2
= 1.


y
=
, t
ừ

đ
ó tìm
đượ
c t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m u
ố
n.

Xét d
ấ
u c
ủ
a
''
y

để
k

ồ
i.
Ví dụ 1:
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m u
ố
n và các kho
ả
ng l
ồ
i, lõm c
ủ
a
đồ
th
ị
các hàm s
ố
sau:

a)
y = 2x
3

+ bx
2
+ x + 2 nh
ậ
n
đ
i
ể
m U(1; –1) làm
đ
i
ể
m u
ố
n.
Ví dụ 3:
Tìm m
để
hàm s
ố

2
3
3
1
x
y x
m
= + +
nh

ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

a)
y = x
3
+ 3x
2
– mx + 2 song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = 3x – 5.
b)
y = x
3
+ 3mx
2
– 2mx + 3 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th

i
đ
i
ể
m A(1; –2).
b)

3
2
2
3 3
x
y x mx
= − − + +
có
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d : y = x + 2.
Bài 3:
Tìm m, n
để

+ 6x + m – 2 có
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên tr
ụ
c hoành.
c)
y = x
3

– 3mx
2
+ (3 + 2m
2
)x + m
2
+ 3 có
đ
i
ể
m u
ố
n cách
đề
u hai tr


n n n n
x x
khi a
b c
ax bx cx x a
khi a
x x


0
0
0
1 1
lim 0 lim 0
1
lim
1
lim
1
lim
+
−
→∞ → ∞
→
→
→

= → =


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

1
1 1 0
1
1 1 0
0;
a x
lim ;
x
;
−
−
−
→∞
−


>

+ + + +

= ∞ <
+ + + +


=


i là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng (TC
Đ
) c
ủ
a
đồ
th
ị
y = f(x) khi lim ( )
x a
f x
→
= ∞

+ n
ế
u lim ( )
x a
f x
→
= +∞
thì x = a là ti
ệ
m c

ứ
c th
ườ
ng có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng, và giá tr
ị
x = a th
ườ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a m
ẫ
u s
ố
, ho
ặ
c t
ạ
i x = a thì hàm
s
ố

đ

4 5
x
y
x x
+
=
+ −

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
2
3
lim 3
9
→±
 
= ∞ → = ±
 
 
−
 
x
x


x
x x
x

Ta có
2
1
2
5
2
lim
4 5
1; 5
2
lim
4 5
→
→−
 +
 
= ∞
 

+ −
  
→ = =

+
 

+ 3x + m = 0.
 Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x
2
+ 3x + m = 0 vô nghi
ệm
9
0 9 4 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ − < ⇔ >
m m
 Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân
biệt, trong đó một nghiệm x = 2.
Điều đó xảy ra khi
2
9
0 9 4 0
9
4
3
4
2 2
2 2
9
0 9 4 0
10
4
2 6 0 10


b
x
a
m m
m
m m

 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Khi
đó ta có
2
9
9
0 9 4 0
4
4
10
2 6 0 10


∆ > ⇔ − > ⇔ <
<
 
→
 
 
≠ −
+ + ≠ ⇔ ≠ −

ị
y = f(x) khi lim ( )
x
f x b
→∞
=


Cách tìm ti
ệ
m cân ngang:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang.
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
2
2 2
2 2
2
+ + →+∞
 
+ + = + + = + + =
 
 
− + + → −∞
B C
x A khi x
B C B C

c)
2
1
.
2 1
+
=
− +
x
y
x x

d)
2
2
.
3
+
=
−
x
y
x
e)
2
1
.
2 3
+
=

ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
1
1
1 1 1
lim lim
3
2 3 2 2
2
→∞ →∞
+
+
= = → =
−
−

x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
3
2
3 2
lim lim 2 2
1
1
1
→∞ →∞
−

→
+
= +∞ → =
− +
x
x
x
x x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
2
2
2
1 1

ố
.
d)
Ta có
2
3
2
lim 3
3
→
+
= +∞ → =
−
x
x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s



Khi
→+∞
x thì |x| = x nên ta
đượ
c
2 2
2 2
1 1
lim lim 1 1
3
3
1
→+∞ →+∞
+ +
= = → =
−
−
x x
x
x x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.

n ngang.
e)
Xét
2
2
2
2
1 1 1
lim lim lim
3
3
2 3
2
2
→∞ →∞ →∞
+ + +
= =
 
+
+
+
 
 
x x x
x x x
x
x
x
x
x

1
2
y⇒ = là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.

Khi
→−∞
x thì |x| =
−
x nên ta
đượ
c
2 2 2
1
1
1 1 1
lim lim lim
3 3 3 2
2 2 2
→−∞ →−∞ →−∞
+
+ + −
= = =
+ − + − +
x x x
x x
x

m c
ậ
n xiên (TCX) c
ủ
a
đồ
th
ị
y = f(x) khi
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→∞
− + =


Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc.
Cách 1:
+ Tìm hệ số
( )
lim
x
f x
a
x
→ ∞
=

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a)
2
1
.
2
x x
y
x
+ +
=
−
b)
2
2 3
.
2 1
x x
y
x
− + +
=
+

c)
2
3 3
.
2
x x

− − −

Suy ra
[ ]
7
lim ( ) ( 3) lim 0 3
2
x x
f x x y x
x
→∞ →∞
− − = = ⇒ = −
−
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b)
2
2 3
.
2 1
x x
y
x
− + +
=
+

+ Ta d
ễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là
1

c)
2
3 3
.
2
x x
y
x
+ +
=
+

+ Ta d
ễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là
2.
x
= −

+ Ta có
2
3 3 13 13
( ) 3 5 ( ) (3 5)
2 2 2
x x
y f x x f x x
x x x
+ +
= = = − +
⇒
− − =

Hướng dẫn giải :
+ Ta có
2
2 2
2 2
1 1
x mx m
y x m
x x
+ −
= = + − −
+ +

Đồ thị có tiệm cận xiên khi
0.
m
≠

V
ớ
i
0
m
≠
thì ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ

; 2
2
m
OA OB m
−
= = −
. Tam giác OAB vuông t
ạ
i O nên
1
. . 8
2
OAB
S OA OB OA OB
=
⇒
=

2
6
2
. 2 8 (2 ) 16
2
2
m
m
m m
m
=
−

2 3
1
x
y
x
+
=
−
b)
1
1
y
x
=
−
c)
2
1
4
y
x
=
−

d)
2
1
1y
x
= +

n các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau :
1)
2
3 4
2
x x
y
x
+ +
=
−
2)
2
1
x
y
x
=
−
3)
2
2
3 4
1

2
5 3
1
x
y
x
−
=
−7)
2
1
5 6
y
x x
−
=
+ +
8)
( )
2
1
2 3
y
x
=
−


13)
2
4 1
y x x x
= − − +
14)
2
2 1 4 2 1
y x x x
= + + − +

15)
2
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−

16)
2
2 1
2
x
y
x x
− −
Bài 3:

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo tham s
ố
m s
ố
ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau
b)
2
2 4
x mx
y

2 4
1
x mx m
y
x
+ + −
=
+
có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2).
Bài 5:
Cho hàm số
2
2 ( 1) 3
x m x
y
x m
+ + −
=
+

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1).
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P):
2
3
= +
y x .
Bài 6:
Tìm m
để
ti

độ
m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
b)

2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m

ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Bài 7:
Cho hàm s
ố

2
1
x m
y
mx
+
=
−
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với
hai tr
ục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
Bài 8: Cho hàm số
2
(3 1) 2
1
mx m x m
y
x
+ + − +
=
+
.

a)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−