NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG KHI CÓ
KHUYẾT TẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN
Phạm Thị Minh Hạnh
1

Nguyễn Thị Thuỳ
2

ằng phương pháp thống kê mômen, chúng tôi đã xây dựng được các
biểu thức giải tích xác định các đại lượng nhiệt động của bán dẫn có cấu
trúc kim cương khi kể đến đóng góp phi điều hoà của dao động mạng. Từ đó
áp dụng tính số cho Si trong trường hợp lý tưởng và trường hợp khuyết tật.
Các kết quả đã được so sánh với thực nghiệm.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các tính chất nhiệt động của bán dẫn nói chung và Si nói riêng đã thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần đây, các tính chất dao động của
bán dẫn nhóm IIIV đã được nghiên cứu bằng lý thuyết hàm mật độ [1] và bằng mô hình
liên kết chặt [5]. Sử dụng thế kinh nghiệm và phương pháp động lực học, S. M.
Nakhmanson và D. A. Drabold đã tính được các tính chất dao động và nhiệt dung riêng
đẳng tích của Si [7].
Bằng phương pháp thống kê mômen trong cơ học thống kê lượng tử, chúng tôi đã
tính được các tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS
trường hợp lý tưởng có tính đến ảnh hưởng phi điều hoà của dao động mạng [4]. Trong
bài báo này, chúng tôi tiếp tục phát triển phương pháp mômen để nghiên cứu tính chất
nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương khi có khuyết tật. Áp dụng tính số cho Si.
2. NỘI DUNG
2.1. Các tính chất nhiệt động đối với bán dẫn có cấu trúc kim cương
2.1.1. Độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng
Xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương, ngoài tương tác cặp là chủ yếu, người ta còn

ij

là thế năng tương tác giữa các hạt thứ
i và hạt j, W
ijk
là thế tương tác giữa các hạt i, j và k.
Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng là mạnh, khi đó trong biểu thức khai
triển của thế năng tương tác E
i
theo độ dời u
i
phải kể đến những số hạng bậc cao hơn 2. Vì
vậy, nếu dừng lại ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tương tác của hạt i có
dạng [4]:

23
0
ii
i i j j j j j
, , ,
j j i j j
eq eq
4
i
j j j j
, , ,
i j j j
eq
EE
11

, , , x,y,z    
;

     
0
i i j ij j ijk j
j j,k
11
E E a a W a
26
   

(4)
Ở đây
j
a
là vị trí cân bằng của hạt thứ j, dạng của các số hạng
2
i
jj
eq
E
uu








  
    
   
  
   
   


   
   
    
   


  


   



(5)
Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cương, các số hạng sau đều bằng
không:

2 3 3 4 4
i i i i i
2 3 3 2
j j j j j j j j j j
eq eq eq eq

p
uu

) qua mô men bậc
1[8].
Sử dụng (5) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (6), phương trình (4) được viết lại như
sau [4]:
   
2
3 2 2
2 2 2
dy d y dy
y 3 y X 1 y y X 1 ky p 0
dp dp m dp m
 
             

(7)
trong đó

j
P
yu
,
X xcothx
,
x
2



   


  
   
   
  

   

;
3
i
jx jy jz
eq
E
u u u





  

(8)
Phương trình (7) nhận được khi coi
j j j j
p p p p
u u u u y
  

k 2 1 2
K k ; p p K ; K X 1
3 27 k 3 3k
  

   
       

  

(11)
Ở vùng nhiệt độ cao sao cho X ~ 1, phương trình (10) trở về dạng quen thuộc trong [8]:

2 / /
2 / /3 /
2
d y dy
3 y y Ky p 0
dp dp


       
(12)
Phương trình (12) là một phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta tìm nghiệm của nó
dưới dạng gần đúng. Vì ngoại lực p
*
là tuỳ ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm dưới dạng đơn
giản sau:

/ / * *2

         
     
,
Dạng của
1 2 3 4 5 6
a ,a ,a ,a ,a ,a
được xác định như trong [4].
Như vậy, từ (9) và (13) suy ra nghiệm của phương trình (7) ứng với trường hợp không có
ngoại lực tác dụng có dạng:

 
/
0
p 0 p K
2 2 2
/
0
42
y y y
3
1 6 1 2 2 k
y 1 X 1
3 K K 3 3k 27 k

 

  

   
     

ii
i j j j j j
i , , ,
j j j j j
eq eq
4
i
j j j j
, , ,
j j j j
eq
EE
11
E E u u u u u
2 u u 6 u u u
E
1
u u u u
24 u u u u
    
    
    
   
   
   
   


   
   


      


(18)
Trong đó:

0
0i
i
UE

;
4
i
1
4
jx
eq
E
1
24 u







;

2
>,<u
4
> và <u
ix
u
iy
u
iz
> và tiến hành tính các tích
phân, ta thu được biểu thức gần đúng của năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim
cương
 
 
 
2
2
1
0 0 2
2
3
22
2 1 1 2
4
33
32
2
2
2
2


   
         

   
   

  
   


   




2
2
3 3 2
23
24
22
22
1
3
k 1 1 1
(X 1)
K K 3K 3k 6
k k 2 k
3N M 1 M

   




   


   
   
   
     

   
   


   

   





(20)
Ở đây:
 
1
2

năng lượng tự do của hệ N dao tử điều hoà, nghĩa là:

 
   
2x
0
0
0 i ij j ijk j
j j,k
u
3N x ln 1 e ,
3
11
u E a W a
26



     



   

(21)
Khi sử dụng biểu thức này cần chú ý là các thông số k, K, ,  và đại lượng u
0
phụ thuộc
vào nhiệt độ.
Từ năng lượng tự do, ta có thể suy ra các đại lượng nhiệt động như: hệ số giãn nở nhiệt,

2
T
a
3
a
a
2P
3V a











V = N.v, (23)
Trong đó: v là thể tích của một nguyên tử, a là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên
tử ở TK, a
0
là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử ở 0K. Đối với tinh thể có cấu trúc
kim cương thì
3
8a
v
33



  



   







(24)
Từ đó, sử dụng (16), (23), (24) chúng ta sẽ tìm được giá trị của hệ số nén đẳng nhiệt 
T
.
 Hệ số giãn nở nhiệt
Hệ số giãn nở nhiệt được định nghĩa như sau:

2
2
0
BT
a
k
a
3 a 3V a



mô tả lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có các lực 3 hạt. Một trong thế
nhiều hạt được sử dụng để nghiên cứu tính chất nhiệt động của Si là thế nhiều hạt có dạng
[3]:

 
 
ij ijk
i,j i, j,k
12 6
i j k
00
ij ijk
3
ij ij
ij jk ki
U W ,
1 3cos cos cos
rr
U 2 ,W Z
rr
r r r
  

   
   

   
   
   


các thông số phải tính khi có khuyết tật. Các kết quả đối với trường hợp lý tưởng và khuyết
tật của Si được trình bày trong bảng 1 và bảng 2 và đã được so sánh với số liệu thực nghiệm.
Bảng 1: Sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số mạng
h
a
của Si lý tưởng và khuyết tật
T(K)
h
a
(10

10
m)
Lý tưởng
h
a
(10

10
m)
Khuyết tật
h
a
(10

10
m)
TN [6]
298
5,2709

1300
5,3026
5,3028

1400
5,3054
5,3076

1500
5,3083
5,3132

Bảng 2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động của Si lý tưởng và khuyết tật
T(K)






C
V

C
V

C
P

C

300
2,8178
3,4026
2,5
2,3690
2,9095
2,3942
2,9435

400
3,7452
4,2810
3,1
3,5770
4,0046
3,6285
4,0750
5,33
500
4,2955
4,7949
3,5
4,3178
4,6528
4,4124
4,7614
5,63
600
4,6531
5,1310

5,7257
5,8972

1000
5,3831
5,8284
4,7
5,6030
5,7368
5,8813
6,0358
6,30
1100
5,4926
5,9266

5,6956
5,8165
6,0109
6,1543

1200
5,5883
6,0012
5,0
5,7693
5,8812
6,1217
6,2564
6,47

3. KẾT LUẬN
Bằng phương pháp thống kê mômen, chúng tôi đã xây dựng được biểu thức giải tích xác
định các đại lượng nhiệt động của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương phụ thuộc vào nhiệt
độ, từ đó đã áp dụng tính số cho Si trong trường hợp lý tưởng và khuyết tật. Các kết quả tính
số được so sánh với thực nghiệm và có sự phù hợp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. C. Eckl, J. Fritsch, P.Pavone, and U. Schroder, surf. Sci. 394, 47, 1997.
2. Dwight E. Gray, American Institute of Physics Handbook, Second Edition, pp.466451, 1981.
3. Erkoc S., Phys. Reports, 278(2), pp. 8188, 1997.
4. Phạm Thị Minh Hạnh, Luận án Tiến sĩ, Trường ĐHSP Hà Nội, 2007.
5. H.M. Tutuncu and G. P. Srivastava, Phys. Rev. B 53, 15675, 1996.
6. M.P. Sascolskoi, acustichskie Krystalu, Moscow "Nauka", 40, 167, 1982.
7. S. M. Nakhmanson and D. A. Drabold, Phys. Rev. B 61, 5376, 2000.
8. N. Tang and V.V. Hung, Phys. Stat. Sol. (b) 149 (1988) 511; 161 (1990) 165; 162 (1992) 371.
STUDY OF THERMODYNAMIC QUANTITIES OF SEMICONDUCTORS
WITH THE DIAMOND CUBIC STRUCTURE WITH DEFECTS BY
STATISTICAL MOMENT METHOD
Pham Thi Minh Hanh, Nguyen Thi Thuy
Abstract
Using the statistical moment method, the thermodynamic properties of crystals with the diamond
cubic semiconductors are considered taking into account the anharmonic effects of the lattice
vibrations. The numerical results for Si and Si with defects are compared with the experimental
results.