ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Công Nghệ

BÀI TẬP LỚN
Môn: Lý thuyết điều khiển tự động
Đề bài: Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ
thống điều khiển liên tục
Hà Nội, 04/2014
GVHD: ThS Nguyễn Thị Cẩm Lai
Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 3
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 1 Lời mở đầu

bảo thì mới xét đến các yếu tố khác của hệ thống như thời gian đáp ứng, tốc độ đáp ứng, …
Với một hệ thống điều khiển tự động vòng kín, tính ổn định của hệ thống cũng như chất
lượng của quá trình quá độ đều có thể được khảo sát thông qua sự thay đổi của đại lượng cần
điều chỉnh y hoặc giá trị sai lệch e khi có tác động của nhiễu đặt trước u hoặc nhiễu D.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 2 Với đề tài được giao: “Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự
động liên tục” bài làm của nhóm 3 gồm có các phần sau:

I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động.
II. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc.
III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
IV. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
V. Ứng dụng Matlab trong kiểm tra tính ổn định của hệ thống.
VI. Một số bài tập áp dụng. Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 3

Danh sách nhóm:
STT
Họ và Tên
MSSV
Lớp
1

K57M
9
Vũ Đình Ngọc
12020271
K57M
10
Nguyễn Minh Lý
12020246
K57M

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 4

Phần I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động.
I. Khái niệm về hệ thống điều khiển tự động liên tục.
1. Giới thiệu mở đầu.
Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để
đáp ứng của thệ thống gần với mục đích định trước.
Điều khiển tự động là ứng dụng của lý thuyết điều khiển tự động vào việc điều khiển các
quá trình khác nhau mà không cần tới sự can thiệp của con người.
Ổn định là điều kiện cần thiết đầu tiên của một hệ thống điều khiển tự động. Hệ thống
điều khiển tự động được được gọi là ổn định nếu sau khi có nhiễu tác động làm thay đổi trạng
thái cân bằng của nó thì nó tự hiệu chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng. Hoặc nếu tín hiệu vào bị
chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn thì hệ thống đó được gọi là ở trạng thái ổn định.
Nếu hệ thống không trở lại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống
sẽ không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là biên giới ổn

không?
1
( ) ( )
2
y t x t

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 5

Giải
1 2 1 2 1 2
12
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
( ) ( )
y t ax t bx t ax t bx t a x t b x t
ay t by t

     



Vậy hàm trên mô tả hệ thống liên tục.

2.1.2. Hệ thống điều khiển phi tuyến
Các quá trình trong công nghiệp như robotic và công nghiệp không gian thường có động
lực phi tuyến lớn. Trong lý thuyết điều khiển đôi khi có thể tuyến tính hóa thành các lớp trong hệ
thống và áp dụng các kỹ thuật tuyến tính, nhưng trong nhiều trường hợp cần phải nghĩ ra từ các

2.1.3. Hệ thống điều khiển phân tán
Khi một hệ thống được điều khiển bởi nhiều bộ điều khiển, vấn đề là một trong các điều
khiển phân tán. Sự phân tán hóa thì hữu ích trên nhiều phương diện, chẳng hạn như nó giúp điều
khiển hệ thống vận hành trong một khu vực địa lý rộng lớn. Các nhánh trong các hệ thống điều
khiển phân tán có thể tương tác với nhau bằng cách sử dụng các kênh liên lạc và phối hợp các
hoạt động của chúng với nhau.

2.1.4. Hệ thống bất biến theo thời gian
Một hệ thống là bất biến theo thời gian khi một khoảng dịch thời gian trong tín hiệu đầu
vào cũng gây ta một độ dịch tương ứng trong tín hiệu đầu ra.

2.1.5. Hệ thống biến đổi theo thời gian
Hệ thống gọi là biến đổi theo thời gian nếu tín hiệu đầu ra tại bất kỳ thời điểm nào đều
phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào.

3. Điều kiện ổn định của hệ thống điều khiển tự động.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 6

Một hệ thống điều khiển tự động được gọi là ổn định nếu nó thỏa mãn điều kiện ràng
buộc sau:
0
lim (t) 0
(1.1)
lim ( ) 0
t
t
e
et

thì hệ thống không ổn định.
- Nếu
lim ( )et 
dao động có biên độ không đổi khi
t 
thì hệ thống sẽ ở biên giới
ổn định.

Ví dụ 1: Các trạng thái cân bằng của một viên bi ở các vị trí được mô tả như trong hình: Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó
một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (vị trí a), hoặc
sẽ dao động quanh vị trí cân bằng (vị trí b) và (vị trí d), hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu (vị
trí c). Trong ba trường hợp thì khi quả cầu ở vị trí a là vị trí quả cầu có cân bằng ở biên giới ổn
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 7

định; quả cầu ở vị trí b và d là vị trí quả cầu có cân bằng ổn định; quả cầu ở vị trí c là vị trí quả
cầu có cân bằng không ổn định.
Ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở về trạng
thái ban đầu được – hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong
phạm vi rộng. Trong trường hợp này, việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến
tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thông mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ
số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.

Ví dụ 2: Đồ thị các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động:
Thì hệ thống đó có phương trình đặc tính là
1 ( ) 0GH z

- Hệ thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái:
( 1) ( ) ( )
(2.1)
( ) ( )
dd
d
x k A x k B r k
c k C x k

  






Thì phương trình đặc tính là:
det( ) 0
d
zI A
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 9


Khi cho
0
x
= 0 với
()uk
bị chặn thì
()yk
cũng bị chặn,
0k 
.
Điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung
()gk
với
( ) ( )u k k


thỏa mãn:
0
( ) (2.3)
k
gk





Chứng minh:
Tín hiệu vào
()uk
có thể viết là:


, đối với tín hiệu vào bất kỳ
()uk
.
000
( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2)
( ) ( ) ( ) ( ) (k ) ( ), 0
kk
nnn
y k u g k u g k u g k
u n g k n u n g k n u n g n k


     
      


Áp dụng điều kiện (2.3) ta được:
00
0
( ) ( ) ( ) (k ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
n
y k u n g k n u n g n
u k M y k M g n





không bị chặn.

 Đáp ứng xung
Là biến đổi
Z
đảo của
()Yz
phụ thuộc các cực của
()Yz
.
+ Giả sử
()Yz
có cực thật
za
, bậc bội
m
:
   
 
1( ) 1( 1)
11
1
zz
z
( ) (2.4)
mm
mm
AA
A
Yz

.
+ Trường hợp có nghiệm phức bậc bội
m
ở
j
re


biến đổi
Z
đảo là tổng các thành phần
   
!cos( )
1 ! 1 !
k
m
m
kk
Ar
k m m


  

Các thành phần tiến về 0 nếu
1r 
.

Kết luận: Hệ thống ổn định BIBO nếu các cực của hệ thống nằm trong vòng tròn đơn vị
mặt phẳng

Đa thức đặc trưng
zI F
có bậc
n
,
()z
có thể phân tích thành các tổng phân số
riêng, do đó
( ) 0xk 
khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng (trị riêng của
F
) nằm bên trong
đường tròn đơn vị.
Hệ thống ổn định nếu mọi nghiệm của đa thức đặc trưng nằm bên trong đường tròn đơn
vị.
Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có nghiệm đơn trên đường tròn đơn vị, các nghiệm còn
lại bên trong đường tròn đơn vị.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 11

Hệ thống không ổn định nếu có nghiệm ngoài đường tròn đơn vị hay có nghiệm bội trên
đường tròn đơn vị.

 Ổn định tiệm cận Lyapunov
Nếu hệ thống bị rời khỏi trạng thái cân bằng do tác động nhiễn thì sau đó hệ thống có khả
năng quay trở lại trạng thái cân bằng.
Đa thức bậc
n
theo

x x x x   

Nói cách khác là hệ thống ổn định ở gốc nếu
()xt
không ra khỏi hình cầu bán kính
R
.

+ Nếu hệ thống ổn định ở gốc và
( ) 0xt 
thì ổn định tiệm cận.
+ Nếu hệ thống ổn định tiệm cận và
( ) (0) , , 0
bt
x t a x e a b


thì ta nói là hệ thống
ổn định theo hàm mũ với vận tốc
b
.
+ Nếu hệ thống ổn định với bất kỳ giá trị đầu
(0)x
thì gọi là hệ thống ổn định toàn cục.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 12

- Định lý tuyến tính hóa Lyapunov (xét cho hệ phi tuyến):
+ Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến

pT
w
e



   


với
2
pT
w 

Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng
w
như sau:
12
1 2 1 0
( ) (2.6)
n n n
n n n
F w b w b w b w b w b


     Bảng Routh - Hurwitz được thiết lập như sau:



…
2n
w


1
c

2
c

3
c

…
…
…
…
…
…
1
w

1
j


n n n n
n
b b b b c b b b
cd
bc
b b b b
c
b
b b b b
c
b
     

  

  








Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz có nghĩa là số gốc của phương trình đặc tính ở bên phải mặt
phẳng
p
bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy. Do đó, hệ được xem là ổn định
nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu.



Thành lập bảng Routh – Hurwitz:
2
w

2,7
0,7
1
w

0,6
0
0
w

0,7

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 14

Nhận thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định.

Ví dụ 2: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như trên hình. Sử dụng tiêu chuẩn
Routh – Hurwitz để xác định giá trị của
k
để hệ ổn định. Giả thiết
0k 
và
1Ts

pp






hay
(0,368 0,264)
( ) 0
(z 1)(z 0,368)
kz
Gz




Do vậy, phương trình đặc tính sẽ có dạng:
2
(0,368 0,264)
1 0 (1,368 0,368 ) 0,368 0,264 0
(z 1)(z 0,368)
kz
z k z

       


Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng
w


1,264 – 0,528k

0
0
w

0,632k
Để hệ thống ổn định thì các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu
1,264 0,528 0 2,4kk   3. Tiêu chuẩn ổn định Jury
Biểu diễn phương trình đặc tính bậc n của hệ thống như dạng sau:
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 15

1
1 1 0
( ) , 0 (2.7)
nn
n n n
F z a z a z a z a a


     


…
nk
z


…
1n
z


n
z

0
a

1
a

2
a

…
nk
a


…
1n


1
b

2
b

…
nk
b


…
1n
b
1n
b


2n
b


3n
b




3n
c


4n
c


…
2k
c


… …
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
m

1
m

2
m

Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong đường tròn đơn vị là:
0
(1) 0, ( 1) ( 1) 0, (2.8)
n
n
F F a a    

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 16





Tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên phức tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống
bậc 2 và bậc 3 thì tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều.
 Đối với hệ bậc 2, ta có phương trình đặc tính như sau:
2
0 1 2
()F z a a z a a  

Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu:
02
(1) 0, ( 1) 0,F F a a   

 Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau:
23
0 1 2 3 3
( ) , 0F z a a z a a a z a    

Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu :
03
0 3 0 1
3 0 3 2
(1) 0, ( 1) 0,
det det
F F a a
a a a a
a a a a




.
Sử dụng tiêu chuẩn ổn định Jury để kiểm tra xem hệ thống có ổn định hay không.

Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng:
2
2
0,2 0,5
1 ( ) 1 0 0,7 0
1,2 0,2
z
G z z z
zz

       


Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:
02
(1) 0,7 0, ( 1) 2,7 0, 0,7 1F F a a       


Hệ thống không ổn định.

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 17


0 3 0 1
3 0 3 2
01
32
0,1 1
det det 0,99 0,99
1 0,1
det det
0,1 1,4
det det 1,2 1,2
12
aa
aa
a a a a
a a a a
aa
aa




   




   




5
2
3
1
Hàng 2
1
3
2
5
Hàng 3
51
1
4,8
5
15


53
1
1,4
5
12


52
1
2,6
5
13


3,39 Hàng 7
3,39 0,61
1
3,28
3,39
0,61 3,39
 Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 của bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 19

Phần III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.

I. Ổn định của hệ thống tuyến tính
1. Điều kiện ổn định của hệ thống.
Hệ thống ổn định khi
lim ( ) 0
t
et


(5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi (biên giới ổn định).

Để biết hệ thống điều khiển tự động có ổn định hay không ta phải giải phương trình vi phân
mô tả quá trình động học của nó. Dạng tổng quát:
Mô tả các trạng thái quá
độ của hệ thống điều
khiển tự động.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 20

11
0 1 1 0 1 1
11
(3.1)
n n m m
n n m m
n n m m
d y d y dy d u d u du
a a a a y b b b b u
dt dt
dt dt dt dt



        

Nghiệm của phương trình (3.1) gồm hai thành phần:
0
( ) ( ) ( )


0
()yt
là nghiệm riêng của (3.1) đặc trưng cho quá trình xác lập. Nghiệm riêng này phụ
thuộc vào tác động đầu vào, nếu tác động đầu vào cố định thì
0
()yt
cũng cố định, như vậy nó
không ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống.
Tính ổn định của hệ thống được phản ánh qua nghiệm tổng quát, nghiệm này hoàn toàn
không chịu ảnh hưởng của tác động bên ngoài, vì vậy tính ổn định là tính chất bên trong của hệ
thống, là bản chất của hệ thống.
Để xác định
()
qd
yt
ta phải tính nghiệm của phương trình đặc tính:
1
0 1 1
0 (3.3)
nn
nn
a p a p a p a


    

Nghiệm tổng quát của
()
qd




+ Nghiệm thuần ảo:
ii
pj

 Ảnh hưởng của các loại nghiệm đến tính chất của hệ thống:
Khi nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thực (hệ không dao động):
00
lim
0
i
t
i
t
i
khi
e
khi









  



Nếu nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thuần ảo:
lim
i
jt
t
e



dao động với biên độ không đổi. Kết luận:
- Hệ thống điều khiển tự động ổn định (
lim ( ) 0
t
et


) nếu tất cả các nghiệm của
phương trình đặc tính có phần thực âm (các nghiệm nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức).
- Hệ thống điều khiển tự động không ổn định (
lim ( )
t
et

0 1 1
0
nn
nn
a p a p a p a


    

Như vậy phương trình đặc tính có hai loại nghiệm:
+ Nghiệm thực:
ii
p


(giả sử có m nghiệm).
+ Nghiệm phức:
k k k
pj

  
có
2
nm
nghiệm. với
,,
i k k
  
đều dương.
Phương trình đặc tính được chuyển sang dạng:




   




Khai triển vế trái của phương trình (4.1) ta sẽ được một đa thức gồm các hệ số dương.
Đây chính là điều kiện cần thiết của hệ thống ổn điều khiển tự động.
Như vậy điều kiện cần thiết để hệ thống ổn định là tất cả các hệ sổ của phương trình đặc
tính phải dương (mở rộng ra là các hệ số phải cùng dấu).
Ví dụ: Một hệ thống tự động có phương trình đặc tính:
32
0,2 3 0,1 5 0p p p   
.
Ta thấy các hệ số
0, 1,3
i
ai
nên hệ có thể ổn định. (Để biết hệ có ổn định hay
không thì cần phải xét đến các điều kiện đủ)

2. Tiêu chuẩn Routh
a. Phát biểu tiêu chuẩn Routh
Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hàng trong cột thứ
nhất của bảng Routh dương.

b. Thành lập bảng Routh.
Giả sử hệ thống có phương trình đặc tính bậc n:


3
a

5
a

7
a0
b

2
b

4
b

6
b1
b

3
b


1 3 1 5
1 3 1 5
00
0 2 0 4
a a a a
bb
a a a a
a a a a
bb
b b b b
   
   

Cách thành lập bảng
- Dòng đầu tiên của bảng Routh ghi các số hạng có chỉ số chẵn, dòng thứ hai ghi các số
hạng có chỉ số lẻ.
- Mỗi số hạng trong một hàng của bàng Routh là một số âm có giá trị là một định thức
bậc hai với cột thứ nhật là cột thứ nhất của hai hàng ngay sát trên hàng có số hạng đang tính; cột
thứ hai là hai hàng ngay sát trên và nằm bên phải hàng có số hàng đang tính.
- Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng.

Tính chất của bảng Routh
- Có thể nhân hoặc chia các số hạng trên cùng một hàng của bảng Routh với một số
dương thì kết quả tính toán vẫn không thay đổi.
- Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng số nghiệm của
phương trình đặc tính có phần thực dương.
- Nếu trị số gần cuối ở cột một bằng 0
 
1
0

2
( ) ( )
1
1! 2!
p
pp
e




   

- Tiêu chuẩn Routh có thể áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín.

c. Một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính:
5 4 3 2
12 6 18 6 6 1 0p p p p p      Giải:
 Điều kiện cần
Ta nhận thấy
0, ( 0:5)
i
ai
nên hệ thỏa mãn điều kiện cần để hệ thống ổn định.
 Điều kiện đủ
- Lập bảng Routh:

3
b1
b

3
b0
c
0
c
1
c
1
c
  

Bộ điều khiển có hàm truyền đạt:
()
C P D
W p K K p
(Bộ PD).