TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
*
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
XUÂN HÒA, 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
XUÂN HÒA, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với
thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học
chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả
Hoàng Thị Thu Huyền
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS.

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa các dạng bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương
pháp biến đổi tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi
Hankel, biến đổi Mellin.
Trong chương 1, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số
ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều hòa trong
5
miền vô hạn trong nửa mặt phẳng và miền hình dải, giải bài toán Cauchy đối với
phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trong một thanh dài vô hạn.
Trong chương 2, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Hankel và xét một
số ứng dụng giải bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng trong hệ tọa độ
cực và tọa độ trụ.
Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin và một số ứng dụng giải các
phương trình đạo hàm riêng trong các miền hình nêm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau đây: biến
đối Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin cùng một số ứng dụng của chúng trong
giải các phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên trong cơ học và vật lý khác mà chưa có trong các tài liệu
tham khảo.
Chương 1
/ ọ
Biên đôi Fourier
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng dụng
giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn. Nội dung cơ


1

(R) T H Ì

/ € C O , V Ớ I

Co l à k hô ng g i an c á c hà m số li ê n tục ti ế n d ần về 0 tạ i
vô cự c . Hơ n nữ a ,
—
kh i đ ó, g ( x ) = / (à) hầ u h ế t t rê n R.
1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier T í n h c hấ t
1. 1. f r ( x ) = f ( r x ) . Ta có
/(A) = -/(-).
r \ r J
Ch ứn g m i n h.
00
/(A) = -±= J f ( rx ) e
i X
*d x
00
00
= —!= í ỉ {t ) e
i U
!
r
dt
ry 2 T Ĩ J
—00
□

Với mọi M

nguyên dương, ta có
a
D
m
f( A) = - j =J ( i x)
m
f( x ) e
ị X x
dx .
— a
Do / € i
1
(—A , A )

nên tích phân bên phải hội tụ với 771 nguyên dương. Suy ra, / là hàm
giải tích trên c. □
Tính chất 1.4. Cho / E L
1
(R) thỏa mãn tính chất /' € L

L

(R) và / liên tục tuyệt đối trên
mọi khoảng hữu hạn. Khi đó,
(/')
A
= -iA/.
C H Ứ N G M I N H .

= 2 T Ĩ F G .
d t .
9
C H Ứ N G M I N H .

Sử dụng định lý Fubini dễ dàng chứng minh được / * G

€ i
1
(R). Theo
định lý Fubini, ta có
J ( f * g ) (x ) e
i X x
dx = J ị j f (í) g ( x - t ) dt Ị e
i X x
dx
—
= 2TT/(A)5(A).
□
Tính chất 1.6. Gọi s là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, nghĩa là / e
C
00
và
Bất đẳng thức trên cho thấy X

P

F (

Q

:)]
A
= (-i)
p
(iA)V/(s)]
A
= (- i )
p
( z
p
ỉ )
{ q ]
( x)
< M v à (X

P

F )

{ Q ]

e L
1
(R).
Suy ra, / € s vì ( X

P

F Ý



(*)
< M .
< M
□
1.2 Biến đổi Fourier trong ư
Định lý 1.3. ( P ỉ a n ch e r e ỉ - 1 91 0) . Vớ i m ọi / e L
2
(R), N > 0, t a đặ t
N
F
N
{f } ( A) = ^= / f (x ) e
i X x
dx .
- N
Kh i đ ó
(A ) F
N
{/} h ội t ụ t r o n g L
2
(R) đ ến m ột hà m F {/} k hi N ^ oo. Hơ n n ữa ,
00 00
\\ F { Ỉ }\ \ 1 = / \ F {/} (A)|
2
dA = Ị \ f{ x) \
2
dx = \ \ f\ \ l
— 00 —00
(b ) Nế u f £ L

I X X

D

\, với hầu hết X .
V 2 T Ĩ J
— 00
Định lý 1.4. ( H a us do rf f - Yo un g ) .
Ch o f e L
1
(M) n L
2
(R). G i ả s ử 1 < p <
2
v à q l à số đối ng ẫ u c ủ a p, n gh ĩ a là ,
- + - =
1
t hì
p q
1
' oo 5 ^ ( a o
ị |/(A)| d x\ < < Ị
1,-00 ) oc
1
1
Ộ
N
V ớ i h à m

/ e L

q
(R).
Nó k h ô n g c ò n ỉ à s o n g án h v à đ ẳ n g cự .
1.3 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng
Xét bài toán sau đây. Tìm hàm U ( X , Y

) thỏa mãn phương trình D

2

U
D

2

U
7T^ + =°> -00

< X < oo, 0 < Y <

00

(1.8)
ơx
z
ơ y
z
và các điều kiện
ĩi(a:,0) = g(x), — oo < X < 00, (1 -9)
•u(±oo, y ) = 0, ^(±00, y ) = 0, u (x , +oo) = 0.

^
y
+ B ( £ ) e ^ \
y
,
1
2
- ự ủ i ề , v ) = 0- (1.12)
— trong đó j4(£), B ( Ç )

là các hàm số bất kỳ theo £. Từ điều kiện thứ ba trong
(1.10), suy ra Û ( Ç ,

+00

) = 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi B ( Ç )

= 0.
— Như vậy, ta có
—00
— ù{ t, y) = m )e -
ị x i ị v
, u( x , y ) = Ị - Ị А (0 е -м *е -
х
* d Ç. (1.13)
—— 00
— Để tìm hàm A ( Ệ ) ,

ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.9). Ta có
—

e
-y \í \
=
I [
e
it *
y

d X, y> 0.
—
7
T J y
z
+ X
z
—
—
1
3
— Nhân hai vế của (1.17) với G ( X ) ,

rồi trừ theo từng vế với (1.16), ta được
—
—
— Bằng cách đổi biến A = Y R ,

ta biến đổi công thức trên về dạng
—
— y(z,ỉ/) - s(z) = ±^1


6 Từ đó, suy ra
7 K x , y ) - Ổ ( Z ) |
= e.
8 Do tính nhỏ tùy ý của E ,

ta suy ra
9 lim u( x , y ) =
g( x) . y->+0
10 Có thể chứng minh bài toán (1.8) - (1.10) trong lớp hàm bị chặn không thể có
nhiều hơn một nghiệm. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý:
1
4
00
=
_1 /" +
7T J 1
— 00
N oo
: 1 í d r

2 e

£ 1 í d ,T

»7 T J T
2
+ 1 3
+
3 7T 7 T
2


của phương trình (1.19) trong miền n thỏa
mãnđiều kiện
19 biên
20 I ỚỈ>1 _
21
$1
L=fc
= r
Ả
x
)i 1TV = 010*0,
(!-
20
)
22 y = h
23 \ y = h Q y
24 Ô$1
25 = U i ( x ) , i ẽ I .
(1 . 2 Í)
26 y =0
27
1
y—
0
’ D Y
28 Bài toán này có thể được mô tả như độ võng của một mặt trong dải với cạnh - Y
=

0 và Y = H

D ^ I ( Ị , Y ) _

+ = 0i
(124)
36 trong đó $1

(£,y) = F

X

[ < & I ( X ,

y)](£) là biến đổi Fourier theo X của hàm $1
( X , Y ).

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.24) đưa về dạng
37 ĩi(f,ỉ/) = ^i(0 cosh(|£|ỉ/) + B Ị ( £ ) Y

cosh(|£|y)
38 +ơi(0 sinh(l^ly) + D Í I O Y

sinh(|£|ĩ/),
(1.25)
39 trong đó Ai(£), 5i(£)> Ci(^), -Di(£) là hàm tùy ý biến £. Giá trị $1

(0

,Y )

là hàm

( 0 + c
1
( № \ = MO-
47 (1.26)
48 Giải hệ (1-26) ta được
49 M O = M O ,
50B

, -
=
- Ị£Ị [sinh (1^1

H )

+ |g| focosh(|g| /Q]fi(£) + |£Ị sinh(|£Ị

H ) G

i(g)
51 sinh
2
(|£| H ) -

(|£| H F

|
[sinh


H

cosh (|£Ị

H ) ] R
1(0

-

H

sinh(Ị£Ị
ft)Âi(g)
52 sinh
2
(|£| H ) -

(|£| H F

(l£Ị fe

2
)^i(Q + [|


cosh (|£| fo)]gi(£) +

\ T \

2

H

sinh(Ị£Ị

H ) F I ( Z )
53 sinh
2
(|£| h ) -

(|£| h ý

|
[|£Ị

h -

cosh (Ị£|

h)

sinh (Ị£Ị

h) ] ù

Ớ
4
Ỉ>9
56
a2
^'») = ^
+ 2
£w
+
lề

-°
( 1
'
2 7 )
57 trong miền
58 n = {(X , Y

) : —00

< X < 0 0 , 0 < y < H } .
1
8
59 Xét bài toán giá trị biên sau. Tìm nghiệm $ 2

( X , Y )

của phương trình (1.27)
trong miền n thỏa mãn điều kiện biên
I ớ$2

64 M[ $
2
]( x , y ) = ^ + v^, 0< v < ^ .
(1.30)
65 Bài toán này có thể được mô tả như độ võng của một mặt trong dải với cạnh
biên kẹp Y = H ,

còn biên Y =

0 có gối tựa bản lề. M[$2

] là momen uốn theo trục O Y .
66 Lấy biến đổi Fourier theo biến X cho phương trình (1.27), ta được
67

d * $ 2( f, v )

_ ^
2
d

2
Ỉ 2 ( {, y)
+ = 0j (131)
68 trong đó $2(^5

Y

(í) sinh(|£|ỉ/) + D

2

(O Y

Binh(|£|ĩ/),
(1.32)
71 trong đó ^2(0) -^2

(03

C2

(0

: £ >

2(0

là hàm tùy ý biến £. Giá trị $2

(0

,2

/) được hiểu
là
72 $
2

là hàm ẩn.
79 Cho thỏa mãn các điều kiện biên (1.28) và (1.29) ta được hệ phương trình đại
số tuyến tính để xác định các hàm số ^2

(0

; B 2 Ì O ’ C Ĩ I Q ,

-^2(0

sau đây
80
r
A

2

( 0

cosh(|£|/ỉ + B

2

{ T , ) H )

cosh | £ | H

+ c
2
(0 sinh(|£|/ỉ) + D


A

2

(0

+ 2|Í|D
2
(Í). $,({).
83 (1.34)
1
9
520*01
X

€ K, (1-28)
(1.29)
84 Giải hệ (1.34), ta được = /2

(0

,
85
=
2ỊC|

2
2 + Ị Ị - V )

|£l sinh

2
(|£l fe)]/

2

(0

|É| [2 lÉl H -

sinh
2(|í| H ) ]
87

_ _

2 |£|


) Ủ

2

(Q

- |g| [(1 -

V ) ( \ Z \ H Ý

- 2cosh

2
|g|

H ] F

2

(0

líl [2 |£| H -

sinh 2
(| £| /ỉ,)]
89 ủ2 ( 0 - ( l -v m



0, -00 < X

< oo)
(1.35)
93 và điều kiện ban đầu
94 •u|
t
_
0
= < P ( X ),

(—00 < X <

oo),
(1.36)
95 trong đó, Ự > ( X )

là hàm liên tục và bị chặn.
96 Vận dụng nguyên lý cực trị có thể chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài
toán (1.35)-(1.36).
97 Định lý 1.6. B ài t o án Ca uc h y ( 1. 3 5 ) - ( 1. 3 6) kh ô n g t hể c ó n h i ề u h ơ n
mộ t n g h iê m b ị c hặ n.
98C H Ứ N G M I N H .

Tác động biến đổi Fourier theo biến số X


—00
106 Trong (1.38) cho T =

0, sử dụng (1.36), ta có
107 (p ( x ) = 0) = — I A ( £) e
i x
^ d X .
108 Từ đây, suy ra
109 )e"
íểA
ưe (1.39)
— 00
110 Thay (1.39) vào (1.38), ta được
111 00 00
112 = / ( / v( 0 e -
i H
d^ e -
a 2 x
\
i x X
dX .
— 00 — 0 0
113 Để thuận tiện, chúng ta biến đổi biểu thức trên đây về dạng:
114 00 00
115 J d X Ị (p(£)e~
a A
* cos A(£ — x) d£
—00 —00 00 00
116 = —J d X Ị
(p (£ ) e~

——
K

'

2tt
123 aXVt = z, A(£ — x) = ụ,z, dX = —-T=, ỊX = -—
124 av t av t
2
2
125 00 00
126 / e ~
a
A
* cos A(£ — x) d£ = —Ị e ~
z
cos f Ấ Z dz = —-
i = J{ ị ì) . J avt J av t
127 0 0
128
129 Lấy đạo hàm J(/i) theo F I ,

ta được
130
131 00
132 = — J e ~
z
z
sin ị i z d z . 0
133 Việc lấy đạo hàm là hoàn toàn được phép vì tích phân trên đây hội tụ đều.

(g - *)

2
145 J v ( í ) e i a H
d(. (1.41)
146 Công thức (1.41) được gọi là công thức Poisson, còn hàm
147

(j - *)

2
148E ( X ,T ) =

7

=e 4a
2
í
2 av 7rí
149 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt (1.35).
2
3
Vì thế,
J
'
w =
-2 /


S-
(!-
42
)
—
—
— Dễ thấy rằng, tích phân hội tụ đều khi T > T O >

0, bởi vì
— Ii p( x + 2a aV t ) e ~
a
a
m
\ < M \ a ị
m
e~
a
— là hàm khả tích trên (—00

,00

). Vì hàm dưới dấu tích phân (1.41) là nghiệm cơ
bản E( X , T )

của phương trình truyền nhiệt nên hàm U ( X , T )

được xác định bởi tích
phân(1.41) thỏa mãn phương trình (1.35). Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm (1.41) cũng thỏa
mãn (1.36) theo nghĩa