BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI, 2014

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán biên một
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp
sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Giới thiệu bài toán biên một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Công thức biến phân cho bài toán biên 1 chiều . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Phương pháp phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Pois-
son. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1. Bài toán biên cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Công thức biến phân cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson . . . . . . 24
2.3.1. Không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Ước lượng sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3. Các vấn đề về tính toán, giải số của phương pháp phần
tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Bài toán biên 1 chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Bài toán biên 2 chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc
giải các phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ các bài toán trong cơ học,

xỉ lời giải của bài toán này.
• Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những
bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời
rạc. Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình
chữ nhật với mối quan hệ đơn giản.
• Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng
thực hiện được.
• Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của
PPPTHH.
• Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH.
Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác.
1.2. Giới thiệu bài toán biên một chiều
Chúng ta xét bài toán biên (D) được cho như sau:
Bài toán (D): Tìm u ∈ V sao cho



−u”(x) = f(x), 0 < x < 1,
u(0) = u(1) = 0,
(1.1)
trong đó f là một hàm liên tục cho trước, V là một không gian hàm nào
đó. Bằng cách lấy tích phân phương trình −u” = f hai lần, ta dễ dàng
thấy rằng bài toán có duy nhất nghiệm u.
Trong thực tế, bài toán biên (D) là mô hình toán học của rất nhiều bài toán
trong thực tế, chẳng hạn như một số bài toán trong cơ học dưới đây:
A. Thanh đàn hồi
Ta xét một thanh đàn hồi cố định ở cả hai đầu và chịu một lực ngang theo
phương tiếp tuyến với cường độ f(x) (Xem hình 1.1). Cho σ(x) là lực đàn
hồi và u(x) là vị trí của x theo phương ngang. Theo các định lí vật lí chúng
ta có


bị chặn, trơn từng khúc trên [0,1]
và v(0) = v(1) = 0}
Trên không gian V , ta xây dựng tích vô hướng như sau
(v, w) :=
1

0
v(x)w(x)dx, v, w ∈ V.
Ta xét phiếm hàm tuyến tính F : V → R được xác định bởi
F (v) :=
1
2
(v

, v

) − (f, v), với v ∈ V.
Các bài toán (M) và (V) được cho như sau:
Bài toán (M): Tìm u ∈ V sao cho F(u) ≤ F (v), ∀v ∈ V
và
Bài toán (V): Tìm u ∈ V sao cho (u

, v

) = (f, v), ∀v ∈ V
Ta có định lý sau:
Định lí 1.3.1. Ba bài toán (D), (M) và (V) là tương đương nhau, tức là
nghiệm của bài toán này là nghiệm của hai bài toán kia và ngược lại.
Chứng minh.

1

0
u

(x)v

(x)dx
⇔ −(u

, v) = −u

(1)v(1) + u

(0)v(0) + (u

, v

) = (u

, v

);
nên
(u

, v

) = (f, v) ∀v ∈ V. (1.2)
Suy ra u là nghiệm của bài toán (V).


, w

) ≥ F (u)
từ (1.2), (u

, w

) − (f, w) = 0 và (w

, w

) ≥ 0, nên u là một nghiệm của
bài toán (M).
Mặt khác, nếu u là một nghiệm của bài toán (M) thì với mọi v ∈ V và
số thực  ta có
F (u) ≤ F(u + v).
Với u + v ∈ V . Do hàm
g() = F (u + v) =
1
2
(u

, u

) + (u

, v

) +

(u

1
, v

) = (f, v) ∀v ∈ V
(u

2
, v

) = (f, v) ∀v ∈ V
Trừ vế với vế các phương trình trên và chọn v = u
1
− u
2
∈ V , chúng ta
được
1

0
(u

1
− u

2
)
2
.dx = 0,

0
u

(x)v

(x)dx =
1

0
f(x)v(x)dx, ∀v ∈ V.
Nếu giả thiết u

tồn tại và liên tục thì sử dụng tích phân từng phần và
điều kiện biên u(0) = u(1) = 0 ta có −
1

0
(u

(x) + f(x))v(x)dx = 0, ∀v ∈
V .Nhưng do giả thiết (u

+ f) liên tục nên (u

+ f)(x) = 0, 0 < x < 1
và suy ra u là nghiệm của bài toán (D). Như vậy chúng ta đã thấy rằng
nếu u là nghiệm của bài toán (V) và thỏa mãn thêm giả thiết chính quy
(u

liên tục) thì u là nghiệm của bài toán (D). Ta lại thấy rằng nếu u

j
− x
j−1
, j = 1, , M + 1. Đặt h := max
j=1, ,M+1
h
j
, là
tham số để đo độ mịn của phân hoạch. Không gian con V
h
được định nghĩa
như sau:
V
h
:={ v : v liên tục trên [0,1], tuyến tính trên mỗi khoảng con I
j
và v(0) = v(1) = 0}
Hình 1.3: Ví dụ về một hàm v ∈ V
h
Ta nhận thấy rằng V
h
⊂ V và có số chiều hữu hạn. Để xây dựng một cơ sở
của V
h
, ta chọn các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
, i = 1, . . . , M được xác định như sau:
ϕ

i+1
/h
i+1
, nếu x
i
≤ x < x
i+1
0, nếu x ≥ x
i+1
Mỗi hàm cơ sở ϕ
i
là hàm tuyến tính từng khúc, liên tục, nhận giá trị bằng 1
tại x
i
và bằng 0 tại các điểm nút khác (xem Hình 1.4).
Hình 1.4: Là hàm cơ sở của ϕ
i
Với mỗi hàm v ∈ V
h
, đặt η
i
= v(x
i
), i = 0, . . . , M + 1. Khi đó hàm v có
thể biểu diễn theo cơ sở {ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n

u(0) = u(1) = 0
Bài toán (M
h
): Tìm u
h
∈ V
h
sao cho F (u
h
) ≤ F (v), ∀v ∈ V
h
Bài toán (V
h
): Tìm u
h
∈ V
h
sao cho (u

h
, v

) = (f, v), ∀v ∈ V
h
Ta có định lí sau đây:
Định lí 1.4.1. Ba bài toán (D
h
), (M
h
) và (V

đều là tổ hợp tuyến tính của
các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
, i = 1, . . . , M. Do đó, nếu u
h
∈ V
h
thỏa mãn (1.3), thì
các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
, i = 1, . . . , M, cũng sẽ thỏa mãn (1.3), tức là:
(u

h
, ϕ

i
) = (f, ϕ
i
), i = 1, . . . , M. (1.4)
Ngược lại, nếu tất cả các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
cũng sẽ thỏa mãn (1.3), với mọi
i = 1, . . . , M, thì bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy u

1
, . . . , η
M
. Dạng ma trận của hệ (1.5) được cho dưới dạng
Aη = b, (1.6)
trong đó A = (a
ij
) là ma trận cỡ M × M, b
i
= (f, ϕ
i
) là véc tơ M chiều
A =







a
11
· · a
1M
· · · ·
· · · ·
a
M1
· · a
MM







b
1
·
·
b
M







Các phần tử a
ij
= (ϕ

i
, ϕ

j
) trong ma trận A có thể dễ dàng tính được. Trước
tiên chúng ta nhận thấy rằng (ϕ


j
dx +

x
j+1
x
j
1
h
2
j+1
dx =
1
h
j
+
1
h
j+1
,
với j = 1, , M, và
a
j,j−1
= (ϕ

j
, ϕ

j−1
) = (ϕ


i
), do
đó
a
j−1,j
= a
j,j−1
= −
1
h
j
, với j = 2, , M.
Như vậy các phần tử của ma trận A đều tính được theo các công thức ở trên.
Ta nhận xét rằng A là ma trận xác định dương vì với mỗi η ∈ R
M
, ta chọn
v(x) :=

M
j=1
η
j
ϕ
j
(x) và có
η
T
Aη =
M

) = (v

, v

)  0,
Dấu bằng xảy ra nếu v

≡ 0. Từ v(0) = 0 suy ra v ≡ 0, tức là η
j
= 0
với j = 1, , M. Do vậy A là ma trận xác định dương. Chúng ta nhắc lại
rằng ma trận M × M đối xứng A = (a
ij
) được gọi là xác định dương nếu
η
T
Aη =

M
i,j=1
η
i
a
ij
η
j
> 0, ∀η ∈ R
M
, trong đó η
T







2 −1 0 · · · · 0
−1 2 −1 0 · · · ·
0 −1 2 · · · · ·
· 0 · · · · · ·
· · · · · · · 0
· · · · · · 2 −1
0 · · · · 0 −1 2

























=















b
1
·
·
·
·
·

∈ V
h
, (V
h
là không gian các hàm tuyến
tính từng khúc, hữu hạn chiều). Gọi u là nghiệm của bài toán biên (D) trong
không gian V , không gian vô hạn chiều. Ta đặt câu hỏi rằng, liệu nghiệm u
h
có phải là xấp xỉ của nghiệm u hay không?
Muốn vậy, ta sẽ đánh giá sai số |u −u
h
|. Nếu sai số này là nhỏ thì ta có thể
kết luận như trên. Đồng thời, đánh giá sai số cũng giúp ta biết rằng: để thu
được nghiệm xấp xỉ ngày càng tốt, ta cần phải gia tăng số chiều của không
gian V
h
, tức là phải xây dựng không gian V
h
với các điểm chia ngày càng mịn,
tức là h nhỏ.
Định lí 1.5.1. Sai số của nghiệm xấp xỉ u
h
và nghiệm đúng u được đánh giá
như sau:
|u(x) − u
h
(x)|  h max
0≤y≤1
|u



, v

) = (f, v)∀v ∈ V
h
. (1.10)
Trừ (1.3) cho (1.10), chúng ta có được (1.9). Ta sẽ sử dụng kí hiệu w =
(w, w)
2
= (

1
0
w
2
.dx)
1
2
.
. là chuẩn liên quan đến tích vô hướng (., .). Chúng ta cũng nhắc lại Bất
đẳng thức Cauchy :
|(v, w)|  v w . (1.11)
Ta sẽ chứng minh đánh giá cho u − u
h
bằng cách chỉ ra rằng u
h
là xấp xỉ tốt
nhất có thể của nghiệm chính xác u. Với v ∈ V
h
tùy ý và đặt w = u

, (u −
u
h
+ w)

) = ((u − u
h
)

, (u − v)

)  (u − u
h
)

 (u − v)

 . Chia hai vế cho
(u − u
h
)

 ta được bổ đề (1.5.1) (nếu (u − u
h
)

 = 0, rõ ràng đúng). Từ bổ
đề (1.5.1) ta có thể có được một đánh giá định lượng cho sai số (u − u
h
)

u
h
(x
j
) = u(x
j
), j = 0, , M + 1.
Dễ thấy, nếu

u
h
∈ V
h
được chọn theo cách này thì với 0  x  1 ta có


u

(x) −

u
h



 h max
0≤y≤1
|u

(y)| , (1.12)


(y)| . (1.14)
Hình 1.5: Đa thức nội suy u
h
Từ (u − u
h
)(0) = 0 và (1.14) ta có:
|u(x) − u
h
(x)|  h max
0≤y≤1
|u

(y)| với 0 ≤ x ≤ 1
Chúng ta quan sát rằng ước lượng sau này ít sắc nét hơn so với ước lượng
(1.13) cho các lỗi nội suy, nơi chúng ta có một yếu tố h
2
. Với một phân tích
chính xác hơn nó có thể cho thấy rằng trên thực tế cũng là phương pháp
phần tử hữu hạn cho một yếu tố h
2
cho các lỗi u − u
h
.
Chúng ta hãy lưu ý rằng định lượng u, đại diện cho một biến dạng hoặc một
ước lượng trong ví dụ A và B ở trên, thường là lớn hơn (hoặc ít nhất là không
nhỏ hơn) quan tâm thực tiễn có lợi hơn so với đại lượng u trong chính nó, đại
diện cho một trong các trường hợp phép dời hình. Do đó, ước lượng (1.14)
được điều khiển độc lập và không chỉ là một bước trên đường đến một ước
tính của u − u

(2.1)
trong đó Ω là miền mở bị chặn trong R
2
với biên Γ, f là một hàm cho
trước và ∆u =
∂
2
u
∂x
2
1
+
∂
2
u
∂x
2
2
, V là một không gian hàm nào đó.
Một số bài toán trong vật lí và cơ học được mô hình hóa dưới dạng (2.1),
chẳng hạn u thể hiện cho nhiệt độ, hoặc điện thế, từ tính, hoặc là độ dịch
chuyển của một màng co dãn, như trong hình minh họa dưới đây:
Hình 2.1:
2.2. Công thức biến phân cho phương trình Poisson
Xét V là không gian hàm được cho bởi:
V :={ v : v liên tục trên Ω,
∂v
∂x
1
và

∂x
2
∂v
∂x
2

dx. Ta xét hai bài
toán (M) và (V) được cho như sau:
Bài toán (M): Tìm u ∈ V sao cho F(u) ≤ F (v), ∀v ∈ V
và
Bài toán (V): Tìm u ∈ V sao cho a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ V
Ta có định lý sau:
Định lí 2.2.1. Ba bài toán (D), (M) và (V) là tương đương nhau, tức là
nghiệm của bài toán này là nghiệm của hai bài toán kia và ngược lại
Chứng minh.
• (D) ⇒ (V). Để chỉ ra nghiệm u của bài toán (D) cũng là nghiệm của
bài toán (V), ta nhắc lại công thức Green như sau:

Ω
v.  wdx =

Ω

∂v
∂x
1
∂w
∂x
1
+

2
w
∂x
2
1
+
∂
2
w
∂x
2
2

dx =

Γ
v
∂w
∂n
ds −

Ω
v∆wdx, tức là,

Ω
v.  wdx =

Γ
v
∂w

là đạo hàm theo hướng thông thường đối với biên Γ. Ta
nhắc lại định lí phân kì cho mối quan hệ giữa tích phân trong miền và
tích phân trên biên như sau:

Ω
divAdx =

Γ
Ands,
trong đó A = (A
1
, A
2
) là một hàm véc tơ xác định trên Ω, và divA :=
∂A
1
∂x
1
+
∂A
2
∂x
2
. Gọi u = (u
1
, u
2
) là véc tơ pháp tuyến hướng ra ngoài của Γ,
dx là vi phân trong R
2