VẤN ĐỀ TIẾP XÚC TRONG VIỆC THIẾT KẾ MÔ PHỎNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
THE CONTACT PROBLEM IN THE SIMULATED DESIGN
CREATED BY THE FINITE ELEMENT METHOD TRẦN QUỐC VIỆT
Trường Cao đẳng Công nghệ, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT
Bài báo này giới thiệu về các nghiên cứu lý thuyết xoay quanh vấn đề tiếp xúc giữa các vật
thể, và sự áp dụng các thành tựu của những nghiên cứu này khi thiết kế mô phỏng bài toán
có tiếp xúc bằng phần mềm ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ANSYS.
ABSTRACT
This article presents the theoretical research on the contact problem between two or many
objects and the application of their results to produce the simulated design of the contact
problems using the finite element method software ANSYS. 1. Đặt vấn đề
Cùng với sự xuất hiện của máy tính và sự tiến bộ vượt bậc của kỹ thuật tính toán,
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) cũng không ngừng phát triển. Ngày nay phương pháp
PTHH đã và đang được dùng rộng rãi trong các phần mềm mô phỏng số.
Trong các bài toán tính ứng suất cũng như biến dạng của các kết cấu trong cơ học chất
rắn, nếu có từ hai vật thể trở lên tiếp xúc với nhau, thì việc tính toán cũng như việc lập mô
hình để diễn tả các vật thể này trong các phần mềm
áp dụng phương pháp PTHH trở nên phức tạp. Ví dụ,
ta có một khối kim loại 1 đặt lên một khối kim loại 2,
và khối 1 chịu tác dụng một lực F (hình 1). Khi dùng
phương pháp PTHH để tính toán cho ví dụ này, nếu

tiếp xúc lúc đó cũng là bài toán phi tuyến. Thực vậy, các hiện tượng tiếp xúc và ma sát được
biểu diễn bằng các bất phương trình phi tuyến mà chúng sẽ tác động đến các chuyển vị (hoặc
tốc độ chuyển vị) của một phần của bề mặt biên và các phản lực tiếp xúc. Các phản lực này và
các diện tích tiếp xúc cũng là các ẩn số, chúng thay đổi dần dần khi người ta đặt một tải trọng
ngoài. Có nhiều phương pháp đã được đề nghị để giải các bài toán tiếp xúc bằng phương pháp
phần tử hữu hạn: phương pháp lập chương trình toán học 1, phương pháp cản trở
(penalization) 2, phương pháp nhân thức Lagrange 3,
Feng và Touzot đã đề nghị một phương pháp hỗn hợp các phần tử hữu hạn [4].
Phương pháp này khá đơn giản và rất thích hợp để cho lời giải của bài toán phi tuyến cục bộ .
Sau đây ta đi xem xét phương pháp này.
Nguyên tắc của phương pháp hỗn hợp:
Khảo sát hai vật rắn V
1
và V
2
tiếp xúc với
nhau (hình 2), chịu các lực tác động P và các
chuyển vị bị khống chế
U
. Khi sự tiếp xúc diễn ra,
mỗi cặp nút tiếp xúc có thể rơi vào ba trường hợp:
tiếp xúc dính, tiếp xúc trượt và không tiếp xúc.
Trong ba trường hợp này, các điều kiện tiếp xúc và
các phương trình cân bằng các lực tiếp xúc được
trình bày trong [4]. Trong bối cảnh của các phần tử
hữu hạn, phương trình cân bằng của hai vật rắn
được viết trực tiếp như sau:




 
   
   
(2)
trong đó U* tương ứng với các nút có tiếp xúc, U
r
 liên quan đến các nút còn lại trong kết
cấu, R* là véc tơ phản lực liên quan đến các nút tiếp xúc. Bằng cách khử U
r
, phương
trình (2) trở thành:
U
P
P
V
1

V
2

R

R

Hình 2. Kết cấu đang tiếp xúc







 




 
1
*
T
c c rc rr r
P P K K P

  (5)
Theo phương trình (3), ta có được:







* * * *
c p
U F R U
 
 
 
(6)
với

giữa hai vật rắn V
1
và V
2
:









* * * *
1 2 0
X U U X
   (7)
Bằng cách phối hợp các phương trình (2) và (4), ta có:









* * * * *
0

 (9)
r= T
T
R
*
 (10)
trong đó T là ma trận xoay tương ứng với phép biến đổi tọa độ giữa hệ tọa độ cục bộ và hệ
tọa độ tổng thể.
Thay biểu thức (9) và (10) vào phương trình (8), ta được phương trình độ cách giữa
các cặp nút tiếp xúc trong hệ tọa độ cục bộ:
x= fr + u
p
 + x
0
 (11)
trong đó
f = TF
*
T
T
, u
p
= TU
p
*
, x
0
= TX
0
*

 + u
pi
 (13)
Thay (13) vào (12), ta có:
x
i
= fr
i
 + u
pi
 + fr
i-1
 + u
pi-1
 + x
0
 (14)
hơn nữa: x
i-1
= fr
i-1
 + u
pi-1
 + x
0
 (15)
Từ đó ta sẽ nhận được dạng số gia của phương trình (11) như sau:
x
i
 = f r

pi
 - x
i-1

- Sửa đổi ma trận mềm dẻo và thành phần thứ hai (b):
Trong trường hợp tiếp xúc dính, người ta giải trực tiếp phương trình (18) không có sự
sửa đổi nào. Phương trình này cũng luôn còn giá trị cho các nút trong trạng thái trượt hoặc
không tiếp xúc, nhưng trong hai trường hợp này, f và b phải được thay đổi (4 ).
- Tiếp xúc 3D:
Các phương trình căn bản của bài toán tiếp xúc 3D cũng giống như trên. Tuy nhiên
trong trường hợp 3D, sự thay đổi ma sát sẽ gây khó khăn hơn. Trong bài toán 2D, sự trượt
hoặc sang trái hoặc sang phải, do đó việc xác định hướng trượt D tương đối dễ. Nhưng trong
bài toán 3D, việc tìm ra hướng trượt rất khó khăn. Để giải quyết vấn đề này ta có thể dùng
phương pháp chiếu (projection) 5, hoặc phương pháp tường minh (explicit method) 4.

3. Áp dụng lý thuyết tiếp xúc để thiết kế mô phỏng trong phần mềm ANSYS
Khi thiết kế mô phỏng một bài toán
cơ học có tiếp xúc (ví dụ vật 1 đi xuống
tiếp xúc với vật 2, hình 3) trong phần mềm
ANSYS, thì ngoài việc chọn kiểu phần tử
cho vật 1 và vật 2, ta còn phải chọn kiểu
phần tử tiếp xúc cho các nút có khả năng
tiếp xúc khi hai vật chạm nhau. Nhìn vào
hình 3, ta có thể tiên đoán ngay rằng các
nút có khả năng tiếp xúc là các nút ở cạnh
V
ật 1, kiểu phần tử 1 Vật 2, kiểu


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Feng Z. Q., Résolution du problème de contact unilatéral par une méthode de
programmation mathématique: LCP – Linear Complementarity Problem, rapport
interne, MNM/UTC, 1990.
[2] De Saxcé G., Feng Z. Q., Touzot G., Rigid – plastic implicit schema for tow and three
dimensional analysis of metal forming by finite element method, Engrg. Comp., 1992.
[3] Alart P., Curnier. A., A mixed formulation for frictional contact problems prone to
Newton like methods, Comp. Meth. Appli. Mech. Engng., 1992.
[4] Feng Z. Q., Touzot G., Analyses bi – et tridimensionnelle de problèmes de contact
avec frottement par une méthode mixte des éléments finis, Revue eueurropes enne des
éléments finis, Vol.1 - n
o
4, pp 441 – 459, 1992.
[5] Bendhia H., Durville D., Two-dimensional modeling of contact-friction phenomena in
the blankholder arearrea for the drawing process, Euromech 273, Unilateral contact
and dry friction, Montpellier, France, 1990.
[6] ANSYS, Structural Analysis Guide, 3
rd
Edition., SAS IP Inc., USA, 1998.