Đề và đáp án thi thử trường THCS Nghĩa Lâm (Năm học 2011 - 2012)
Thời gian: 120 phút
Câu 1. (3.0 điểm)
Cho biểu thức:
2 3 2
:
1 2 2 2
x x x x x
P
x x x x x x
   
+ − − −
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − − −
   
a) Rút gọn P
b) CM:
1
<
P
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2. (1.0 điểm) Tìm các số x,y thõa mãn:
2 2
( 1) 2 2 2 3 3 0x xy y y x y
+ + + + + − − =
Câu 3. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ 1 làm trong 3 giờ
và tổ 2 làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng việc đó thì trong

:
1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
4 3 2 2 1
:
( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
   
+ − − −
⇒ = − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + − + − −
   
− − + + − + + −
= =
+ − + − + +
x x x x x
P
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
b/ Với
0
4
≥


≠

x
x

1 2 1 1 4 4
1 1
4
1 1 1
≥

+ + − + − +
⇒ = = = + + +

≠
− − −

x
x x x x
x
x
P
x x x
4
1 3
1
*) 1: 0 1 0 1 1 1 0 à x+ 2 0 0(1)
*) 2 : 1 à 4
= − + +
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ + > ⇒ ≤
> ≠
x
x
TH x x x m x P

x x x
x
1
: 9
ax
7
= ⇔ =
KL P x
M
Câu 2:
2 2
( 1) 2 2 2 3 3 0+ + + + + − − =x xy y y x y
Điều kiện:
2 3 3 0(*)
− − ≥
x y
PT
2 2
2 1 2 2 2 3 3 0
⇔ + + + + + + − − =
x x xy y y x y
2
2
2
( ) 2( ).1 1 2 3 3 0
( 1) 0
( 1) 2 3 3 0. :
2 3 3 0
⇔ + + + + + − − =


Ta có phương trình:
1 1 1
15x y
+ =
(1)
Trong 3 giờ tổ I làm được: 3/x (công việc)
Trong 5 giờ tổ II làm được: 5/x (công việc)
Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25% công việc = 1/4
( công việc) ta có hệ phương trình:
1 1 1
1
1 1
24
15
15 24
. :
1
1
3 5 1 40
1
3 5
40
4
4


 
+ =
=
+ = =

y
x y
Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc.
Câu 4:
a) Vì K là điểm chính giữa cung AB nên: Cung AK= cung KB
Kẽ
IF
1
IF .
2
⊥

⇒ =

⊥

AB
CE
CE AB
Xét
VCNE
có:
IF 1 1
IF ( )
2 2
⊥ ⇒ = = ⇒ =
P
IN
CE AB IN CN
CE CN

O A AK O A CA hay C A O
thẳng hàng
Tương tự chứng minh như câu b ta có BK là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác BMN. Và chứng minh tương tự ta cũng có C;O
2
;B thẳng
hàng. Xét tam giác O
1
AN có:
1 1 1 1 1
âO A O N R O AN c n O AN O NA
= = ⇒ ∆ ⇒ ∠ =
Vì KC là đường kính, K là điểm chính giữa của cung AB nên C là điểm chính
giữa của cung lớn AB => Cung CA= cung CB
=> CA=CB => Tam giác CAB cân tại C.
1 1
à
⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
CAB CBA m CAN O NA CBA O NA
Mà
∠CBA
và
1
∠
O NA
đồng vị nên
1
⇒
PO N CB
Chứng minh tương tự ta cũng có:

NO
2
C là hình bình hành nên 2 đường chéo O
1
O
2
và CN cắt nhau
tại trung điểm I của mỗi đường. Từ I kẽ Ì vuông góc với AB tại F. Gọi giao
điểm của CK và AB là E. Vì CK là đường kính và K là điểm chính giữa của
cung AB nên CK vuông góc với AB tại E.
Xét
IF 1 1
ó : IF ( ) IF
2 2
⊥ ⇒ = = ⇒ =
V P
NI
AEF c CE AB CE
CE C N
C, K cố định và AB không đổi nên E cố định nên CE không đổi.
I thuộc đường trung bình PQ của tam giác CAB.
Giới hạn: - Nếu N trùng B thì I trùng Q
- Nếu N trùng A thì I trùng P
Vậy I thuộc đường trung bình PQ
*) Phần đảo:
Lấy I thuộc PQ. Nối CI kéo dài cắt AB tại N. KN cắt (O) tại M. Gọi O
1
;O
2
là tâm

IF ( )
2 2
⊥ ⇒ = = ⇒ =
P
IN
CE AB IN CN
CE CN
 I là trung điểm của CN mà tứ giác O
1
NO
2
C là hình bình hành nên I cũng là trung điểm
của O
1
O
2.
Kết luận: Vậy khi N di động trên AB thì trung điểm I của đoạn nối tâm
O
1
,O
2
của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN chuyển động trên
đoạn PQ là đoạn trung bình của của tam giác ABC.
……………… Hết………………