ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG NGUYỆN
XÂY DỰNG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP
DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG NGUYỆN
XÂY DỰNG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP
DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội - Năm 2014
MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong các
ngành khoa học. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức
hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp. Việc nghiên cứu về
bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và
phát triển tư duy. Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong
phú và đa dạng. Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thức
đều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó. Nhiều bất đẳng thức đã
trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thức

em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình.
Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy cô
luôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc.
Chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014
Người thực hiện

Bùi Trọng Nguyện
2
MỤC LỤC
Chương 1
Bất đẳng thức Bernoulli
Trang
4
1.1. Bất đẳng thức Bernoulli 4
1.2. Một số ví dụ 6
1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 6
1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi 18
Chương 2
Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức
Bernoulli
28
2.1. Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28
2.2. Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 40
2.3. Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức
2
2 1
α
≥ + α
51

, với mọi
x 1.> −
Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc
1.α =
Định lí 1.2 1. Nếu
α
là một số thực thỏa mãn
1α ≥
thì
a 1 .a
α
+ α − ≥ α
, với mọi
a 0.>
(1.2)
Đẳng thức xảy ra khi
a 1=
hoặc
1.α =
2. Nếu
α
là một số thực thỏa mãn
0 1< α ≤
thì
a 1 .a
α
+ α − ≤ α
, với mọi
a 0.>
Đẳng thức xảy ra khi

x x
α β
   
α α
+ − ≥
 ÷  ÷
β β
   
, với mọi
x 0.>
(1.4)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
x x .=
1.2. Một số ví dụ
1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa.
Ví dụ 1.2.1. Giả sử a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng
[ ]
2
3 2 3 2 1 2
a b 2 ab(a b) .
−
+ ≥ +
Ví dụ 1.2.2. Giả sử a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
4
3 3 3
3
a b c 3
b c c a a b
2

+ + ≥
+ + +
, với mọi
n N*.∈
Ví dụ 1.2.5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c
1 1 1 1
3 ,
h h h 3r
     
 
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
     
trong đó
r
là bán kính đường tròn nội tiếp,
a b c
h , h , h
là độ dài đường cao
tương ứng với đỉnh của tam giác ABC.
Ví dụ 1.2.6. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2
2 2 2
3
sin A sin B sin C 3. .

5
Ví dụ 1.2.10. Giả sử có n số dương
( )
1 2 n
a , a , , a n 2 .≥
Chứng minh rằng
i
n n
a
j
i 1 j 1
j i
( a ) n 1
= =
≠
> −
∑ ∑
.
1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi.
Ví dụ 1.2.11. Giả sử
x,y 0>
thỏa mãn
2 2
x y 1+ =
. Chứng minh rằng
1.
3 3
1
x y
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
3 3
A x 3y .= +
Ví dụ 1.2.14. Giả sử
x, y, z 0>
thỏa mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
4 4 4
B x 2y 3z= + +
.
Ví dụ 1.2.15. (Tổng quát) Giả sử có n số dương
1 2 n
x , x , , x
(với mọi
n 2≥
) thỏa mãn
1 2 n
x x x n+ + + =
và
1 2 n
a , a , , a
là các hằng số dương
cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
m m m
1 1 2 2 n n
C a x a x a x .= + + +
6

+ − + − + −
.
Ví dụ 2.1.4. Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác và
, α β
là hai số
thực thỏa mãn
1α ≥ β ≥
. Chứng minh rằng
a b c
b c a c a b a b c
a b c
.
b c a c a b a b c
α α α
β β β
     
+ +
 ÷  ÷  ÷
+ − + − + −
     
     
≥ + +
 ÷  ÷  ÷
+ − + − + −
     
Ví dụ 2.1.5. (IMO-2001). Giả sử a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh
rằng
2 2 2
a b c
1.

minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2
(b c a) (c a b) (a b c) 3
(b c) a (c a) b (a b) c 5
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
.
Ví dụ 2.1.8. Giả sử a, b, c là các số thực dương và
, α β
là hai số thực thỏa
mãn
1α ≥ β ≥
. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
5.(b c a) 5.(c a b) 5.(a b c)
(b c) a (c a) b (a b) c
5.(b c a) 5.(c a b) 5.(a b c)
.
(b c) a (c a) b (a b) c
α α α
β β β
     
+ − + − + −
+ +
 ÷  ÷  ÷

+ − + − + −
     
Bài 2.1.2. Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác,
, α β
là hai số thực
thỏa mãn
1α ≥ β ≥
. Chứng minh rằng
3a 3b 3c 3a 3b 3c
.
2b c 2c a 2a b 2b c 2c a 2a b
α α α β β β
           
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
+ + + + + +
           
8
Bài 2.1.3. Giả sử a, b, c,
,α β
là các số dương,
α ≥ β
. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
.
bc ca ab bc ca ab
α α α β β β
           
+ + ≥ + +

2 2 2
a bc b ca c
a(b c) b(c a) c(a b)
a bc b ca c
.
a(b c) b(c a) c(a b)
α α α
β β β
     
+ +
+ +
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
     
+ +
≥ + +
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
2.2. Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng
thức Bernoulli.
Ví dụ 2.2.1. Giả sử a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng
1.
5
5 5 5
a b c a b c
3 3
+ + + +
 

n n
+ + + + + +
 
≥
 ÷
 
với mọi
r 1
>
.
9
2.
r
r r r
1 2 n 1 2 n
a a a a a a
n n
+ + + + + +
 
≤
 ÷
 
với mọi
r 1<
.
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử a, b là hai số thực dương. Khi đó ta luôn có
a b a b
2 2
+ +
≤

.
Ví dụ 2.2.2. Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn
ab bc ca 1+ + =
. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức sau
3 3 3
1 1 1 1
P 6b 6c 6a
a b c abc
= + + + + + −
.
Ví dụ 2.2.3. Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn
a b c 1+ + =
. Chứng
minh rằng
3 3 3 3
2 2 2 6
9bc 9ca 9ab 27
a b c abc
+ + + + + ≤ +
.
Mệnh đề 2.2.5. Với mọi số thực dương x,
0
x
và
1α >
. Ta luôn có
1
0 0 0
x x .x (x x )



+ ≥ +




+ + + ≥ + + +

với mọi
k N, k 2;∈ ≥
với mọi
1α >
;
1 2 k
x ,x , ,x 0>
và
1 2 k
a a a 0≥ ≥ ≥ >
.
Chứng minh rằng
1 2 k 1 2 k
x x x a a a
α α α α α α
+ + + ≥ + + +
.
Ví dụ 2.2.7. Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn
a 5, a b 8,≥ + ≥
a b c 9+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4
x y 82+ ≥
.
Bài 2.2.14. Giả sử hai số thực x,y thỏa mãn
x 7, x y 10, x y z 18≥ + ≥ + + =
.
Chứng minh rằng
4 4 4
x y z 2483+ + ≥
.
Bài 2.2.15. Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn
a 6,≥

a b 11,+ ≥
a b c 14, a b c d 15+ + ≥ + + + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2014 2014 2014 2014
P a b c d= + + +
.
Bài 2.2.16. Giả sử a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng
1 1 1 1 1 1
2
a b c a 3b b 3c c 3a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
.
Bài 2.2.17. Giả sử a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng

+ + ≥
+ + +
+
.
12
Bài 2.2.21. Giả sử bốn số thực
a, b, c, d 0>
thỏa mãn
a b c d 1+ + + =
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
2014 2014 2014 2014
3 3 3 3
1 1 1 1
P a b c d
a b c d
       
= + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.
Bài 2.2.22. Giả sử a, b, c, d thuộc khoảng
(0;1)
và thỏa mãn
1
abcd
100
=
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

+ − = +
.
2.3. Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng
thức
2
2 1
α
≥ + α
Mệnh đề 2.3. Giả sử
α
là số thực thỏa mãn
0 1≤ α ≤
. Chứng minh rằng
2
2 1
α
≥ + α
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0α =
hoặc
1α =
.
2.3.1. Một số bài toán trong tam giác
Ví dụ 2.3.1. Cho tam giác ABC có hai góc A, B nhọn và thỏa mãn điều kiện
2 2
3
sin A sin B sin C+ ≥
.
Chứng minh rằng
sin A sin B sin C

sin A sinB sinC 5+ + + >
.
Ví dụ 2.3.3. Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh rằng
1.
A B C
tan tan tan
2 2 2
B C A C A B
4cos cos 4cos cos 4cos cos
2 2 2 2 2 2
4
A B C
cos cos cos
2 2 2
     
 ÷  ÷  ÷
+ + >
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
.
2.
A B C
sin sin sin
2 2 2
B C A C A B
4cos cos 4cos cos 4cos cos
15
2 2 2 2 2 2
A B C

α α α α α αα α α
+ + + ≥
.
Ví dụ 2.3.6. (Bài toán mở rộng). Chứng minh rằng
1 2 3
1 1 2 1 2 n 1 n
1 2 n 1 n
sin sin coscos sin cos sin sin sin cos
sin sin sin sin
2 2 2 2
2 n 2.
−
−
α α αα α α α α α α
α α α α
+ + + +
+ ≥ +

14
2.4. Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng
2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy rộng.
Mệnh đề 2.4.1. Giả sử
a,b 0;≥
, > 0α β
và
1α + β =
. Chứng minh rằng
a b a b
α β
α + β ≥

1 1 2 2 3 3 1 2 3
a a a a a a .
α
α α
α + α + α ≥
(2.4.3)
Mệnh đề 2.4.4.(Bài toán tổng quát). Giả sử
n
số không âm
1 2 n
a , a , , a
với
mọi
n 2
≥
và n số dương
1 2 n
, , , α α α
thỏa mãn
1 2 n
+ + 1α + α α =
.
Chứng minh rằng
1 2 n
1 1 2 2 n n 1 2 n
a a a a a a
α α α
α + α + + α ≥
. (2.4.4)
Mệnh đề 2.4.5. Giả sử

1 2 n
1 2 n
a a a
a a a
1 2 n
1 2 n
a a a
a a a
n
+ + +
+ + +
 
≥
 ÷
 
.
2.
( )
1 2 n
1 2 n
a a a
a a a
n
1 2 n 1 2 n
a a a a a a
+ + +
≥
.
2.4.2. Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển.
15

¥
Với
p, q 1>
. Chứng minh rằng
p p p q q q
p q
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b a a a . b b b
+ + + ≤ + + + + + +
.
Ví dụ 2.4.3 (Bất đẳng thức Bunhiacopski). Giả sử
2n
số thực
1 2 n
a , a , , a
và
1 2 n
b ,b , ,b
. Chứng minh rằng
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Ví dụ 2.4.4. Giả sử ba dãy số thực không âm
( )
1 2 n
a ,a , ,a
,

( ) ( ) ( )
3 3
2
sin A sin B sin C
2
sin A sin B sinC
3
 
>
 ÷
 
.
3.
( ) ( ) ( )
3
2
cosA cosB cosC
1
cosA cosB cosC
3
 
>
 ÷
 
.
Ví dụ 2.4.6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng
1.
( ) ( ) ( )
3 3
tan A tan B tan C

Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.
[2] Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng,
NXB Giáo Dục Việt Nam.
[3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các bài toán nội suy và áp dụng, Nhà Xuất
Bản Giáo Dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí và áp dụng, Nhà Xuất
Bản Giáo Dục.
[5] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các
bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[6] Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các bài giảng về bất
đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[7] T.Andreescu, R.Gelca, Mathematical Olympial Challenges-2001,
Birkhauser Boston, Second printe, United States of America.
19