CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:
1. Các quy tắc cần nhớ:
a. Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
và
AC BC BA= −
uuur uuur uuur
b. Quy tắc hình bình hành
Với hình bình hành ABCD ta có:
AC AB AD= +
uuur uuur uuur
c. Quy tắc hình hộp:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là ba cạnh có chung đỉnh A và
AC’ là đường chéo, ta có
' 'AC AB AD AA= + +
uuuur uuur uuur uuur
Hình 6.1
c
b
a
a
+
b
+
c
B

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC:
3.Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc
• Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’
và b’ cùng đi qua một điểm O bất kì lần lượt song song với a và b.
• α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì ta luôn luôn có α ≤ 90
0
. Nếu
u
r
là vectơ
chỉ phương của đường thẳng a và
v
r
là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (
u
r
http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH1
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
,
v
r
)=α thì góc giữa hai đường thẳng a, b bằng α nếu α ≤ 90
0
và bằng 180
0
– α nếu
α > 90
0
.
• Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH2
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này
thành vế kia
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật.
Chứng minh rằng:
a.
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
b.
2 2 2 2
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
Giải
a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên:
2SA SC SO+ =
uur uuur uuur
(1)
Vì OB = OD nên
2SB SD SO+ =
uur uuur uuur
(2)
So sánh (1) và (2) ta suy ra
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
b. Ta có:
2 2
2

4PA PB PC PD PG+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur
với P là một điểm bất kì.
Giải:
a. Ta có:
MN MA AD DN= + +
uuuur uuur uuur uuur
và
MN MB BC CN= + +
uuuur uuur uuur uuur
Suy ra:
2 ( ) ( )MN MA MB AD BC DN CN= + + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vì
0MA MB DN CN+ = + =
uuur uuur uuur uuur r
nên
2MN AD BC= +
uuuur uuur uuur

http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH3
Hình 6.2
O
D
C
B
A
S
Hình 6.3
D

Chứng minh rằng có cặp số m, n sao cho
c ma nb= +
r r r
với
a
r
và
b
r
không cùng phương
Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
( 0)
AM BN
k k
AC BD
= = >
. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,PQ PM PN
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Giải:
Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:
1 1
( ) [( ) ( )
2 2
1
[( ) ( )]
2
PQ PC PD AC AP BD BP

PQ AM BN
k
= +
uuur uuuur uuur
Vì:
AM AP PM= +
uuuur uuur uuuur
và
BN BP PN= +
uuur uuur uuur
nên
1
( )
2
PQ AP PM BP PN
k
= + + +
uuur uuur uuuur uuur uuur
Vậy:
1 1
2 2
PQ PM PN
k k
= +
uuur uuuur uuur
Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ
, ,PQ PM PN
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Bài 4: Trong không gian cho tam giác ABC.

C
B
A
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
a. Vì
,AB AC
uuur uuur
là hai vectơ không cùng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi:
AM mAB nAC= +
uuuur uuur uuur
hay
( ) ( )OM OA m OB OA n OC OA− = − + −
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
với điểm O tuỳ ý, tức là
(1 )OM m n OA mOB nOC= − − + +
uuuur uuur uuur uuur
Đặt 1 – m – n = x, m = y, n = z thì:
OM xOA yOB zOC= + +
uuuur uuur uuur uuur
với x + y + z = 1
b. Ngược lại nếu có điểm O sao cho
OM xOA yOB zOC= + +
uuuur uuur uuur uuur
với x + y + z = 1 thì
(1 )OM y z OA yOB zOC= − − + +
uuuur uuur uuur uuur
hay
OM OA yAB zAC− = +
uuuur uuur uuur uuur
Từ đó suy ra :

uuur uuur
và AC ⊥ DB nghĩa là
. 0AC DB =
uuur uuur
thì từ hệ thức
(4) ta suy ra
. 0AD BC =
uuur uuur
nghĩa là AD ⊥ BC.
Cách khác:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng
(BCD), ta có AH ⊥(BCD). Do đó CD ⊥ AH. Theo giả thiết
CD ⊥ AB, ta suy ra CD ⊥(AHB). Vậy CD ⊥ BH. Tương tự,
theo giả thiết BD⊥AC, ta suy ra BD⊥(ACH), do đó BD⊥
CH. Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH⊥BC. Do
đó BC ⊥ (ADH) nên ta suy ra BC⊥AD.
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH5
I
Hình 6.7
H
B
D
C
A
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
* Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (
α
) ta chứng minh :
- d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (

Giải:
a. Theo giả thiết CA ⊥ (α) và CB ⊥ (β) nên góc của hai mặt phẳng (α) và (β) bằng góc
·
ACB
của tam giác ABC đã cho hoặc bằng góc 180
0
-
·
ACB
. Do đó ta suy ra hai mặt
phẳng (α) và (β) phải cắt nhau.
b. Vậy (α) và (β) phải cắt nhau theo giao tuyến d. Ta cần chứng minh d ⊥ (ABC). Vì CA
⊥(α) và d thuộc (α) nên CA ⊥ d. Tương tự, vì CB ⊥ (β) và d thuộc (β) nên CB⊥d. Do
đó, vì d ⊥ CA và d ⊥ CB nên ta suy ra d ⊥ (ABC).
5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a. Chứng minh:
a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Tam giác SBD vuông tại S
Giải
a. ABCD là hình thoi nên có AC ⊥ BD tại O. Mặt khác SA
= SC nên có AC ⊥ SO. Vậy AC ⊥ (SBD). Mặt phẳng
(ABCD) chứa AC ⊥ (SBD) nên (ABCD) ⊥ (SBD).
http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH6
α
β
d
B
C
A

SC BHK
BK SC
⊥

⇒ ⊥

⊥

Vậy: (SAC) ⊥ (BHK)
BC ⊥ (SAA’) do đó BC ⊥ HK;
SC ⊥ (BHK) do đó SC ⊥ HK.
Từ đó suy ra HK ⊥ (SBC) và (BHK) ⊥ (SBC)
b. Gọi S
SBC
là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có:
( )( )( )
SBC
S p p a p b p c= − − −
trong đó p = ½ (13+14+15) = 21
Do đó
2
21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )
SBC
S cm= − − − =
Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).
Áp dụng công thức S’ = S cosϕ trong đó ϕ = 30
0
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) ta có:
S

K
H
C
B
A
S
Hình 6.10
Hình 6.11
I
O
D'
D
C'
C
B'
B
A'
A
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các
điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau.
b. Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có AB = AD = AA’ = a. Điểm
C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có C’B=C’D=C’A=a
2
. Vậy
AC’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’BD, do đó AC’ ⊥ (A’BD) tại trọng tâm
I của ∆A’BD. Ta cần tính AI.
Vì A’I = BI = DI =
2
3

 ÷
 
Vậy
3
3
a
AI =
7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b
* Tính khoảng cách giữa a và mặt phẳng (α) chứa b và (α) // a
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b
Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với OA=OB=OC=a.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định
đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Giải:
Ta có OC ⊥ (AOB). Gọi K là trung điểm OB, ta có hình chiếu của AI lên (AOB) là AK
(vì IK ⊥ (AOB)).
Vẽ OH ⊥ AK. Dựng HE// OC c8át AI tại E. Dựng EF // OH c8át OC tại F. Khi đó EF là
đường vuông góc chung của AI và OC. Độ dài đoạn EF là khoảng cách giữa AI và OC.
Xét tam giác vuông AOK ta có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
2
OH OA OK a a
a
= + = + =
 
 ÷
 

Hình 6.12
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên
các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho
3 , 3PA PD QB QC= − = −
uuur uuur uuur uuur
.
Chứng minh rằng ba vectơ
, ,MN MP MQ
uuuur uuur uuuur
đồng phẳng.
3. Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác
nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh
rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông
góc với các đường thẳng BD, DA’.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và
SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và HK ⊥ (SAC)
6. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) và (SBC) ⊥ (SAB).
7. Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm. Cạnh AD = 4 cm và AD
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a. SB và AD
b. BD và SC
http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH9