SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có
01
trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 29/3/2014
Thời gian làm bài
180
phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (
4,0
điểm)
1) Giải phương trình
  
22
3 4sin 3 4sin 3 1 2 os10 .x x c x   

2) Tìm
x
để
2
sin ; sin 2 ; 1 sin7x x x
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

các hoán vị của tập hợp có n phần tử.
Câu 3 (
2,0
điểm). Tính
 
2014
2
1
2014 +2013
lim
1
x
xx
x





Câu 4 (
6,0
điểm)
1) Cho đường tròn
 
O
và dây cung AB thay đổi sao cho AB luôn đi qua điểm I cố định nằm
trong đường tròn
 
O
(I không trùng với tâm O). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

n n n n
u a v b
uv
u v u v n






   



Chứng minh rằng hai dãy
   
;
nn
uv
có giới hạn hữu hạn và
lim lim
nn
uv
.
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)


sinx

0.5
Phương trình tương đương với
sin9 sin 2cos10 sin sin11 sin 0x x x x x x

0.5
5
cos6 sin 5 0
12 6
xm
xx
xn
,
,mn

0.5
Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là
5
12 6
xm
xn
,
5 ; , , .m k m n k

0.5

1.2
(2.0
điểm)

xk
,
.k

KL.
0.5

Câu 2

(6đ)
2.1
(2.0
điểm)
Gọi A là biến cố cần tính xác suất.
Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là
5
| | 4

0.5
Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là
3
5
10C
.
Số cách chọn một toa để xếp ba người này là
1
4
4C

0.5

11
( ) (2x+1) .(2x+1) (1 2x)
64 64
fx
.
0.5
Ta có
21
21
21
0
(1 2 ) 2
k k k
k
x C x

0.5
Hệ số của số hạng chứa
13
x
trong khai triển của
21
(2x+1)
là
13 13
21
2C

0.5
Vậy hệ số của số hạng chứa

0.5
Cộng các đẳng thức ở (**) ta được
1 1 1 2
2
nn
P P P P nP
.
Do
1
1P
nên
1 1 2
12
nn
P P P nP

0.5
Khi đó điều kiện đã cho thành
1 2014
1 2014 2013.
n
P P n n

Kết luận.
0.5

Câu 3

(2 đ)
2.0

2012 2011 2011
1
1 1 ( 1) 1
x
lim x x x x x x

0.5
2014.2013
2013 2012 1 2027091.
2

0.5

Câu 4

(6đ)

4.1
(2.0
điểm)
E
O
B
A
IGọi E là trung điểm của AB khi đó
2IA IB IE
suy ra

C
D
A
B
D'Gọi O là giao điểm của AC và BD
Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết.
D (ACC'A')B
. Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A').
0.5
Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO.
0.5
Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được
15
EO
4
a
.
0.5
Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được
2 15
tan BEO=
15
.
Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là
15
19
.

21
22
v u v ab b v
uv
ab
u a u

Chứng minh bằng quy nạp
1 2 1 2
;
kk
v v v u u u

0.5

11
11
.
2
kk
k k k k
uv
u u v v
(do
11kk
uv
)

1
1

1
.
22
nn
n
uv
u

Vậy
lim lim
nn
uv

0.5 Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần
tương ứng.