GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
CHUN ĐỀ
GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích
hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O)
Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có liên quan
(có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
• Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa
độ).
• Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương ,
thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
• Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
• Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán
Các dạng toán thường gặp:
• Độ dài đọan thẳng
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
• Bài toán cực trò, quỹ tích

CBAS
'''
.
'''
.
=
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vng
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam
giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích
O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Tổ Toán : Trường THPT Bình Giang 04/2008
1
GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3
Þ
z
M
= 3.
Tương tự
Þ
M(1; 2; 3).
pt(ABC):
x y z
1
a b c

Ví dụ:
1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a,
AC = b, AB = c.
Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :
( )
2S abc a b c≥ + +
(Dự bò 2 – Đại học khối D – 2003)
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0),
B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
( ) ( ) ( )
 
= − = − =
 
 
= = + +
 
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
≥
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1

A
B
C
D
GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA
Chn h trc ta nh hỡnh v, ta cú:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) v
H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuụng gúc vi SB ti I ct ng
thng SC ti K, d thy
[H, SB, C] =
( )
IH, IK
uur uur
(1).
SB ( 1; 3; 4)= - -
uur
,
SC (0; 3; 4)= -
uur
suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
ỡ
ù
= -
ù
ù

ợ

v (P): x + 3y 4z 1 = 0.
( ) ( )
5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25
ị
IH.IK
cos[H, SB, C]
IH.IK
=ị
uur uur
=
Chỳ ý: Nu C v H i xng qua AB thỡ C thuc (P), khi ú ta khụng cn phi tỡm K.
Vớ d 3 (trớch thi i hc khi A 2002). Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a.
Gi M, N l trung im SB, SC. Tớnh theo a din tớch
D
AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC).
Hng dn gii
Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy ra O
l trng tõm
ABCD
. Gi I l trung im ca BC,
ta cú:
3 a 3
AI BC
2 2
= =
a 3 a 3

,
a 3 a
B ; ; 0
6 2
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
a 3 a
C ; ; 0
6 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
a 3 a h
M ; ;
12 4 2

ữ
ỗ
= =ị
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ở ỷ
ố ứ
uuur uuur
r
,
2
(SBC)
a 3
n SB, SC ah; 0;
6
ổ ử
ữ
ộ ự
ỗ
= = -
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữở ỷ
ỗ
ố ứ
uur uur

( ) ( )
a a
A ; 0; 0 , B ; b; 0
2 2
( ) ( )
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
3. Hỡnh lng tr ng
Tựy theo hỡnh dng ca ỏy ta chn h trc nh cỏc dng trờn.
Vớ d: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vuông góc mp (A'BD)
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O A; B Ox; D Oy
và A' Oz Giả sử hình lập phơng
Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/2008
A'
D'
C'
C
B
A

Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:
Nhn mnh cho hc sinh:
II. Phơng pháp giải:
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp sử dụng tọa độ Đề các trong
không gian ta làm nh sau:
* B ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết.
* B ớc 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian. Bằng cách:
+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần
chứng minh.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm cực trị.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích
v.v
Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/2008
z
O
B
y
C
x
D
A
5
GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA
III. Luyện tập.
Bài 1: Cho hình chóp SABC, các cạnh đều có độ dài bằng 1, O là tâm của ABC. I là trung điểm của
SO.
1. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.
2. H là chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. CMR: IH đi qua trọng tâm G của SAC.
Lời giải:

BC
;
3 1 6
( ; ; )
6 2 6
=
uur
IC
;
6 3
, ( ;0; )
6 6

=

uuur uur
BC IC
Phơng trình mặt phẳng (IBC) là:
6 3 6
( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6
+ + =x y z
Hay:
6
2 0
6
+ =z
m ta li cú:
3 6
( ;0; ) // (1;0; 2)




+ =


x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vào (4) có:
3 6 3 6
; 0; ( ;0; )
12 4 12 4
= = = x y z M
;
3 6
( ;0; ) 4
12 12
= =
uuur uur uuur
SM SA SM
M nằm trên đoạn SA và
1
4
=
SM
SA
( )
1

=
GI SB H

Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/2008
6
GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a. AA
1
= 2a và vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB
1
; M di động trên cạnh AA
1
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
diện tích MC
1
D.
Lời giải:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O; B Oy; A
1
Oz. Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A
1
(0;0;2a)
1

uuur
uuuur
a a
DC a
DM a t a
,

=

uuur uuuur
DG DM
( 3 ; 3( ); 3)
2

=
a
t a t a a
2 2 2
, ( 3 ) 3( ) 3
2

= + +

uuur uuuur
a
DG DM t a t a a
1
2 2
2 2
4 12 15

A
C
S
G
N
z
x
C
C
1
M
A
A
1
B
1
B
D
GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA
Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của
1
DC M
S
tùy thuộc vào giá trị hàm số
Xét f(t) = 4t
2
12at + 15a
2
f(t) = 4t
2

ABCD
vuụng ti A cú ng cao AD v AB = 2, AC = 4. Trờn ng thng vuụng gúc vi
(ABC) ti A ly im S sao cho SA = 6. Gi E, F l trung im ca SB, SC v H l hỡnh chiu ca A trờn
EF.
1. Chng minh H l trung im ca SD.
2. Tớnh cosin ca gúc gia hai mt phng (ABC) v (ACE).
3. Tớnh th tớch hỡnh chúp A.BCFE.
Bi 3. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = OB = OC = 3cm v vuụng gúc vi nhau tng ụi mt. Gi
H l hỡnh chiu ca im O lờn (ABC) v cỏc im A, B, C ln lt l hỡnh chiu ca H lờn (OBC),
(OCA), (OAB).
1. Tớnh th tớch t din HABC.
2. Gi S l im i xng ca H qua O. Chng t S.ABC l t din u.
Bi 4. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc. Gi
, , a b g
ln lt l gúc nh din cnh
AB, BC, CA. Gi H l hỡnh chiu ca nh O trờn (ABC).
1. Chng minh H l trc tõm ca
ABCD
.
2. Chng minh
2 2 2 2
1 1 1 1
.
OH OA OB OC
= + +
3. Chng minh
2 2 2
cos cos cos 1.+ + =a b g
4. Chng minh
cos cos cos 3.+ +a b g Ê

Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là
đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao
cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và
khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy
và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích
MABD
theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có
ABCD
vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH
vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).
4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có
ABCD
vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với
đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD.
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C].
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và
SA a 3=
.
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).

SA 3 2=
cm. Mp
( )a
đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.
2. Chứng minh BD song song với
( )a
.
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của
SACD
.
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy
và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).
Toå Toaùn : Tröôøng THPT Bình Giang 04/2008
9
GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA
2. Tớnh khong cỏch gia SB v CN.
3. Tớnh gúc gia hai mt phng (SCD) v (SBC).
4. Tỡm iu kin ca a v b
ã
3
cos CMN
3
=
. Trong trng hp ú tớnh th tớch hỡnh chúp
S.BCNM.
Bi 18. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a.
SADD

m
3
=
, gi K l giao im ca BM v AD. Tớnh gúc phng nh din [A, SK, B].
3. CC BI TON V HèNH HP LNG TR NG
Bi 21. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. Gi I, K, M, N ln lt l trung im ca AD,
BB, CD, BC.
1. Chng minh I, K, M, N ng phng.
2. Tớnh khong cỏch gia IK v AD.
3. Tớnh din tớch t giỏc IKNM.
Bi 22 (trớch thi i hc khi A 2003). Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD. Tớnh gúc phng nh
din [B, AC, D].
Bi 23. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. Tỡm im M trờn cnh AA sao cho (BDM) ct
hỡnh lp phng theo thit din cú din tớch nh nht.
Bi 24. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a.
1. Chng minh AC vuụng gúc vi (ABD).
2. Tớnh gúc gia (DAC) v (ABBA).
3. Trờn cnh AD, DB ly ln lt cỏc im M, N tha AM = DN = k
(0 k a 2).< <
a. Chng minh MN song song (ADBC).
b. Tỡm k MN nh nht. Chng t khi ú MN l on vuụng gúc chung ca AD v DB.
Bi 25. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = 2, AD = 4, AA = 6. Cỏc im M, N tha
AM mAD, BN mBB' (0 m 1).= = ÊÊ
uuur uuur
uuur uuur
Gi I, K l trung im ca AB, CD.
1. Tớnh khong cỏch t im A n (ABD).
2. Chng minh I, K, M, N ng phng.
3. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip
A ' BDD

Bài tập :
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=
3a
và vuông góc với đáy
1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC).
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với
đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
0

1) Tính MN và SO.
2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) .
Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng
SH
⊥
(ABCD) với SH=a
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C
1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c
2) Giả sử A cố đònh còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC . Hãy xác đònh vò
trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất.
Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các
góc
γβα
,,
. Chứng minh rằng:
1)

từng đôi một sao cho OA=a , OB=
2a
. OC=c (a,c>0). Gọi D là điểm đối diện với O của hình
chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC. (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng
(OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE.
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi
mặt phẳng (P).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).
Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=
2a
,
)(ABCSC ⊥
,
∆
ABC vuông tại A, các điểm M
thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a)
Tổ Toán : Trường THPT Bình Giang 04/2008
11
GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trò của t để MN ngắn nhất.
2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc
với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'

. Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (AB
'
C).
3) Tính thể tích tứ diện AB
'
D
'
C.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm của BC và DD
'
1) CMR
)(
''
BDAAC ⊥
.
2) CMR
)//(
'
BDAMN
.
3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4
2
Cạnh bên
SC (ABC)⊥
và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB
1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN
2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN.
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng 1
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB
'
.Chứng minh rằng
'
A C MN⊥
.
Tính độ dài đọan MN
2) Gọi P là tâm của mặt CDD
'
C
'
. Tính diện tích
MNP∆
.