ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
Chương 2
VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Ví dụ : Kiểm tra 3 sp. Gọi X là số sp đạt yêu cầu trong 3 sp kiểm tra.
X = 3
X = 1
X = 2
X = 0
Đỏ : Đạt yêu cầu
Xanh : Không đạt
X có thể nhận các giá trị khác
nhau tương ứng với các biến cố
khác nhau.
X đgl đại lượng ngẫu nhiên.
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
•
Khi thực hiện một phép thử, bằng một quy tắc (hay một hàm) ta có thể gán các
giá trị bằng số cho các kết quả của phép thử đó. Quy tắc đó đgl một đại lượng
ngẫu nhiên.
•
Khi thực hiện phép thử, ĐLNN sẽ nhận 1 và chỉ 1 giá trị nào đó trong tập hợp các
giá trị mà nó có thể nhận. Việc 1 ĐLNN nhận 1 giá trị cụ thể là 1 biến cố.

Lưu ý : Không có P(X) chung chung mà chỉ có P(X = x
1
), P(X = x
2

, p
2
,…, p
n
(tức là p
i
= P(X = x
i
), ).
Khi đó, bảng phân phối xác suất của X có dạng:
•

X x
1
x
2
… x
k
P p
1
p
2
… p
k
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Bảng phân phối xác suất :
n
i
i = 1
p = 1

Hàm mật độ xác suất :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
P(a < X < b)
a
b
f(x)
Đối với ĐLNN rời rạc :
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nhận xét : dựa vào bảng PPXS và hàm mật độ XS, ta thấy:
Đối với ĐLNN liên tục :
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X (ký hiệu F(x)) được định nghĩa bởi
biểu thức:
F(x) = P(X < x)
II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Hàm phân phối xác suất :
Đối với ĐLNN rời rạc :
Đối với ĐLNN liên tục :
i
i
x < x

), qua hàm Z =
ϕ(X
1
, X
2
,…, X
n
), ta có 1 giá trị có thể nhận của ĐLNN Z thì Z đgl hàm của n
ĐLNN (X
1
, X
2
,…, X
n
).
Ví dụ :
Cho X là ĐLNN có thể nhận các giá trị 0, 1, 2;
Y là ĐLNN có thể nhận các giá trị -1, 0, 3.
Khi đó: X + Y
Hàm của hai hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên :
III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Hai ĐLNN đgl độc lập với nhau nếu phân phối xác suất của ĐLNN này không
phụ thuộc gì vào việc ĐLNN kia nhận giá trị bằng bao nhiêu.
•
Nếu X, Y độc lập với nhau thì:
P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b)
•
Nếu Y phụ thuộc vào X thì:
P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b/X = a)
Sự độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên :

,…, x
n
với các xác suất tương
ứng p
1
, p
2
,…, p
n
thì kỳ vọng toán của X được xác định bởi biểu thức:
Kỳ vọng toán : E(X)
Ví dụ : Tìm kỳ vọng của ĐLNN X có bảng phân phối xác suất như sau:
X -2 0 1 2
P
0,1 0,3 0,4 0,2
n
i i
i = 1
E(X) = x p
∑
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng toán được
xác định bởi:
Kỳ vọng toán : E(X)
Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng
toán?
+
-
E(X) = xf(x)dx
∞

Var(X) = [x - E(X)] p = x p - x p
 
 ÷
 
∑ ∑ ∑
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Nếu X là ĐLNN liên tục :
Phương sai : Var(X) hoặc D(X)
Var(X) = E[(X – E(X))
2
] = E(X
2
) – [E(X)]
2
Ý nghĩa của phương sai?
Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của
ĐLNN xung quanh giá trị trung bình.
2
+ + +
2 2
- - -
Var(X) = [(x - f(x)] f(x)dx = x f(x)dx- xf(x)dx
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
 
 ÷
 
∫ ∫ ∫
IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Độ lệch chuẩn : σ(X)

1
) + E(X
2
)
+ … + E(X
n
)
•
E(X
1
X
2
…X
n
) = E(X
1
).E(X
2
)…E(X
n
)
(nếu các ĐLNN này độc lập với nhau)
Các tính chất của kỳ vọng toán và phương sai: