hoctoancapba.com

BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Người thực hiện:
- Họ và tên: Cao Văn Sóc
- Năm sinh: 25/09/1982
- Đơn vị công tác: Trường THPT Trà Cú
- Chức vụ hiện tại: Giáo viên dạy lớp.
- Trình độ chuyên môn: ĐHSP TOÁN TIN.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI
3. Nội dung sáng kiến: gồm 7 phần chính
+ Thứ I: Phương trình lượng giác cơ bản.
+ Thứ II: Phương trình bậc 2 hay bậc cao đối với một số hàm số lượng giác.
+ Thứ III: Phương trình có mũ cao và chẵn đối với hàm số sinx và cosx.
+ Thứ IV: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ Thứ V: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
+ Thứ VI: Phương trình dạng f  sin x  cos x,sin x.cos x   0
+ Thứ VII: Biến đối phương trình về dạng tích.
4. Thời gian thực hiện sáng kiến: từ tháng ……/…. đến tháng ………/năm.
5. Phạm vi áp dụng: áp dụng tại lớp 11A1 Trường THPT Trà Cú.
6. Hiệu quả: Học sinh dễ tiếp thu, tính toán thành thạo, đạt hiệu quả cao.
Thời gian
Trước khi áp dụng
Sau khi áp dụng

Giỏi

Khá

Trung
bình

2. Phương trình sin x  m
* Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu m  1 thì sin x  m  x   1 arcsin m  k , k 
 x  arcsin m  k 2

 x    arcsin m  k 2
k

Đặc biệt: sin x  sin   x   1   k
 x    k 2

; k
 x      k 2
3. Phương trình tan x  m
* tan x  m  x  arctan m  k , k 
* tan x  tan   x    k , k 
4. Phương trình cot x  m
* cot x  m  x  arc cot m  k , k 
* cot x  cot   x    k , k 
 Các giá trị đặc biệt cần nhớ:

cos x  1  x  k 2
cos x  0  x   k
k

2

sin x  0  x  k

tan x  1  x 

1. Giải các phương trình sau:


a) 2cos x  1  0 b) 2sin  x    3  0
4


c) sin x  cos x  0
2

d) tan 5x  tan 3x


hoctoancapba.com
2. Giải các phương trình sau:
a)

sin 4 x
1
cos 6 x

b)

1  tan x
 tan 3x
1  tan x

c) tan 2x.tan 7 x  1

d) 8cos x.cos 2 x.cos 4 x 

 t 1
 2
3
t

2
t

1

0
Vn




Vậy: tan x  1  x 



4

 k , k  .

Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a) 2sin 2 3 x  sin 2 6 x  2
2) Giải các phương trình:
a) sin8 x  cos8 x 


2
2
2
 cos 2x  cos 4x  cos6x  cos8x  2co3x.cos x  2cos7 x.cos x
 cos x  cos 7 x  cos 3 x   0

(1)  sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4x 



 x  2  k

cos x  0
k

 x 
, k

5
cos 7 x  cos 3x

 x  k

2

Vậy: phương trình có các họ nghiệm: x 


2


b) cos6 x  sin 6 x 
c)
d)
e)
f)

Vấn đề 4: Phương trình bậc nhất đối sin x và cos x .
Dạng: a.sin x  b.cos x  c (*) với a, b, c là các hằng số và a 2  b 2  0
Cách giải:
(*) 

a
a b
2

2

b

sin x 

a b
2

2

cos x 

2


a  b2
2

 sin 

Vậy ta đã biến (*) về dạng phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
c

(*) có nghiệm 

 1  a 2  b2  c2

a b
(*) vô nghiệm  a  b 2  c 2
2

2

2

Ghi nhớ:
 Chia 2 vế pt cho a 2  b 2
 Pt (*) có nghiệm  a 2  b 2  c 2
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình sau:
2) Cho pt: sin x  m cos x  1 (1)
a. Giải pt với m   3
b. Định m để mọi nghiệm của pt (1) cũng là nghiệm của pt m sin x  cos x  m 2
3) Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
a.  2m  1 cos x  m sin x  3m  1

a sin 4 x  b sin 3 x cos x  c sin 2 x cos 2 x  d sin x cos3 x  e cos 4 x  0

…
( a, b, c, d , e là các hằng số)
Các phương trình trên được gọi là các phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba, bậc bốn, … đối với
sin x và cos x
Mọi số hạng trong phương trình đẳng cấp bậc k đều phải có tính chất: tổng số bậc của sin x và cos x
đều bằng k .
Cách giải:

 Xét xem cos x  0  x   k có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Chú ý
2

cos x  0  sin x  1
2

 Sau đó chia hai vế của phương trình cho cos 2 x (đối với phương trình đẳng cấp bậc hai) hay cos 3 x
(đối với phương trình đẳng cấp bậc ba) …để đưa về dạng phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với
tan x .
Chú ý:
Cũng có thể xét riêng trường hợp sin x  0  x  k , rồi chia 2 vế cho sin 2 x hay sin 3 x , … để được
phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với cot x .
Ví dụ: Giải phương trình 2sin 2 x  3sin x cos x  3cos 2 x  2 (1)
Giải:

 Khi cos x  0 , ta có VT (1) = VP (1) = 2 do đó pt (1) có họ nghiệm x   k , k 
 Khi cos x  0 , chia 2 vế cho cos x , ta được:
(1)  2 tan 2 x  3tan x  3  2 1  tan 2 x 

2


2

5


hoctoancapba.com
Nhận xét:
 Ta có thể giải và biện luận phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x cách dung công
thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về dạng: A sin 2x  B cos 2x  C .
 Bằng phương pháp tương tự như trên còn giúp ta tìm GTLN, GTNN của hàm số có dạng:
y  a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d hoctoancapba.com
Vấn đề 6: Phương trình dạng: f  sin x  cos x,sin x.cos x   0 .
Bằng cách biến đổi biến số ta có thể chuyển phương trình này về dạng phương trình đại số hữu tỉ.
 Xét phương trình f  sin x  cos x,sin x.cos x   0


Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x  
4




Vậy: t  2 và t 2  1  2sin x cos x  sin x cos x 

t 2 1
2

Thay vào phương trình đã cho, ta được phượng trình hữu tỉ theo t
 Phương trình a  sin x  cos x   b sin x  c  0 được gọi là phương trình đối xứng của sin x và cos x .


4
4
4
2


 x    k 2

1  t   12t  12  0  t
2

Vậy

2

Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình sau
a. sin 3 x  cos3 x  2  sin x  cos x   1
b. 4sin x cos x  2  sin x  cos x   1  0
c. sin 3 x  cos3 x 

2
2

2. Giải các phương trình sau
1
2
b. sin x cos x  6  sin x  cos x  1



2
.
3

Vấn đề 7: Biến đổi về phương trình dạng tích.
 Nếu phương trình f  x   0 được biến đổi về dạng f1  x  f 2  x  ... f n  x   0 thì tập nghiệm của
phương trình f  x   0 là tập hợp các nghiệm của phương trình f1  x   0 ; f 2  x   0 ; …
fn  x   0 .

 Để biến đổi phương trình về dạng tích ta chú ý các vấn đề sau: hoctoan capba.com
- Dạng: a sin x  b sin 2 x  c sin 3 x  0  sin x  4sin x  2 cos x  a  3c   0 .
- Để đặt thừa số chung cần chú ý :
a) sin 2 x; sin 3 x; tan x; tan 3 x; tan 2 x có nhân tử chung là sin x .
b) sin 2 x; cos 3x; tan 2 x; cot 3x; cot x có nhân tử chung là cos x
x
x
2
2
x
x
d) sin 2 ; tan 2 ; sin 2 x; tan 2 x có nhân tử là 1  cos x .
2
2
e) cos 2 x; cot 2 x; 1  sin 2 x; 1  tan x; 1  cot x; tan x  cot x có nhân tử chung là sin x  cos x .
f) cos 2 x; cot 2 x; 1  sin 2 x; 1  tan x; 1  cot x; tan x  cot x có nhân tử chung là cos x  sin x .
Ví dụ: Giải phương trình  2sin x  1 2sin 2 x  1  3  4 cos 2 x (1)

c) cos2 ; cot 2 ; sin 2 x; tan 2 x có nhân tử là 1  cos x .



1
cos x 



2
 x    k 2
3


Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình:
a) cos 2x  cos8x  cos6x  1 .
b) sin 4 x  4sin x   cos 4 x  4 cos x   1 .
c) 3sin x  2cos x  2  3tan x
d) 2 cos3 x  cos 2 x  sin x  0
2. Giải các phương trình:
a) 4cos x  2cos 2x  cos 4x  1
sin x  sin 2 x  sin 3x
 3
cos x  cos 2 x  cos3x
1
c) cos x  cos 2 x  cos3x 
2
d) 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0

b)

Vấn đề 8: Phương pháp đặt ẩn phụ.

 t 3  2t 2  4t  0
 t t 2  2t  4  0



t 0

Vậy: cos 2 x  0  2 x 
Bài tập áp dụng:




2

 k  x 


4

k


2

; k .

8

2

d) cos 2 x  2  2  cos x 
 1
cos x
cos x 


c) cos2 x 

2. Giải các phương trình sau:
1
5
 cot 2 x   tan x  cot x   2  0
2
cos x
2
6
b) 3cos x  4sin x 
6
3cos x  4sin x  1
c) 9sin 3 x  5sin x  2 cos3 x  0 .
d) tan 2 x  cot x  8cos 2 x .

a)

C. Lời kết: hoctoancapba.com
Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh giải “ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” tốt hơn; tuy nhiên
do thời gian có hạn nên chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót, mong quý Thầy cô trong Tổ góp ý. Xin
chân thành cám ơn.

ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

Xếp loại (Đạt, không đạt)…………

Xếp loại (Đạt, không đạt)…………

Ngày…...tháng…..năm ………
Tổ trưởng

Ngày…..tháng…..năm ………
Hiệu trưởng

10