TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ BÍCH PHƢƠNG

NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƢỞNG
TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình của cô
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm
của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trƣờng Đại
học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè những ngƣời đã luôn
giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên
đƣợc làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trính thực hiện khóa luận
này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng
góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

1.3.1. Năng lƣợng tự do ........................................................................ 22
1.3.2. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng. ................................... 22
1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tƣởng. ............................................ 23
1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung CV của khí lý tƣởng đơn
nguyên tử ............................................................................................... 23
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 24
CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ .................................................... 25
2.1. Khí Boltzmann ................................................................................... 25
2.1.1. Phân bốBoltzmann ...................................................................... 25
2.1.2 Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng Boltzmann lƣỡng
nguyên tử ............................................................................................... 25
2.2 Khí lý tƣởng Fermi và Bose................................................................ 33


2.2.1.Khí lý tƣởng Fermi....................................................................... 33
2.2.2. Khí lý tƣởng Bose ....................................................................... 33
2.2.3. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng Fermi và Bose ........... 34
2.3 Khí electron tự do trong kimloại......................................................... 37
2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng ........................................................ 42
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 44
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƢỞNG ................................... 45
3.1 Bài tập về khí lý tƣởng cổ điển ........................................................... 45
3.2 Bài tập về khí lý tƣởng lƣợng tử ......................................................... 48
Kết luận chƣơng 3 ............................................................................................... 54
C. KẾT LUẬN .................................................................................................... 55
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 56


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài

khí lý tƣởng.
- Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê về khí lý tƣởng: Khí Fermi, khí Bose,
từ đó đƣợc năng lƣợng và nhiệt dung của các khối khí đó.
- Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tƣởng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tƣởng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết.Đọc và tra cứu tài liệu.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lƣợng tử và phƣơng pháp toán trong vật lý.

2


B.NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN
1.1 Mô hình về khí lý tƣởng
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng
Để vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của
chất khí. Trƣớc hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những
yếu tố thứ yếu không ảnh hƣởng rõ rệt đến tính chất của chất khí. Xuất phát từ
quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm những đặc điểm cơ bản của
chất khí gọi là mẫu khí lý tƣởng. [5]
- Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tƣởng có chứa một số rất lớn phân tử,
có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân
tử chuyển động hỗn loạn không ngừng .
- Lực tƣơng tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai
va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển động thẳng
đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy

=> PV = NkT
V

(*)

Với k là hằng số Boltzman
Số phân tử khí N của khối khí đƣợc xác định N 

M



N0

Với M là khối lƣợng của chất khí



là khối lƣợng của 1 mol khối khí

N 0 là số Avogradro N 0 = 6,02.10

26

kmol-1

=> Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng
pV 

M

đẳng nhiệt
+ Định luật Bôilơ – Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với
đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thƣờng trong phòng và chịu áp suất
không khác xa với áp suất khí quyển lắm. Ở áp suất cao của chất khí ít chịu nén
hơn so với định luật Bôilơ – Mariốt. Khi áp suất tăng các kết quả thu đƣợc từ
thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch.
Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ – Mariốt đƣợc thành lập
trên cơ sở tính toán định lƣợng theo thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng,
nghĩa là không xét đến sự tƣơng tác giữa các phân tử , nhƣng ở áp suất cao thì
không thể không chú ý đến ảnh hƣởng của sự tƣơng tác này.
- Định luật Sáclơ
Định luật xét đến trƣờng hợp của thể tích của một khối lƣợng khí xác định
đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất và nhiệt độ.
Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng
pV 

M



RT

Khi V= const

=>

p
M R

 const đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng

gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí
237

- Định luật Gay – Luytxac xét trƣờng hợp áp suất của một khối lƣợng khí
cho trƣớc đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa thể tích và nhiệt
độ.
Từ phƣơng trình trạng thái
Khi p = const =>

pV 

M



RT

V
M R

 const
T
 p

=> V  Vo (1   V t )
Trong đó  V 

1
gọi là hệ số giãn đẳng áp của khí
273

tƣởng giữa các phân tử không còn tƣơng tác, các phân tử “không biết” đến sự
tồn tại của các phân tử khác.
Nhƣ vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng để thành lập các
định luật quy định tính chất của khí . Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và
thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tƣởng là chất khí tuân theo chính xác
các định luật Bôilơ – Mariốt
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực.
Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng có dạng:
p

v2
3



2
đ
3

Trong đó  đ là mật độ động năng trung bình
Việc so sánh phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép
đƣa vào đối với khí lý tƣởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối
là thƣớc đo động năng trung bình của hạt )
mv 2 3
 kT
2
2

Sau khi đƣa vào khí lý tƣởng khái niệm nhiệt độ ta tìm đƣợc phƣơng trình
trạng thái cho khí lý tƣởng dƣới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3]

tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của
thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phƣơng pháp nổi tiếng gọi là phƣơng pháp
Gipxơ. Cơ sở của phƣơng pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã
cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tƣơng ứng với các hệ
đã cho.

8


Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại đƣợc các phƣơng trình trạng thái và
các đại lƣợng nhiệt động học nhƣ: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,… của khí lý
tƣởng.
Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta).
Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhƣng có số bậc tự do
rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3]
Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là C1 và hệ điều nhiệt là C2 có các số hạt
tƣơng ứng là X1 và X2, đồng thời N1>>N2
Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với
hệ chung đó ta có phân bố chính tắc

( X 1 , X 2 ) 

1
 E  H ( X 1 , X 2 )
( E )

Trong đó H(X1,X2) = H(X1) + H(X2) + U12(X1,X2)

(1.2)
(1.3)


''
1

( X1

''

9


Năng lƣợng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khỏa sát bằng tổng các năng
lƣợng toàn phần của cả hai hệ con và năng lƣợng tƣơng tác giữa chúng
H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )  U12
'

'

''

''

'

Nếu các hệ con C1’ và C1’’ là đủ lớn thì ta có thể coi năng lƣợng tƣơng tác
U12’ giữa hai hệ con là rất nhỏ so với năng lƣợng toàn phần của các hệ con H1’
và H1’’ nghĩa là
H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )
'





'



''

'

''

=> ln f H1  H1  ln f ( H1 )  ln f ( H1 )
'

''

'

''

- Lấy vi phân 2 vế ta có



d ln f H1  H1

ln f (H


'

 H1 ) (dH '1  dH1 )  ln f ( H1 ) dH1  ln f ( H1 ) dH1
''

''

'

'

''

''

Coi rằng dH1’, dH1’’ có thể tiến đến 0 một cách độc lập



 
'

 
'



'

Ta tìm đƣợc ln f ( H1  H1 )  ln f ( H1 )  ln f ( H1 )  

  H 
f ( H )  exp 

  

Do đó

  H 
 ( X 1 )  exp 

  

1

(1.6)

(1.7)

Với θ,  là hằng số
Bởi vì sau này ta không cần xét sự điều nhiệt C2 và ta chỉ cần nghiên cứu hệ
C1 mà ta phải khảo sát nên ta không cần viết chỉ số 1
Khi đó (1.7) có dạng

 ( , a)  H ( X , a) 
 ( X )  exp 






=> exp 



 (X )



Lấy logarit 2 vế ta có
  ( , a)



  H ( X , a) 
 ln  exp 
dX



  H ( X , a) 
dX




=> ( , a)   ln  exp 

11

(1.9)

 ( , a)  H ( X , a) 
exp 

N!




(1.11)

Thiết lập phƣơng trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố
chính tắc
Từ điều kiện chuẩn hóa.
 ( , a)  H ( X .a) 
dX  1



  ( X )d ( X )   exp 

(X )

(X )

Lấy vi phân hai vế theo ak

ak

 ( , a)  H ( X , a) 
exp 

exp 
dX  
0
 ( X ) a k

 ( X ) a k


  
1



Theo định nghĩa của trị trung bình ta có
 H
H
  H 
exp 
dX  
a k
  
(X )
 a k



 
Từ đó => 
 a k


  ( X )d ( X )  
(X )

exp

(X )

 H
dX  1


Lấy đạo hàm theo θ có:



  H 
exp 
dX  0



(X )

=>





(X )

Ta đi tính biểu thức dH   Ak da k
k

13

(1.13)
(1.14)


Thay (1.12) và (1.13) vào (1.14)



Ta có: dH   Ak dak  d   
k




=> dH   Ak dak  d  d 
k



 


 
k ak






 .d  

 
  dH   Ak dak
 
k

(1.15)

So sánh với phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học
TdS  dU   Ai dai
i

Ta nhận thấy rằng vế phải của hai phƣơng trình hoàn toàn tƣơng tự với nhau,
vì trong vế phải của hai phƣơng trình đều có độ biến thiên năng lƣợng của hệ và
tổng các công nguyên tố đã đƣợc thực hiện. Tuy nhiên trong vật lý thống kê khái
niệm năng lƣợng đƣợc hiểu chính xác hơn, bởi vì thay thế cho hàm năng lƣợng
E ta dùng trị trung bình H của năng lƣợng của hệ, mặc dù đối với hệ vĩ mô hai
giá trị trên thực tế là trùng nhau. Hơn nữa các lực suy rộng Ak trong nhiệt động
lực học cũng đƣợc thay thế bằng trị trung bình Ak của các lực. Sự giống nhau
của vế phải của hai phƣơng trình cho phép ta xét sự tƣơng tự của vế trái của
chúng. Thay cho nhiệt độ tuyệt đối T trong phƣơng trình thống kê (1.15) ta có
nhiệt độ thống kê θ. Ta sẽ có sự hoàn toàn tƣơng tự nhau của hai phƣơng trình
 
 là đại lƣợng tƣơng tự của vi
  

S  

 T V
 F 
P  

 V T

Ta thấy rằng thông số  có ý nghĩa của năng lƣợng tự do F và phƣơng trình
(1.13) phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ. Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi
nhiệt động lực học S. Với θ = kT
  
  S  kS
 T V

Ta có: S  
Hay S 

s
k

Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm
cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê, ta đã suy ra đƣợc
phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học. Không những nhƣ vậy mà còn tìm
ra đƣợc đại lƣợng tƣơng tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội
năng và năng lƣợng tự do của hệ.
Ta đã nghiên cứu phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thể trao
đổi năng lƣợng với điều nhiệt.Nhƣng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ
trong đó không những năng lƣợng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ có thể
thay đổi, đó là hệ có số hạt thay đổi. Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt

  H 
exp 
dX
N!
 kT 

1
   N  H 
exp 
dX
N!
kT



(1.20)

Đối với hệ có số hạt thay đổi
   N ,  H 
1
dW ( X ) 
exp 
dX
N!
kT


,

,


(X )

(1.22)

16


* Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lƣợng bất kỳ
F(N,X) đƣợc xác định theo công thức
1
   N  H 
F
(
N
,
X
)
exp

dX

kT


N 0 N !( X )


F





N 0
(X )

(1.24)

(1.25)

Lấy đạo hàm riêng của thế nhiệt động Ω có





1
1
  
    N  H    U 


T
 T V , M T

  

  S
 T V



  kT ln Z

(1.26)

Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động
bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái Z, điều đó cho phép ta xác định nhiều
tính chất của hệ nhiệt động. Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm
nhiệt động lực học thống kê
Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p đƣợc xác định qua năng lƣợng tự do Ψ theo
công thức:
  
p  

 V  T

(1.27)

Áp dụng công thức (1.26) ta thu đƣợc:
  ln Z 
p  kT 

 V T

(1.28)

Đó là phƣơng trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V
và T.Ta có thể viết lại phƣơng trình trạng thái của (1.28) dƣới dạng sau
Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta đƣợc:


  ln Z 
 kT 2 

 T V

18

(1.30)


Tƣơng tự ta có thể tính các hàm nhiệt động khác:
* Thế nhiệt động Gipxơ

    pV
Với   kT ln Z
 ln Z
  
P  
  kT
V
 V  T

   kT ln Z  kTV

 ln Z
V

  ln Z

   kT 

Ta có S    T 

V

   ln( , a)
 S 



kT ln Z ( , a)
 ln Z ( , a) 
T
T

 S  k ln Z  kT

 ln Z
T

* Tìm biểu thức Entanpi theo tích phân trạng thái
Ta có Entanpi
H    TS

 ln Z 
  ln Z


 kT 
 ln Z   kT  ln Z  T


dq1dq2 ...dq3 N dp1 ...dp3 N





Vì vậy trong trƣờng hợp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phức
tạp
b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lý tưởng
Áp dụng hàm phân bố chính tắc
 ( , a)  H ( X , a) 
 ( X )  exp 





Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tƣởng.
Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý
tƣởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lƣợng của các hạt riêng lẻ nghĩa
là:

N
 P2

H    k  U k ( x) 
k 1  2m


(1.31)