TRƯỜNG ĐẠI HỌC

su' PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ BÍCH PHƯƠNG

NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƯỞNG
TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hưóng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô
PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm
của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè nhũng người đã luôn
giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên
được làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trinh thực hiện khóa luận

CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIÊN......................... 3
1.1 Mô hình về khí lý tưởng............................................................................3
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng...................................................................... 3
1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng..........................................4
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực...................................... 7
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển.................................... 8
1.3. Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cổ điển......................... 17
1.3.1. Năng lượng tự d o .............................................................................22
1.3.2. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng....................................... 22
1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tưởng................................................. 23
1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung Cy của khí lý tưởng đơn
nguyên tử.....................................................................................................23
Kết luận chương 1 .....................................................................................................24
CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỬ ........................................................25
2.1. Khí Boltzmann........................................................................................ 25
2.1.1. Phân boBoltzmann........................................................................... 25
2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng Boltzmann lưỡng
nguyên tử.....................................................................................................25
2.2 Khí lý tưởng Fermi và Bose.................................................................... 33


2.2.1 .Khí lý tưởng Fermi.......................................................................... 33
2.2.2. Khí lý tưởng Bose............................................................................33
2.2.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và B ose.............34
2.3 Khí electron tự do trong kimloại.............................................................37
2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng............................................................ 42
Kết luận chương 2 .....................................................................................................44
CHƯƠNG 3: MỘT SÓ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG......................................45
3.1 Bài tập về khí lý tưởng cổ điển...............................................................45
3.2 Bài tập về khí lý tưởng lượng tử .............................................................48

chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong yật lý thống kê ”.
2. Mục đích, nhiệm yụ của đề tài
- Nắm được các khái niệm về khí lý tưởng.

1


- Đưa ra được các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tưởng,đưa ra được
các hàm phân bố từ đó tính được năng lượng và một số đại lượng nhiệt động của
khí lý tưởng.
- Đưa ra được các phân bố thống kê về khí lý tưởng: Khí Fermi, khí Bose,
từ đó được năng lượng và nhiệt dung của các khối khí đó.
- Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tưởng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tưởng.
5. Phưong pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cún vật lí lý thuyết.Đọc và tra cún tài liệu.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và phương pháp toán trong vật lý.

2


B.NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIẺM CỎ ĐIỂN

1.1 Mô hình về khí lý tưỏng
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng
Đe vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của

trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau. Theo tiên đề 3
của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ)
. Phương trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích
của một khối khí xác định gọi là phương trình trạng thái có dạng tổng quát sau:
p = f(V ,T ) [5]
Đối với khí lý tưởng phương trình trạng thái của một khối khí chứa N phân
tử trong thể tích V sẽ là p = nkT
Với n = —

=> PV = NkT

(*)

Với k là hằng số Boltzman
M

Sô phân tử khí N của khôi khí được xác định N = — N 0
ự
Với M là khối lượng của chất khí
là khối lượng của

1

mol khối khí

N ữ là số Avogradro N 0= 6,02.1026 kmol’1
=> Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
p V = — N 0k T = — R T

(1.1)

T
T

7— =

„ = Po T _ p „ ơ + 2 7 3 )
J = -------- ——----T
273

= > p = p 0 ( \ + ccp t )

Trong đó a p = —

gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí

- Định luật Gay - Luytxac xét trường họp áp suất của một khối lượng khí
cho trước được giữ không đổi và nêu lên mối tương quan giữa thể tích và nhiệt
độ.
Từ phương trình trạng thái

Khi p = const

p V = ---- R T
ụ

V
M R
=> — = — — = const
T


tưởng giữa các phân tử không còn tương tác, các phân từ “không biết” đến sự
tồn tại của các phân tử khác.
Như vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tưởng để thành lập các
định luật quy định tính chất của k h í. Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và
thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tưởng là chất khí tuân theo chính xác
các định luật Bôilơ - Mariốt
1.1.3. Mối liên hệ giữa khỉ lý tưởng với k h í thực.
Phương trình trạng thái khí lý tưởng có dạng:
2—

pv2

p - £— = - e,
3
3
Trong đó €đ là mật độ động năng trung bình

Việc so sánh phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép
đưa vào đối với khí lý tưởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối
là thước đo động năng trung bình của h ạ t)
mv 2

—

2

3o

= —k T


Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thường được giới hạn xét các hệ hạt
có số hạt rất lớn và bỏ qua tương tác giữa các hạt với nhau, xem chúng như các
hạt tự do. Như vậy chúng ta có thế coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các
“khí lý tưởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê. Đe
tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của
thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp
Gipxơ. Cơ sở của phương pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã
cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương ứng với các hệ
đã cho.

8


Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại được các phương trình trạng thái và
các đại lượng nhiệt động học như: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,... của khí lý
tưởng.
Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta).
Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhưng có số bậc tự do
rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3]
Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là Cl và hệ điều nhiệt là с 2 có các số hạt
tương ứng là X] và x 2, đồng thời N ] » N 2
Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với
hệ chung đó ta có phân bố chính tắc
a* X l, X 2) = - ± - S { E - H ( X l, X 2)}
ÍÌ(E)
Trong đó H(XbX2) = H(X,) + H(X2) + Ư 12(X, x 2)

(1.2)
(1.3)


(1.8) được gọi là phân bố chính tắc Gipxơ
Thông số ự được gọi là môđun của phân bố chính tắc
Ц/ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố
у /{в л )-Н { Х ,а )

*

h i r \

0

= > e x p { ^ ■|=
j = JJ ee xx ppỊ №
J

(X )

IX =1

-> W

L

Lấy logarit 2 vế ta có
- w ( 0 ,a )

_ 1

j


bố chính tắc được viết dưới dạng

Thiết lập phương trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố
chính tắc
Từ điều kiện chuẩn hóa.

Lấy vi phân hai vế theo ak

= > ( X)
J ổ
^ exp
u u k

12


1 f Õ y/ __
= > ^ J p exp
0 ấ ) õak
L

W
J



u

ớ

J

=

^ a//^
\ dak J 0

( õự/ ^
\ ÕakJg

Đạo hàm cơ năng của hệ theo thông số ngoại chính là lực suy rộng với
dấu( - )



o

=o

'X = 0

3 ụ/ - (y/ - H )
ÕO
exp \ —----— \-dX = o
e-

Bởi VÌ 0 và ụ/ không phụ thuộc vào X nên
e\f õ y/
V d 6 )a
Ta đi tính biểu thức d H +

y/ — H
Akda

k

13

(1.13)
(1.14)


Thay (1.12) và (1.13) vào (1.14)


14


õụ/ _ H —y/
~ÕÕ=
0

( 1.16)

=>ụ/ = H —0.S

(1.17)

So sánh các phương trình (1.12), (1.13), (1.16), (1.17) với các phương trình
của nhiệt động lực học:
ư —T S = F

Ta thấy rằng thông số ụ/cỏ ý nghĩa của năng lượng tự do F và phương trình
(1.13) phương trình Gipxơ - Hemhônxơ. Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi
nhiệt động lực học

Hay

s. Với 0 = kT

s =—
k

Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm
cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phương pháp thống kê, ta đã suy ra được

( 1.20)

Đối với hệ có số hạt thay đổi

( 1.21)
Xác định phân bố ta phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó được
gọi là phân bố chính tắc Gipxơ, n ( |U,V,T) là thế nhiệt động lớn.
Điều kiện chuẩn hóa ta lấy tích phân trên theo các biến số vi mô X (còn gọi
là biến số pha) của tập họp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập chính tắc
tạo thành tập họp chính tắc lớn hơn nghĩa là

( 1.22)

16


*

Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lượng bất kỳ

F(N,X) được xác định theo công thức
^ = ẳ ~ í F (N ’x )exp | ° + /jN ~ H ]dX
kT
r

n
C-23)

Bởi vì thế nhiệt động lớn Q không phụ thuộc vào các biến số pha X và số hạt
N, cho nên đẳng thức (1.21) có thể viết dưới dạng

1 k T ) N \ ,ỉ, H1 kTị
sẽ đóng vai trò tích phân trạng thái
1.3. Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cỗ điển.
a.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động
Biểu thức liên hệ giữa năng lượng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z:

17


lự = —k T \ n z

(1.26)

Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động
bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái z, điều đó cho phép ta xác định nhiều
tính chất của hệ nhiệt động. Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm
nhiệt động lực học thống kê
Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p được xác định qua năng lượng tự do ¥ theo
công thức:
(1.27)
Áp dụng công thức (1.26) ta thu được:
(1.28)
Đó là phương trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V
và T.Ta có thể viết lại phương trình trạng thái của (1.28) dưới dạng sau
Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta được:
/

\

PV = kTV

íõ\nZ
ô \n V

ỡln z

dv

-ỉnZ

Với z là tích phân trạng thái ^

í exp|

* Biểu thức của Entropi theo tích phân trạng thái
Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái có dạng:

-

í -

Ta có

s--

m

-

ồy/
d T jv

õ\nZ^

---------h T ----- —
d \n V
ổln t )

Như vậy tất cả các hàm nhiệt động có thể biểu thị theo tích phân trạng thái

z. Nhưng thực tế dù có biết được hàm phân bố trong không gian pha thì việc
tính tích phân trạng thái cũng tương đối khó vì z được xác định bằng một biểu
thức phức tạp [3]

Vì vậy trong trường họp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phức
tạp
b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khỉ lý tưởng
Áp dụng hàm phân bố chính tắc

Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tưởng.
Để tính tích phân trạng thái z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý
tưởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lượng của các hạt riêng lẻ nghĩa
(1.31)

y

Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đưa vào xuất
phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tưởng có thể chuyển động hoàn toàn
tùy ý bên trong bình có thê tích V nhung chúng không thê ra khỏi giới hạn của
bình. Điều đó tương đương với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt có thế
năng vô cùng lớn.