s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
§Ò tµi :

C¸ch dùng thiÕt diÖn
trong h×nh häc kh«ng gian

Ngêi thùc hiÖn :

C¸ch x¸c ®Þnh thiÕt diÖn


Lý do chọn đề tài :
Trớc tình hình học sinh tởng tợng không gian quá yếu, để nâng cao kiến
thức vẽ hình không gian. Trong việc giảng dạy hình học không gian ở lớp 11,
cần chú ý rèn luyện kỹ năng xác định thiết diện của một mặt phẳng với một
khối đa diện, bằng cách xác định các giao tuyến của mặt phẳng đó với các
mặt của khối đa diện.
Trớc hết phải xác định thực chất của việc xác định thiết diện là giải bài
toán dựng giao điểm giữa đờng thẳng với mặt phẳng và dựng giao tuyến giữa
hai mặt phẳng với nhau. Bởi vậy Tôi chọn đề tài này làm sáng kiến kinh
nghiệm cho năm học 2000 - 2001 .
1. Phơng pháp dựng giao tuyến gốc : Để dựng mặt cắt giữa T và
, trớc tiên hãy tìm cách xác định giao tuyến của với một mặt phẳng chứa
một mặt của T. Trên mặt phẳng này, lấy giao điểm của giao tuyến vừa tìm đợc
với các đờng thẳng chứa cạnh của T. Từ các giao điểm mới tìm đợc sẽ dựng
giao tuyến của với các mặt khác của T . Với các giao tuyến này lặp lại quá
trình trên cho đến khi tìm ra mặt cắt.
Giao tuyến đầu tiên giữa với một mặt của T gọi là giao tuyến gốc, vì từ
giao tuyến đó ta sẽ dựng đợc các giao tuyến khác .
Cách dựng trên đây thờng dùng khi mặt phẳng đợc cho dới dạng tờng
minh, tức là cho bởi ba điểm không thẳng hàng, hay cũng vậy, bởi hai đờng

D
H
B
G

M
M1

C

J

N
O
P

I
A

Giải : Cha có giao tuyến nào giữa và mặt của tứ diện thấy ngay đợc.
Do đó, ta phải dựng một trong chúng, có chung với mặt (ABC) điểm P.
Muốn tìm thêm một điểm chung nữa của chúng, ta tìm giao điểm O của đờng
MN với (ABC) .
D
DM cắt AB tại M1. DN cắt BC tại
N1. Mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt
F
(ABC) theo giao tuyến M1N1, nên giao
B
điểm O của MN với M1N1 là giao điểm

giao điểm I của AH và SO. Đờng thẳng qua I, song song với BD sẽ thuộc mặt
phẳng .
Gọi M,N là giao điểm của đờng
thẳng đó với SB, SD, tứ giác AHMN là
mặt cắt cần dựng .

S
H
N

I

M

D

C
O

A

B

b) đi qua một điểm M, song song với hai đờng thẳng chéo nhau d1, d2
Để dựng , trớc tiên hãy xét hai mặt phẳng (M,d1),(M,d2). Trong mỗi
mặt phẳng này dựng một đờng thẳng qua M song song với d 1, d2. Khi đó là
mặt phẳng chứa hai đờng thẳng vừa dựng.
Ví dụ 4 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trọng tâm
tam giác SBD. Dựng mặt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng qua M, song
song với SB, AC .

Giao tuyến đó cắt AB tại E, BC tại F. Ngũ giác EFINP là mặt cắt cần dựng,
4

C
F


Ví dụ 5. Điểm M thuộc đoạn AD. Dựng mặt cắt giữa hình hộp
ABCD.ABCD và mặt phẳng qua M, song song với BD và AC.
Giải : Mặt phẳng (MBD) là mặt (ABCD), cắt mặt (ABCD) theo giao
tuyến qua M, song song với BD. Giao tuyến này cắt các đờng AB, CB, CD tại
N, O1, O2, sẽ là mặt phẳng qua O1, O2, song song với AC. O1O2 cắt AC tại
I, sẽ cắt mặt (ACCA) ( chứa đờng AC) theo giao tuyến qua I song song
với AC. Giao tuyến này cắt CC tại Q. QO 1 cắt BB tại P. QO 2 cắt DD tại R.
Ngũ giác MNPQR là mặt cắt cần dựng.
3. Mặt phẳng đợc cho

D

C

bởi tính chất vuông góc .

A

B
O2

J
O1

d1 a, sẽ là mặt phẳng qua MH, song song với d1. Chú ý rằng vị trí vị trí
của điểm H trên đoạn AB đã cho có thể xác định bằng hai cách : tính độ dài
đoạn AH hoặc tình đợc tỷ số HA/HB.
Ví dụ 7 . Hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đoạn
Sa =a, vuông góc với đáy . Dựng mắt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng qua
A vuông góc với SC.
Giải : Do SA (ABCD) nên SA BD. Mặt khác AC BD suy ra BD
(SAC). Vậy BD SC (1) .
Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Do AH là đờng cao của tam giác
a2
HS
1
SA 2
vuông SAC nên :
=
=
2 =
2
HC
2
(a 2 )
CA

H là điểm chia đoạn SC theo tỷ số 1/2 và ta dựng đợc điểm H này. Do
(1) nên là mặt phẳng qua AH, song song với BD. Mặt cắt là tứ giác
AHMN.
b) đi qua đờng thẳng d1, và vuông góc với mặt phẳng đã cho : ( d1
xiên góc với )
Sử dụng kết quả : Nếu mặt phẳng và đờng thẳng d2 cùng vuông góc
với mặt phẳng thì hoặc // d2, hoặc phải chứa d2 . Ta dựng mặt phẳng


1
BC thì A nhọn. áp dụng vào bài toán trên, ta có
2

SA mp(SBC) SAM vuông tại S và AM > SM. Trong SBC vuông tại S,
có SM =

1
1
BC AM > BC.
2
2

Cách 2 : áp dụng định lý hàm số cosin, ta có : cosA =

AB 2 + AC 2 BC 2
2. AB. AC

A nhọn khi cosA > 0 AB2 + AC2 - BC2 >0. Vậy ta chỉ cần chứng minh có
đẳng thức này. Thật vậy: AB 2 = SA2 +SB2, AC2 = SA2 +SC2, BC2 = SB2 + SC2
AB2 + AC2 - BC2 = 2SA2 >0
3. Đặt X = dtSAB; Y = dtSAC; Z = dtSBC. Ta cần chứng minh :
(dtSABC)2 = X2 + Y2 + Z2
Cách 1 : Dựa vào hệ thức sau đây : (dtSAB)2 = dtABH x dtABC (*)
Vì ABC có 3 góc nhọn, nên H ở trong tam giác. Vậy
dtABC = dtAHB

+ dtAHC +


1
SC2SA2 + BC2SK2
4
4

=(dtSAB)2 + (dtSAC)2 + (dtSBC)2.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh ( X + Y + Z ) 2 3 ( X2 + Y2 + Z2 ).

7


Ví dụ 9. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O là một điểm tuỳ ý
trong tứ diện. Đờng thẳng OG cắt các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện tại
A, B, C, D. Chứng minh rằng

A' O B ' O C ' O D' O
+
+
+
=4.
A' G B ' G C ' G D' G

Giải : Cho tứ diện ABCD, ta biết bốn đoạn thẳng nối đỉnh và trọng tâm
của mặt đối diện là đồng quy tại G( trọng tâm của tứ diện) và ta có
AA1=4GA1 với A1 là trọng tâm của tam giác BCD.
Hạ GGA (BCD), GG B (ACD), GG C (ABD), GG D (ABC). Ta có
các tỉ lệ thức sau :

GG A
GGC

=
=
;
;
;
(2). Nối O với bốn
A' G GG A
B ' G GG B
C ' G GGC
D' G GG D

đỉnh của tứ diện đã cho, ta có VO.ABC +VO.ACD + VO.ADB + VO.BCD = VABCD hay
VO.BCD VO. ACD VO. ADB VO. ABC
OO A OO B OOC OO D
+
+
+V
= 1 hay
+
+
+
= 1(3). Từ
V ABCD V ABCD V ABCD
AH A AH B AH C AH D
ABCD

(1) ta đợc AHA = 4GG A, AHB = 4GG B, AHC = 4GG C, AHD = 4GG D. Thay vào
(3) ta có
=


b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (AO 1O2).

8


Giải : a) Gọi I là tâm của mặt ABCD; CI O1O2 = J; J CI

J

(ACCA); J O1O2 J (AO1O2). Từ đó AJ là giao tuyến của
(ACCA) Và (AO1O2). Trong mặt phẳng (ACCA), AJ CC = M. Từ đó
M là giao điểm của CC và (AO1O2) .
b) Cách 1 : Trong mặt phẳng
D
C
(BCCB) : MO cắt BC tại K. Suy ra K
(AO1O2). Do K BC K (ABCD). A
Vậy K là điểm chung của (AO1O2) và

B
O2

M

J
O1

(ABCD) giao tuyến chung là AK.
D


M
O
B

F

Ví dụ 12 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA// BB// CC.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng CB // với mặt phẳng (AHC).
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Chứng minh
d song song với mặt phẳng (BBCC).
c) Xác định thiết diện của mặt phẳng (H,d) với lăng trụ ABC.ABC.
9

C


A

O

P
C

B
d

Giải :

E

10