Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

PHẫP NGHCH O V MT S NG DNG
Nguyn Hong Cng
Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong, Nam nh
I. M u:
Phộp di hỡnh l phộp bin hỡnh bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ, phộp
v t v ng dng l cỏc phộp bin hỡnh bo ton t s khong cỏch gia hai im bt
kỡ. Chỳng u bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn.
Ngoi cỏc phộp di hỡnh, phộp v t v ng dng, cũn mt phộp bin hỡnh khỏc
vi nhng tớnh cht rt thỳ v. ú l phộp nghch o. Phộp nghch o cng cú th
bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn, nhng cú th bin
mt ng thng thnh mt ng trũn, cũn 1 ng trũn thnh mt ng thng. c
bit hn l nú bo ton gúc gia hai hỡnh.
Phộp nghch o cng cú mt s ng dng rt quan trng trong vic gii cỏc bi
toỏn hỡnh hc phng.
II. Ni dung chuyờn :
A. Cỏc khỏi nim:
1. nh ngha:
a) Cho trc mt im O v mt s thc k 0 , vi mi im M khỏc O ta dng
mt im M trờn ng thng OM sao cho OM .OM ' = k (1)
Khi ú ta núi M l nh ca im M qua phộp nghch o tõm O phng tớch k
(hoc h s k )


O

M

M


Cho phép nghịch đảo f ( O, k ) với k ≠ 0
1. Tính chất 1: Phép nghịch đảo f ( O, k ) là phép biến đổi 1 - 1
2. Tính chất 2: Phép biến đổi f = f ( O, k )  f ( O, k ) là phép đồng nhất.
3. Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phép f ( O, k ) thì A' B' =

k
OA.OB

AB

4. Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng d.
5. Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O.
6. Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một đường
thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường tròn (C)
tại O.

2


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

7. Tớnh cht 7: nh ca ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o O l mt ng
trũn ( ') . ng trũn ( ') cng l nh ca ng trũn ( ) qua phộp v t V( O , ) vi

=

k
, p l phng tớch ca O i vi ng trũn ( ) .
p

M
an

trũn (C).

An

A1
a1

Xột phộp nghch o tõm M

O

A2
A4

phng tớch k
A3

d

A'1

A'2

A'3

A'4



Thay vo (*) ta cú: k

=k

Ai Ai +1
Ai Ai +1 .d i .sin Ai MAi +1
=k
MAi .MAi +1
MAi .MAi +1 .d i .sin Ai MAi +1

sin Ai MAi +1
sin Ai MAi +1
ai
=k
=k
di
di
2 Rd i

n 1
an
ai
a
a
=k
n = i (pcm)
2 Rd n
2 Rd i
d n i =1 d i


nờn PM / ( C ) = PM / ( C )
1

2

Gi M l giao im th hai (khỏc I) ca

E

hai ng trũn (C1) v (C2) thỡ M IM
Ta cú: IM AM v IM A1M nờn 3
im A, A1, M thng hng.
N

Theo nh lý Ceva ta cú 3 ng thng
AA1, BB1, CC1 ng quy ti P
ã ' P = 900 hay M thuc ng trũn (C) ng kớnh IP
Suy ra IM

Tng t nu gi

4


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

N l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh B1I
E l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh C1I
thỡ N v E cng thuc ng trũn (C) ng kớnh IP


B

M
2
H AH BC. Xột phộp nghch o cc A, phng tớch k = AH2 : f ( A, AH )

f ( A, AH 2 ) bin tip tuyn ti M vi ng (O) thnh tip tuyn vi ng trũn (I)

ng kớnh AH
5


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

f ( A, AH 2 ) : M M; B B; C C sao cho M, B, C thuc (I)
f ( A, AH 2 ) : (O) d l tip tuyn vi (I) ti M; d OA

(O) d qua B, C v d OA
ẳ'B' = M
ẳ 'C '
Vỡ d // d v M l tip im ca tip tuyn d vi (I) M
ẳ ' = NC
ẳ '
Gi N l im i xng vi M qua I N (I) NB

AN l phõn giỏc ca gúc BAC AM l phõn giỏc ca gúc BAC
Vy AM l phõn giỏc ca gúc to bi AB v AC.
Bi 4: (Thi Olympic Bungari - vũng 4 - 1995)
Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p cho trc. Cỏc im E, F nm trờn ng thng AB sao

O
O'


f ( ( k2 ) ) = EF


M ( k1 ) tip xỳc vi EF nờn ( k1 ) tip xỳc vi ( k 2 )

k2

k1

Bi 5: Cho hai ng trũn (C1) cú tõm O1 v bỏn kớnh
R1, ng trũn (C2) cú tõm O2 v bỏn kớnh R2. im I khụng nm trờn c hai ng trũn.
Gi f l phộp nghch o cc I phng tớch k 0 , f ( C1 ) ; f ( C2 ) l cỏc ng trũn nh
d 2 R12 R22
ca ( C1 ) ; ( C2 ) . t: ( ( C1 ) , ( C2 ) ) =
vi d = O1O2 . Chng minh rng:
2 R1 R2
1. Nu I ng thi nm trong hoc nm ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ:
6


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )

2. Nu I nm trong mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ



1

II 2 =

2

k
IO2 (vi p1 = PI / ( C ) = IO12 R12 v p2 = PI / ( C ) = IO2 2 R22 )
p2
1

2

Khi ú ta cú:
2

(

I1 I 2 = I1 I 2 = II 2 II1
2

)

2

2

2




2

2
1
1 R12 R22 p1 + p2 + R12 + R22 O1O2

+ 2+ 2
= k +
p1 p2
p1 p2 p1 p2

2

R12 R22 R12 + R22 O1O2 2

= k 2 + 2
p
p
p
p
2
1 2
1

2

k


r12 r22 R12 + R22 O1O2 2
2
2
2
2 O1O2 R1 R2
I1 I 2 r1 r2 = k
I1 I 2 = k 2 + 2
k
p1 p2
p1 p2
k


2

2

I1 I 2 r12 r22
k 2 O1O2 R12 R22
( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) =
=
.
r1r2
2r1r2
p1 p2
2

2

7


)

p1 p2 O1O2 2 R12 R22
p1 p2
.
. ( ( C1 ) , ( C2 ) )
=
=
p1 p2
p1 p2
R1 R2

Do ú:
1. Nu I nm ng thi trong hoc ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ
p1 p2 > 0 nờn ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
2. Nu I nm trong mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ p1 p2 < 0 nờn

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
Bi 6: Cho hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tip xỳc vi nhau ti A . Mt ng thng l qua

A ct cỏc ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng ti C1 , C2 khỏc A . Mt ng trũn ( C ) qua
C1 , C2 ct li hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) ti B1 , B2 tng ng. Gi ( x ) l ng trũn

ngoi tip tam giỏc AB1B2 . ng trũn ( k ) tip xỳc vi ng trũn ( x ) ti A , ct

( C1 ) , ( C2 )

ln lt ti D1 , D2 khỏc A . Chng minh rng:
1. Cỏc im C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc mt ng trũn hoc cựng thuc mt


C1

B1

C'2

B2
(x)

Hỡnh 1

D'2
(k')

D'1

Hỡnh 2

8


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

1. Xột phộp f l phộp nghch o cc A , phng tớch k 0 thỡ
+) f bin ng trũn ( k1 ) , ( k2 ) thnh cỏc ng thng k1' , k2' tng ng v k1' / / k2'
+) f bin ng trũn ( x ) , ( k ) thnh cỏc ng thng x '; k ' tng ng v x '/ / k '
+) f bin ng thng ( l ) thnh chớnh nú
Suy ra f bin cỏc im B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 tng ng thnh cỏc im
B1' = x ' k1' ; B2' = x ' k 2' ; C1' = l k1' ; C2' = l k 2' ; D1' = k ' k1' ; D2' = k ' k2'

C1' , C2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn ( k3 )

C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc ng thng, hoc cựng thuc 1 ng trũn l to nh ca
'
ng trũn ( k3 ) qua phộp nghch o f .

2. Ta cú: Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn
Cỏc im B1' , B2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn B1' B2' D2' D1' l hỡnh ch nht

ã ' B ' B ' = 900 C
ã 'C ' D ' = 900 ng thng l v ng trũn ( C ' ) trc giao vi nhau
D
2
1 1 2
1 2 2
ng thng l v ng trũn ( C2 ) trc giao vi nhau

AC1 , AC2 ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng.

Bi 7: Cho ng trũn ( O ) cú ng kớnh AB v mt im C trờn ( O ) , ( C A, C B ) .
Tip tuyn vi ( O ) ti A ct ng thng BC ti M . Gi N l giao im ca cỏc tip
tuyn vi ( O ) ti B v ti C . ng thng AN ct li ng trũn ( O ) ti D khỏc A v
ct ng thng BC ti F . ng thng qua M , song song vi AB ct ng thng
9


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

OC ti I . ng thng qua N , song song vi AB ct ng thng OD ti J . Gi K l
giao im ca hai ng thng MD, NC v E l giao im ca hai ng thng MN , IJ .

1. Gi P l giao im ca AM
v NC thỡ PA = PM = PC .
Ta cú OPN vuụng ti O ,
ng cao OC nờn suy ra

N

2OB.OC = BN .2 AP
OA. AB = BN . AM
AOM : BNA
ã
ãAMO = BAN
= ãADO
Suy ra t giỏc AMDO ni tip

ã
ã
ng trũn ng kớnh OM nờn ODM
= OAM
= 900
Do ú MD l tip tuyn ca ( O ) KC = KD

Vỡ OBC : ICM v OAD : JDN nờn suy ra IC = IM v JD = JN
Mt khỏc ta cú OM AN ti X v ON BM ti Y nờn F l trc tõm ca OMN .
Gi E ' l giao im ca OF v MN thỡ OE ' MN . Ta chng minh E ' E .
Ta cú MA2 = MD 2 = MX .MO = ME '.MN = MB.MC
Xột phộp nghch o f cc M , phng tớch k = MA2 ta cú: f bin cỏc im B, N
thnh cỏc im C , E ' tng ng
Suy ra f bin ng thng BN thnh ng trũn ( MCE ')
Vỡ BN tip xỳc vi ( O ) ti B v BN || AM nờn ng trũn ( MCE ') tip xỳc vi ( O )


Ta kí hiệu đường tròn qua 3 điểm X , Y , Z là ( XYZ ) .
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Ta biết rằng ( ω ) đi qua 9 điểm:
M , N , P, A1 , B1 , C1 và trung điểm các đoạn AH , BH , CH .

11


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Giả sử là điểm đối xứng với M , N , P qua O .
Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k = HM .HA ' = HN .HB ' = HP.HC '
Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1 B ', C1C ' tương ứng thành các
đường tròn ( HMM ') , ( HNN ' ) , ( HPP ') , biến đường tròn ( ω ) thành chính nó và biến
đường thẳng Euler của ∆ABC thành chính nó.
Ta sẽ chỉ ra rằng trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ' ) là đường thẳng Euler của
∆ABC . Thật vậy:
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HNN ') là NN ' ;
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HPP ' ) là PP ' ;
Suy ra trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') đi qua H và giao của NN ' và PP '
hay trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') là đường thẳng HO .
Do đó trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') chính là đường thẳng Euler ∆ABC .
Tương tự, trục đẳng phương của ( HPP ' ) và ( HMM ') , trục đẳng phương của ( HMM ')
và ( HNN ') cũng là đường thẳng Euler của ∆ABC .
Do đó ba đường tròn cùng đi qua một điểm trên đường thẳng Euler của ∆ABC . Từ đó
suy ra A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của tam
giác ABC .
Bài 9: Cho đường tròn ( O ) và dây cung UV . M là một điểm trên dây cung UV ; AC
và BD là hai dây cung khác của đường tròn ( O ) cùng đi qua M . Gọi X là giao điểm
của BC và UV ; Y là giao điểm của AD và UV . Chứng minh rằng:

N
O

F

Đặt k = MA.MC = MB.MD = MU .MV
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương
tích k , ta có

O2

C
D

12


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

f biến các điểm A, D, U tương ứng thành các điểm C , B, V .

Suy ra f

biến các đường thẳng BC , AD tương ứng thành các đường tròn

( AMD ) , ( BMC )

và biến đường thẳng UV thành chính nó.

Vì X là giao điểm của BC và UV và Y là giao điểm của AD và UV nên f

C, D trên hai đường tròn đó sao cho CD không đi qua A, B. Chứng minh rằng các đường
tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD trực giao với nhau.

13


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Bi 2: Cho bn ng trũn cựng i qua mt im P nhng khụng cú ng trũn no cha
trong ng trũn no. Hai ng trũn tip xỳc vi ng thng (d1) ti P, hai ng trũn
cũn li tip xỳc vi ng thng (d2) ti P. Cỏc giao im khỏc P ca 4 ng trũn l A,
B, C, D. Chng minh rng 4 im A, B, C, D cựng thuc mt ng trũn khi v ch khi
hai ng thng (d1) v (d2) vuụng gúc vi nhau.
Bi 3: Cho ba im A, B, C thng hng theo th t ú. Cỏc na ng trũn ng kớnh
AB, BC, CA nm v cỳng mt na mt phng b AC. Chng minh rng ng trũn (O)
cú ng kớnh bng khong cỏch t O n BC vi (O) l ng trũn tip xỳc vi c ba
na ng trũn trờn.
Bi 4: ( thi hc sinh gii tnh Nam nh nm hc 2004 - 2005)
Cho ng trũn (O, R). Gi s cú 6 ng trũn thay i nm bờn trong (O;R) l
(I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho món tớnh cht : chỳng ln lt tip xỳc trong vi (O,
R) ti A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; ng thi ng trũn (I1) tip xỳc ngoi vi ng trũn
(I2), ng trũn (I2) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I3), ng trũn (I3) tip xỳc ngoi
vi ng trũn (I4), ng trũn (I4) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I5), ng trũn (I5)
tip xỳc ngoi vi ng trũn (I6), ng trũn (I6) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I1).
1. Chng minh rng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1
2. Cho ng trũn (I , r) nm bờn trong (O; R) . Gi d = OI; chng minh rng: Tn ti
6 ng trũn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho món tớnh cht ó nờu bi v ng thi 6
ng trũn ny li u tip xỳc ngoi vi ng trũn (I , r) khi v ch khi

( R r)

phộp

nghch

f ( O, k )

o

c1

vi

P'

k = PO / ( C ) = 3R . Khi ú:
2

P

f ( O, k ) :

(C) (C)
(C ) d
M'
(C ) d
Vỡ ( C ) ; ( C ) trc giao vi nhau v cựng tip
xỳc vi ( C ) nờn ta cú d d v ln lt tip
xỳc vi ( C ) ti P ' ; Q' tha món: OP.OP ' = OQ.OQ' = 3R
( C ); ( C ) vi ( C ) .
1


2

vi P, Q l tip im ca

2

Gi M l giao im ca hai ng thng d1 , d 2 thỡ khi ú M ' = f ( M ) vỡ M l giao
im ca hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 )
Mt khỏc t giỏc IPMQ l hỡnh vuụng cnh R

(
)
( ') = ( I , R 2 ) = f ( ( ) )

(

IM ' = R 2 M ' I , R 2 . Gi ( ') l ng trũn I , R 2

M ( ) vi

)

Vỡ M ' = f ( M ) OM .OM ' = 3R 2 M = f ( M ')

(

)

Ta cú: PO / ( ' ) = OI 2 R 2 = 2 R 2 = ON .OM ' vi N ( )


(C) →(C)

; M ' P ' → ( C1 ) ; M ' Q' → ( C2 )

Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C ) và
trực giao với nhau.
Thật vậy: vì f ( O, k ) :

( C ) → ( C ) ; M ' P' → ( C ) ; M ' Q' → ( C ) và M ' = f ( M )
nên hai đường tròn ( C ) ; ( C ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C )
1

1

2

2

Ta có: M ' = f ( M ) nên M ' thuộc đường tròn ( C ) = V p ( ( γ ) )
0
O
k

2

Với p = PO / ( γ )
⇒ OJ ' =

 3R 2  9 R 2

2


và đường thẳng OI.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi
d1 là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi (C) là đường tròn
thay đổi và luôn tiếp xúc với (O) và d1 tại hai điểm
phân biệt. Gọi (C1), (C2) là hai đường tròn bất kì của
(C). Biết rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau tại M.
Tìm quỹ tích điểm M.
Giải:

c1

(D)

d1

(d)

M c2

A
J

B
O

H



2

1

1

1

1

2

1

2

2

0

0

0

1

1

1

Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

lượt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Từ I kẻ các
tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q là các tiếp điểm). Gọi K là giao điểm của PQ và OI.
Tìm tập hợp điểm K khi các tiếp tuyến x, y thay đổi hướng.
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) và dây AB cố định. Với mỗi điểm M trên đường tròn (O),
dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O2) qua M và tiếp
xúc với AB tại B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Tìm quỹ
tích điểm M’ khi M di động trên đường tròn (O).

18


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Ti liu tham kho:
1. Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Nguyn Mng Hy
2. Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Thanh Sn
3. Cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng Tp 2 V.V Praxolov.
4. INVERSION IN GEOMETRY ARTHUR BARAGAR.
5. Din n toỏn hc Mathscope.
6. Cỏc ti liu trờn Internet.

19